Les diff´ erentes contraintes envisageables

Diff´erentes relations entre sorties observ´ees et pr´edites pouvant ˆetre consid´er´ees ont ´et´e pro-pos´ees par Tanaka et al. dans [61], [66] et [62], comme une extension aux travaux initiaux [65].

Afin de s’affranchir de tout calcul flou et par cons´equent de se ramener `a la manipulation d’in-tervalles conventionnels, les auteurs utilisent le principe des α-coupes et proposent de r´esoudre le probl`eme de r´egression `a un α fix´e.

Trois cas de figure sont distingu´es, selon qu’il est impos´e, pour toute donn´ee d’identification, que :

• la sortie du mod`ele couvre la sortie observ´ee (probl`eme Minimal),

• l’intersection entre la sortie du mod`ele et celle observ´ee ne soit pas vide (probl`eme Conjonctif ).

On remarquera ici qu’ind´ependamment du probl`eme trait´e, il est imp´eratif de garantir par contraintes que les intervalles flous identifi´es comme param`etres du mod`ele soient bien des inter-valles flous. Ainsi, leur Radius doit ˆetre positif. Par cons´equent, dans tous les cas, il est n´ecessaire d’introduire les contraintes lin´eaires communes suivantes :

R_Ai ≥ 0, i = 0, ..., N (1.47)

Il est ensuite possible d’introduire les contraintes sp´ecifiques `a chacun des cas cit´es auparavant.

Le probl`eme Minimal : Il s’agit dans ce cas de garantir par contraintes l’inclusion des sorties observ´ees Yj dans celles pr´edites ˆY<sub>j</sub><sup>min</sup>, c’est-`a-dire, pour le degr´e α consid´er´e :

[Yj]α ⊆ [ ˆY_j^min]α, j = 1, ..., M (1.48)

Dans ce cas, le mod`ele, ´egalement nomm´e mod`ele de possibilit´e dans [18], est identifi´e en

degré 1

degré 0 degré α

au degré α

Fig. 1.13: Le probl`eme Minimal

minimisant le crit`ere choisi sous les contraintes (1.48) et (1.47). Ainsi, il s’agit de d´eterminer les param`etres du mod`ele tels que sa sortie soit la moins impr´ecise, tout en englobant les sorties observ´ees au degr´e α fix´e.

Le probl`eme Maximal : Il s’agit dans ce cas de garantir par contraintes l’inclusion des sorties pr´edites ˆY<sub>j</sub><sup>max</sup> dans celles observ´ees Yj, c’est-`a-dire, pour le degr´e α consid´er´e :

[ ˆY_j^max]α ⊆ [Y_j]α, j = 1, ..., M (1.49)

maxi-degré 1

degré 0 degré α

au degré α

Fig. 1.14: Le probl`eme Maximal

misant le crit`ere choisi sous les contraintes (1.49) et (1.47). Ainsi, il s’agit de d´eterminer les param`etres du mod`ele tels que sa sortie soit la plus impr´ecise, tout en ´etant englob´ee dans les sorties observ´ees au degr´e α fix´e.

Le probl`eme Conjonctif : Il s’agit dans ce cas de garantir par contraintes que l’intersec-tion des sorties observ´ees Yj et pr´edites ˆY<sub>j</sub><sup>conj</sup> n’est pas vide, c’est-`a-dire, au degr´e α consid´er´e :

[ ˆY_j^conj]α∩ [Y_j]α6= ∅, j = 1, ..., M (1.50)

Dans ce cas, le mod`ele est identifi´e en minimisant le crit`ere choisi sous les contraintes (1.50) et

degré 1

degré 0 degré α

au degré α

Fig. 1.15: Le probl`eme Conjonctif

(1.47). Ainsi, il s’agit de d´eterminer les param`etres du mod`ele tels que sa sortie soit la moins impr´ecise, tout en ayant une intersection non nulle avec la sortie observ´ee au degr´e α fix´e.

Ces diff´erentes formulations de la relation de la sortie du mod`ele identifi´e aux donn´ees ob-serv´ees ont quelques particularit´es importantes `a noter et `a mettre en perspective de la vision que nous avons retenue de la r´egression param´etrique lin´eaire floue.

Un point important `a souligner concerne l’existence d’une solution, c’est-`a-dire d’un mod`ele lin´eaire, pour chacun des probl`emes d’optimisation dans le cas o`u le crit`ere J₂ est utilis´e [62]. Si l’on consid`ere que l’utilisateur a fix´e un degr´e α ∈ [0, 1[ (le degr´e 1 est particulier, ce point sera plus largement ´etudi´e par la suite), il existe toujours une solution au probl`eme minimal ([61], [66]) et au probl`eme conjonctif [62]. Par contre, le probl`eme maximal n’a pas toujours de solution. Il est montr´e dans [62] que l’existence d’une solution au probl`eme maximal est li´ee `a la caract´eristique de la solution optimale du probl`eme conjonctif. Ainsi, le probl`eme maximal a une solution si et seulement si :

J₂(R^conj_A ) = 0 (1.51)

c’est-`a-dire si la valeur optimale de crit`ere pour le probl`eme conjonctif est nulle. Ainsi, il est possible que les donn´ees ne permettent pas l’obtention d’un mod`ele dont la sortie est incluse au degr´e α dans toutes les observations.

De par la nature des relations aux donn´ees observ´ees impos´ees par contraintes, l’impr´ecision des diff´erents mod`eles identifi´es (mod`ele de possibilit´e, de n´ecessit´e, ou conjonctif) diff`ere. En ef-fet, dans le probl`eme minimal, la totalit´e des impr´ecisions des sorties observ´ees est captur´ee dans le mod`ele identifi´e, ce qui n’est pas le cas pour les autres formulations du probl`eme de r´egression. Ainsi, le mod`ele de possibilit´e identifi´e est plus impr´ecis que le mod`ele de n´ecessit´e (lorsqu’il existe) et que le mod`ele conjonctif, qui ne prennent en compte qu’une partie de l’impr´ecision des sorties observ´ees. Pour toute valeur fix´ee de α ∈ [0, 1[, cela se traduit par les relations suivantes [62] :

Si J2(R^conj_A ) = 0, alors J2(R^max_A ) ≤ J2(R^min_A )

J₂(R^conj_A ) ≤ J₂(R^min_A ) ^(1.52)

o`u R<sup>min</sup><sub>A</sub> , R<sup>conj</sup><sub>A</sub> et R<sup>max</sup><sub>A</sub> (lorsqu’il existe) repr´esentent respectivement les param`etres optimaux des probl`emes minimal, conjonctif et maximal.

Finalement, lorsque le probl`eme maximal admet une solution pour un α fix´e, d’apr`es la formulation des probl`emes d’optimisation, il est ´evident que les contraintes d’inclusion suivantes sont satisfaites [61] :

[ ˆY_j^max]_α⊆ [Y_j]_α⊆ [ ˆY_j^min]_α, j = 1, ..., M (1.53)

La figure 1.16 illustre ces diff´erents r´esultats th´eoriques dans le cas d’une unique entr´ee x et pour une valeur de α fix´ee. Les segments verticaux repr´esentent les intervalles de sortie observ´es (intervalles conventionnels obtenus par α-coupe des intervalles flous initialement disponibles). La figure 1.16(a) concerne le cas o`u les trois probl`emes admettent une solution. Les droites en trait plein, en tirets, et en alternance plein/pointill´es repr´esentent respectivement l’enve-loppe de la sortie des mod`eles admissibles pour les probl`emes minimal, maximal et conjonctif.

Conform´ement `a (1.51), l’existence d’une solution au probl`eme maximal induit que la solution du probl`eme conjonctif est un mod`ele lin´eaire pr´ecis. De plus, la propri´et´e d’inclusion (1.53) est bien v´erifi´ee. Dans la figure 1.16(b), la simple modification de la deuxi`eme sortie observ´ee (segment vertical en trait gras) aboutit `a l’inexistence d’une solution au probl`eme maximal.

a. Solutions aux

trois problèmes ^{b. Pas de solution au}problème maximal

Fig. 1.16: Condition d’existence d’une solution aux diff´erents probl`emes

La potentielle inexistence du mod`ele maximal va `a l’encontre de notre vision de la r´egression, puisqu’en aucun cas la technique r´egressive ne doit imposer une quelconque limitation sur les donn´ees `a consid´erer, l’analyse de celles-ci ´etant l’objectif ultime de l’utilisateur. L’utilisation qui sera faite du mod`ele identifi´e est primordiale ´egalement pour d´eterminer quel probl`eme doit ˆ

etre consid´er´e. En effet, si l’utilisateur a pour objectif d’utiliser le mod`ele en pr´ediction une fois l’identification r´ealis´ee, il est important de prendre en consid´eration l’int´egralit´e des impr´ecisions observ´ees. Ainsi, la sortie du mod`ele doit refl´eter celle des sorties observ´ees via la contribution de ses param`etres impr´ecis. Dans ce cas, le mod`ele dit de possibilit´e, identifi´e `a l’aide du probl`eme minimal, sera le plus ad´equat dans la mesure o`u rien de ce qui a ´et´e observ´e n’est n´eglig´e.

Synth`ese 2 : Pour garantir l’obtention d’un mod`ele solution, nous nous focalise-rons dans la suite sur la r´esolution du probl`eme minimal qui s’exprime par :

min

RA,MA

J2(RA) (1.54)

sous les contraintes :

R_Ai ≥ 0, i = 0, ..., N (1.55)

et

[Yj]α⊆ [ ˆYj]α, j = 1, ..., M (1.56)