3.2 Les ondelettes de seconde génération
3.2.2 Les bandelettes
Plus récemment, Mallat et al. ont mis au point une nouvelle transformation ondelette dite de seconde génération qui utilise avantageusement les structures géométriques contenues dans les images, les bandelettes [LPM05] [PM05a]. Cette transformation a été dé nie dans deux versions appelées bandelettes de première et de seconde génération.
Les bandelettes de première génération
Ces premières bandelettes [LPM00] [LPM04] [LPM05] permettent de représenter la géométrie des images en utilisant des ots géométriques au lieu des contours. Un ot géométrique est un champ de vecteurs −→τ qui indique la direction où l'image a localement des variations régulières comme illustré sur la gure 3.8.
Les bandelettes sont construites à partir d'ondelettes bidimensionnelles déformées le long du ot géométrique. Elles dé nissent alors des bases orthonormées de bandelettes pour chaque région de l'image où ces ots géométriques restent parallèles ou sont non dé nis. Il y a donc trois types de régions :
celles où l'image est uniformément régulière, et où il n'y a donc pas de ot, on la décompose alors avec une base d'ondelettes bidimensionnelles classique.
celles où le ot géométrique est parallèle verticalement −→τ (x1)(c.à.d. à dominante verticale
(> 45o), cas du troisième bloc de la gure 3.9).
et celles où le ot géométrique est parallèle horizontalement −→τ (x2) (c.à.d. à dominante
horizontale (< 45o), cas des premier et deuxième blocs de la gure 3.9).
La première étape de la représentation en bandelettes consiste donc à isoler ces régions de ots géométriques parallèles. Cette segmentation est réalisée à l'aide d'une décomposition en arbre quaternaire en carrés dyadiques. Si le bloc (au début toute l'image) contient plusieurs types de ots géométriques, alors on le découpe en quatre parties égales et on recommence le même traitement pour chacun des blocs créés, sinon il dé nit une nouvelle région Ωi. Un exemple
illustre cette segmentation sur la gure 3.9 :
Fig. 3.9 Exemple de segmentation en carrés dyadiques d'une image avec ses ots géométriques [LPM05]
Par la suite, dans chaque région Ωi, la transformée bandelettes réalise :
1. un ré-échantillonnage qui calcule les valeurs de l'image le long du ot géométrique. Il est réalisé ici par une interpolation par splines cubiques,
2. une transformation en ondelettes déformées, eectuée par un ltrage en sous-bandes le long du ot. Ce ltrage traverse les frontières des blocs pour éviter les problèmes de discontinuités à ces frontières,
3. une "bandeletisation" qui transforme les coe cients des ondelettes déformées en coe cients bandelettes le long du ot.
Dans l'étape 2, si la région Ωi est régulière (sans ot géométrique) alors la décomposition
biorthogonaux 9/7 de Daubechies [CDF92]. Une base d'ondelettes séparables discrète est dé nie par son ondelette mère ψ et sa fonction d'échelle associée φ, elle s'écrit :
ψj,m1[n1]φj,m2[n2], φj,m1[n1]ψj,m2[n2], ψj,m1[n1]ψj,m2[n2] j,m1,m2 (3.6) Dans le cas contraire, si la région Ωipossède un ot géométrique −→τ , alors la décomposition est
eectuée sur une base d'ondelettes déformées par une déformation W (−→τ ). On a vu précédemment que ce ot peut être soit parallèle horizontalement soit parallèle verticalement, on peut alors dé nir ce ot comme étant :
−→
τi[n1, n2] = −→τi[n2] = (ci[n2], 1) pour un ot parallèle horizontalement
− →τ
i[n1, n2] = −→τi[n1] = (1, ci[n1]) pour un ot parallèle verticalement (3.7)
où ci[nj]représente la courbe formée par le ot géométrique.
Ce ot ainsi décomposé permet de dé nir la base d'ondelettes déformées nécessaire à cette décomposition comme étant :
ψj,m1[n1− ci[n2]]φj,m2[n2], φj,m1[n1− ci[n2]]ψj,m2[n2], ψj,m1[n1− ci[n2]]ψj,m2[n2] j,m1,m2 (3.8) dans le cas où le ot géométrique est parallèle horizontalement, et dans le cas parallèle vertica-
lement on a : ψj,m1[n1]φj,m2[n2− ci[n1]], φj,m1[n1]ψj,m2[n2− ci[n1]], ψj,m1[n1]ψj,m2[n2− ci[n1]] j,m1,m2 (3.9) Il est intéressant de remarquer que la décomposition d'une image f[n1, n2] sur cette base
d'ondelettes déformées est équivalente à déformer au préalable avec W (−→τ )cette image a n de la redresser vers l'horizontale ou la verticale et à la décomposer sur une base d'ondelettes classiques (3.6), comme représenté sur la gure 3.10.
hf [n1, n2], Ψ[n1− ci[n2], n2]i = hf [n1+ ci[n2], n2], Ψ[n1, n2]idans le cas parallèle horiz. (3.10)
Fig. 3.10 Exemple de déformation W d'une région Ωi [LPM04]
Le banc de ltres alors utilisé pour cette décomposition sur la base d'ondelettes (3.6) est un banc 9/7 de Daubechies [CDF92], mais adapté pour ltrer à travers les frontières de régions, comme illustré sur la gure 3.11.
Fig. 3.11 Le point représenté par un triangle est calculé par interpolation de ses trois voisins et est utilisé par la région de droite pour son ltrage [LPM05]
L'étape 3 est appelée "bandeletisation". Elle exploite la régularité de la fonction le long du ot géométrique, en remplaçant les ondelettes déformées :
{ψj,m1[n1− ci[n2]]φj,m2[n2]}j,m1,m2 dans le cas parallèle horizontalement (3.11)
par une famille de fonctions engendrant le même espace :
{ψj,m1[n1− ci[n2]]ψl,m2[n2]}j,l>j,m1,m2 dans le cas parallèle horizontalement (3.12)
Ces fonctions sont appelées bandelettes, de par leurs supports allongés le long des lignes de ots géométriques (cf g. 3.12).
Cette opération de "bandeletisation" est réalisée par transformées monodimensionnelles discrètes.
La base orthonormée de bandelettes de la région Ωi est donc dé nie par : ψj,m1[n1− ci[n2]]ψl,m2[n2], φj,m1[n1− ci[n2]]ψj,m2[n2], ψj,m1[n1− ci[n2]]ψj,m2[n2] j,l>j,m1,m2
dans le cas parallèle horizontalement (3.13)
Quelques résultats de ces bandelettes sont donnés sur la gure 3.13.
Fig. 3.13 Résultats de bandelettes : (a) Lena, (b) détail de Lena, (c) détail de Barbara. Lena est à un PSNR de 33.04 dB en bandelettes contre 32,55 dB en ondelettes. Barbara a un PSNR de 31,22 dB en bandelettes contre 28.50 dB en ondelettes [LPM03]
Les bandelettes de seconde génération
Les bandelettes de première génération décrites précédemment utilisent avantageusement les structures géométriques des images. Cependant, elles ne sont pas directement dé nies dans le cas discret, et elles ne proposent pas de représentation multirésolution de la géométrie. C'est pourquoi Mallat et al. ont dé ni les bandelettes de seconde génération [PM05a], [PM05b].
La construction de ces bandelettes est diérente de celle des bandelettes de première généra- tion, puisqu'elles permettent une représentation multirésolution de la géométrie. Cette construc- tion correspond à appliquer une transformée géométrique orthogonale aux coe cients d'onde- lettes de l'image, au préalable représentée sur une base d'ondelettes classiques.
La transformation bandelette se déroule donc comme indiqué sur la gure 3.14, soit : 1. Une transformation en ondelettes classiques orthogonale ou biorthogonale de l'image f. 2. Dans chaque sous-bande, on eectue une segmentation hiérarchique en carrés dyadiques au
sens de la meilleure représentation de la géométrie.
3. Par la suite, dans chaque carré dyadique, on recherche la meilleure géométrie dé nissant la directionnalité.
4. On réalise une projection 1D orthogonale à la géométrie déterminée dé nissant ainsi un signal discret 1D fd.
5. Une transformation 1D discrète en ondelettes du signal 1D fd donnant les coe cients
bandelettes bk.
Fig. 3.14 Description de la transformation bandelette de seconde génération [PM05b] Les étapes 2 et 3 correspondent aux mêmes étapes que pour les bandelettes de première génération [LPM04].
Les étapes 4 et 5 correspondent à la "bandeletisation".
La première manipulation consiste à projeter les points x de notre région sur un axe d perpendi- culaire à la direction de la géométrie déterminée à l'étape précédente. On obtient ainsi les points
˜
x. A n de construire un signal 1D, on réordonne ces points ˜x suivant leur valeur le long de l'axe d, comme illustré sur la gure 3.15. On obtient alors le signal 1D discret fd dé ni par :
∀i, fd[i] = f (xi) (3.14)
Fig. 3.15 Exemple de projection orthogonale 1D [PM05b]
La seconde partie de cette "bandeletisation" correspond à une transformation 1D en ondelettes de première génération comme pour l'étape 3 de "bandeletisation" des bandelettes de première génération.
Les coe cients bandelettes bk sont ainsi générés, et ils dépendent d'une base de bandelettes
B = {bn}, où les bn sont des fonctions bandelettes qui dépendent de l'échelle 2j de la première
transformée, du carré dyadique étudié S de largeur L, et de l'échelle 2k de la transformée 1D.
Ces fonctions ont alors une largeur de 2jL et une longueur de 2j+k. Il est intéressant de noter
que ces fonctions se chevauchent, mais pas les carrés dyadiques, ne posant ainsi pas de problème d'eets de blocs.
Quelques résultats de décomposition par ces bandelettes sont donnés sur la gure 3.16.
Fig. 3.16 Comparaison entre les ondelettes et les bandelettes de seconde génération à 0.2bpp [PM05a]