Les curvelets et les contourlets

Les ondelettes dites de première génération permettent de représenter ecacement les singu- larités locales des signaux. Cependant, il en existe beaucoup d'autres telles que les singularités le long de droites ou de courbes, singularités que ces ondelettes ne représentent pas ecacement. An d'éviter ce problème, les curvelets [CD00b] et les contourlets [DV01b] ont été mises au point. En eet, elles sont des premières ondelettes dites de seconde génération à utiliser des courbes ou des contours comme support.

Ces deux ondelettes sont très similaires. En eet, il s'agit de la même transformation sauf que les curvelets sont dénies dans le cas continu et les contourlets dans le cas discret.

Pour pouvoir dénir les curvelets et les contourlets, nous devons tout d'abord dénir une autre ondelette de seconde génération : la transformée ridgelet [CD99] sur laquelle ces deux ondelettes sont basées.

Les ridgelets

Les ridgelets sont des ondelettes de seconde génération qui permettent de représenter eca- cement les singularités présentes le long de droites.

Elles ont tout d'abord été dénies dans le cas continu par Candès et Donoho [Can98] [CD99], mais les applications pratiques généralement discrètes ont poussé Do et Vetterli à en donner une version discrétisée [DV00] [DV03].

La transformation ridgelet continue [Can98] [CD99] est une fonction 2-D de R2_{. On a vu}

dans l'équation (2.5) la dénition d'une ondelette 1-D de première génération, de même on peut dénir une ondelette de première génération dans le cas 2-D en réalisant un produit de tenseurs entre deux ondelettes 1-D :

ψa1,a2,b1,b2(t) = ψa1,b1(t1) ψa2,b2(t2) (3.1)

La transformation en ondelettes associée à cette ondelette 2-D s'écrit alors : W_f2(a1, a2, b1, b2) =

Z

R2

ψa1,a2,b1,b2(t) f (t) dt (3.2)

Cette transformation en ondelettes est locale ((a1,b1), (a2,b2)), cependant la transformation ridgelet continue que nous cherchons à caractériser doit avoir pour support une droite que l'on peut dénir par :

t1 cos(θ) + t2 sin(θ) = constante (3.3)

La transformation ridgelet continue associée est alors dénie par : RI_f2(a, b, θ) =

Z

R2

ψa,b,θ(t) f (t) dt (3.4)

où les ridgelets 2-D ψa,b,θ(t) sont dénies à partir d'une fonction 1-D ψ(t) :

ψa,b,θ(t) = 1 √ aψ t1 cos(θ) + t2 sin(θ) − b a  (3.5) Les ridgelets qui ont pour support des droites permettent donc de représenter ecacement les contours rectilignes.

Les curvelets

Comme on a pu le voir précédemment, les ridgelets représentent ecacement les objets lisses à contours droits, cependant les contours des objets réels d'une image naturelle sont rarement droits, ils sont plus généralement courbes (cf g. 3.1).

En se basant sur le fait que les contours courbes peuvent être vus comme droits à une échelle susamment ne, Candès et Donoho ont envisagé les curvelets [CD00a] [CD00b] pour mieux représenter ces contours courbes que les ondelettes de première génération, comme illustré sur la gure 3.1.

Fig. 3.1  Exemple d'analyse ondelettes et curvelets d'un contour courbe [DV01a] En suivant cette remarque sur les contours, la décomposition curvelet vient alors naturelle- ment et peut être décrite par :

1. Décomposition en sous-bandes de l'image réalisée par ltrage spatial passe-bande.

2. Fenêtrage de chaque sous-bande en blocs dont la taille dépend de l'échelle de la sous-bande. 3. Application de la transformée ridgelet sur ces blocs, le nombre d'orientations possibles pour

ces ridgelets est alors proportionnel à l'échelle (cf g. 3.2).

Fig. 3.2  Les orientations possibles de la décomposition curvelet [CD02] Pour illustrer cette décomposition, un exemple est donné par la suite sur la gure 3.4.

Ces curvelets vérient plusieurs propriétés, telles qu'une structure pyramidale due à la dé- composition en sous-bandes, et l'anisotropie, en vériant :

Ceci permet aux curvelets de bien s'adapter aux contours, leurs coecients sont grands quand elles sont alignées avec le contour et très faibles dans le cas contraire, comme représenté sur la gure 3.3.

Fig. 3.3  Taille des curvelets

Fig. 3.4  Exemple de décomposition curvelet [CD00a]

Des travaux complémentaires sur les curvelets ont été réalisés par la suite pour les rendre plus robustes [CD02], les discrétiser [CDDY06], et pour réaliser du débruitage [SCD02], ou du codage d'images [WZVS06].

Les contourlets

Par la suite, Do et Vetterli ont réalisé un rapprochement entre les curvelets et les bancs de ltres directionnels [DV01b], an de rendre cette transformation discrète, et ainsi ont créé les contourlets [DV01a] [DV05] [BG05] (cf g. 3.5).

Fig. 3.5  Exemple d'analyse ondelettes et contourlets d'un contour courbe [DV05] An de réaliser l'opération 1, de décomposition en sous-bandes, une pyramide Laplacienne (LP) peut être utilisée. En eet, cette décomposition pyramidale Laplacienne génère à chaque niveau une version sous-échantillonnée et passe-bas de l'original, et la diérence entre l'image originale et cette prédiction, la version passe-bande. Cependant, cette pyramide Laplacienne introduit un facteur de redondance de 4/3 mal adapté à la compression.

Les deux autres opérations sont alors réalisées à l'aide d'un banc de ltres directionnels (DFB) [BS92] qui est un ensemble de ltres ayant les mêmes caractéristiques fréquentielles, mais appliquées selon des directions diérentes. Ce type de banc de ltres a été conçu pour capturer les hautes fréquences qui représentent la directionnalité des images. Les basses fréquences sont mal représentées par cette décomposition, mais l'association avec une pyramide Laplacienne permet de les isoler dans les images passe-bas. On nomme alors cette décomposition par banc de ltres directionnels pyramidaux (PDFB) les contourlets (cf g. 3.6).

Fig. 3.6  La décomposition contourlet par pyramide Laplacienne LP et banc de ltres direc- tionnels DFB [DV05]

Les diérentes directions du banc de ltres utilisé pour cette décomposition dépendent alors de l'échelle (ou de la fréquence) d'analyse, comme illustré sur la gure 3.7 :

Fig. 3.7  Les directions contourlets en fonction de la fréquence [DV01a]

Il est important de noter que si la décomposition pyramidale Laplacienne et le banc de ltres directionnel permettent tous deux une reconstruction parfaite, alors la transformation contourlet discrète est à reconstruction parfaite aussi.