Les arborescences multi-échelles

Intuitivement, les graphes quotientés peuvent être généralisés par récurrence en appliquant, à partir du graphe initial, une nouvelle opération de quotientement aux graphes quotients suc-cessifs. L’application successive des opérations de quotientement conduit rapidement à regrouper entièrement le graphe en un seul sommet pour lequel l’application du quotientement ne modi…e plus rien. La structure ainsi obtenue est pyramidale avec, en son sommet, un sommet unique et, à sa base, un graphe.

Dé…nition 6 La dé…nition suivante formalise ces notions pour dé…nir de manière récursive les

graphes multi-échelles [Godin and Caraglio, 1998] :

un graphe simpleg est un graphe multi-échelles. L’ensemble des sommets du graphe simple

g, noté V(g), dé…nit l’ensemble des sommets du graphe multi-échelles.

sih est un graphe multi-échelles, alors g= (h; W; ) est un graphe multi-échelles tel que :

2.2. Représentations topologiques multi-échelles

Fig. 2-8 – Une arborescence quotientée (à gauche). a) le graphe support h = (V; E) et b) le graphe quotient du graphe quotienté. Tiré de [Ferraro, 2001].

– est une fonction surjective de V(h) sur W (notée _g en cas de confusion).

Un graphe simple g est appelé graphe multi-échellesterminal, sinon il est dit récursif. Pour un graphe multi-échelles g = (h; V; ) récursif , h est appelé le support de g. Dans ce cas, les trois composants du graphe multi-échelles,(h; W; ), sont similaires aux composants d’un graphe quotienté, excepté le fait que dans le cas général,hest lui-même un graphe multi-échelles, ce qui donne la structure récursive des graphes multi-échelles. De la dé…nition, il découle qu’un graphe multi-échelles g peut être développé récursivement jusqu’à obtenir un graphe simple :

g=g1 = (g2; V1; 1)

g₂ = (g₃; V₂; ₂)

...

gm 1 = (gm; Vm 1; m 1)

La séquence fg1, g2,..., gmg, où g1, g2,..., gm 1 sont des graphes multi-échelles récursifs et g_m un graphe multi-échelles terminal, est appelé le développement de g. Par construction, tout graphe multi-échelles admet un développement …ni. Chaque élément du développement d’un graphe multi-échelles correspond à une échelle de décomposition di¤érente. Dans notre dé…nition, les échelles correspondent aux index des graphes du développement de g. Pour deux graphes multi-échelles geth, sih appartient au développement degalorsh est dit plus…n que

g.

Nous utilisons ici la dé…nition des graphes multi-échelles donnée dans [Ferraro, 2001], qui est

une simpli…cation de la présentation plus générale proposée par Godin et Caraglio [Godin and Caraglio, 1998]. En e¤et, la dé…nition générale tient compte de l’idée qu’à une certaine échelle, il peut exister

des sommets qui ne sont pas décomposés dans un ensemble de sommets plus …ns.

La dé…nition récursive complète est un quintuplé qui fait apparaître deux ensembles distincts de sommets, ceux qui sont décomposés et ceux qui ne le sont pas.

La projection P(g) d’un graphe multi-échelles g est un graphe simple dé…ni récursivement par :

si gest un graphe simple alorsP(g) =g;

si g = (h; V; ) est un graphe multi-échelles récursif, P(g) = Q= (g) = Q(P(h); V; ), c’est-à-dire le graphe quotient de la projection de h.

L’opération de projection est idempotente, ce qui justi…e à posteriori que l’opérateurP sur les graphes multi-échelles soit appelé uneprojection.

Unearborescence multi-échelles (MTG) est un graphe multi-échelles dont le graphe support est une arborescence multi-échelles et la projection est une arborescence.

Fig. 2-9 –Une arborescence multi-échelles

Nous donnons avec la …gure 2-9 un exemple d’arborescence multi-échelles. Par dé…nition, le graphe g est une arborescence multi-échelles. Nous pouvons remarquer que deux graphes multi-échelles g₁ et g₂ distincts peuvent posséder un support identique. Nous dirons alors que g₁ et g₂ sont deux graphes multi-échelles incomparables. De ce constat, Godin et Cara-glio [Godin and CaraCara-glio, 1998] introduisent la notion de graphes multi-échelles généralisés. Un

graphe multi-échelles généralisé est une séquence fg₁; g₂; :::; g_mg de graphes multi-échelles in-comparables.

2.3 Conclusion

Dans le cadre de la modélisation de la géométrie de l’architecture des plantes, nous verrons au chapitre suivant comment les arborescences sont utilisées dans la littérature pour organiser des modèles géométriques détaillés. Nous montrerons ensuite dans le quatrième chapitre comment les arborescences multi-échelles peuvent être utilisées pour organiser un modèle géométrique à di¤érentes échelles.

Chapitre 3

Représentations géométriques

détaillées

Les représentations géométriques détaillées de plantes sont basées sur une décomposition de la plante en organes de di¤érents types (feuilles, fruits, entre-nœuds) qui sont représentés par di¤érentes primitives géométriques. On trouve dans la littérature une grande variabilité de primitives géométriques pour ces représentations. Certaines approches utilisent des voxels, d’autres des primitives géométriques simples (cylindres) ou plus complexes (cylindres généra-lisés, surfaces implicites). Pour une optimisation de l’a¢ chage, des imposteurs ou des textures volumiques sont utilisés. Un grand nombre de représentations à base de points, organisées ou obtenues de di¤érentes manières, permettent d’optimiser le rendu en minimisant le nombre de primitives a¢ chées en fonction de la résolution de l’image à calculer.

Ce chapitre propose une classi…cation de ces modèles suivant la manière dont ils organisent leurs primitives géométriques. Une première classe de modèles considère simplement la géométrie de la plante comme un ensemble d’éléments géométriques représentant chacun des composants. Une autre classe de modèles considère aussi l’adjacence entre ces composants pour, par exemple, obtenir des représentations plus réalistes en essayant de représenter au mieux les connections entre organes. Finalement, certaines approches cherchent à tirer parti de l’organisation hiérar-chique de la structure d’une plante pour organiser, à di¤érents niveaux de détails, l’information géométrique.

3.1 Descriptions géométriques

Fig.3-1 –Sinoquetet al.[Sinoquet et al., 1998] considèrent uniquement la géométrie des feuilles pour étudier l’interception lumineuse de ce manguier.

Une première méthode pour décrire une plante consiste à considérer uniquement la forme et l’organisation spatiale des di¤érents organes de cette plante. Les relations entre organes comme

leurs connections ne sont pas prises en compte. Tous les types d’organes ne sont pas non plus pris en compte. On pourra en e¤et ne considérer par exemple que l’organisation spatiale des feuilles pour étudier par exemple l’interception lumineuse d’une plante [Dauzat, 1993, Chelle, 1997, Sinoquet et al., 1998].

Une deuxième méthode consiste à décrire la géométrie de la plante en utilisant un modèle to-pologique (généralement une arborescence) pour organiser le modèle géométrique. Cette section présente les di¤érents types de représentations géométriques que l’on trouve dans la littérature, construits sur di¤érentes primitives géométriques et organisés sur des arborescences.