Exemples de contraintes intra-échelle

S’il existe une connection topologiqueeentre deux entitésx ety, une contrainte exprimant une connection minimale de leurs modèles géométriques peut être :

c_e:e= (x; y)2E)!(x)\!(y)6=Ø (4.1)

Des contraintes plus fortes imposant par exemple une continuité des modèles peuvent être dé…nies. Nous illustrons ici avec trois exemples, di¤érents types de contraintes intra-échelle suivant les di¤érents types de relations et di¤érents types de modèles géométriques.

Eléments portés

Dans le cas d’une entitéy représentant une feuille ou un fruit et une entité x représentant l’entre-nœud qui la porte, (x; y) 2 E+ (i.e. x porte y), la contrainte 4.1 su¢ t pour exprimer la connection physique entre ces deux types d’entités. Cette contrainte peut aussi, intégrer des informations liées à l’orientation relative de ces deux entités. Dans la …gure 4-2, on observe que les feuilles sont insérées avec un angle de 90 par rapport aux entre-nœuds qui les portent, ce qui correspond à une disposition alternée distique sur la branche (la branche a une tendance dite plagiotropique).

Fig.4-2 –Une branche composée de cinq entre-nœuds (représentés par des sommets jaunes dans le graphe) portant chacun deux feuilles (représentées par des sommets verts dans le graphe). Les relations entre les orientations des modèles géométriques des di¤érentes entités peuvent être traduites sous forme de contraintes intra-échelle portées par le graphe topologique. Pour les feuilles, ces contraintes s’expriment en fonction de leurs angles d’insertion et de la phyllotaxie de la branche.

La disposition des feuilles sur un axe peut être exprimée par des contraintes intra-échelle de la forme suivante :

ce: si9e2E+; e= (x; y), alorsOy =Ox:R oùR correspond à une matrice de rotation d’un angle par rapport à l’axe!_{k de O}

x.

Plus généralement, des contraintes liant l’orientation, la position et les dimensions de l’entité porteuse et l’entité portée peuvent être dé…nies. Dans le cas de l’orientation, ces contraintes utilisent des critères liés à l’angle d’insertion et la phyllotaxie d’une branche. De nombreuses études botaniques s’e¤orcent de déterminer ces caractéristiques pour les di¤érents types de plantes existantes.

On peut noter dans ce premier exemple, que les contraintes sont induites par la topologie et par la connaissance botanique associée au graphe ou aux entités du graphes. En e¤et, les contraintes minimales de connection, déduites de la structure topologique, ne permettent géné-ralement pas de déterminer une valeur à tous les paramètres des modèles. A…n d’obtenir des modèles botaniquement réalistes, les contraintes sont étendues par des critères liés à la compré-hension biologique du modèle. Dans ce cas, les deux modèles géométriques utilisés sont de type di¤érent et aucune condition n’est mise sur les paramètres même des modèles.

Continuité des éléments

Ce deuxième exemple, illustré par la Figure 4-3, porte sur la géométrie d’une branche com-posée de quatre segments. Trois types de contraintes de continuité ont été utilisées lors de la création des modèles géométriques. Dans la première représentation, des troncs de cônes sont utilisés pour représenter les di¤érents entre-nœuds. Les contraintes utilisées spéci…ent que :

ce : si 9e2E<; e= (x; y) (i.e.x précèdey), alors le diamètre et le centre de la section base du tronc de cône représentant y devront être respectivement égaux au diamètre et au centre de la section sommet du tronc de cône représentantx.

4.3. Modèle géométrique associé à un graphe

Fig. 4-3 – Une branche composée de quatre entre-nœuds dont la géométrie a été calculée avec di¤érentes contraintes de continuité entre les modèles représentant les entre-nœuds. Dans la première représentation, la surface totale de la branche est discontinue, notamment au niveau des connections ; dans la deuxième, la représentation est C₀-continue et dans la troisième la représentation est C2-continue.

La géométrie globale de la branche est, dans ce cas, discontinue aux jointures. Si la surface obtenue n’est pas mathématiquement continue, la résolution de telles contraintes est très simple et peu coûteuse en temps de calcul.

Dans la deuxième représentation, les contraintes utilisées spéci…ent que :

c_e : si 9e 2 E_<; e= (x; y), alors la section base du modèle représentant x doit être la même que la section sommet du modèle représentant y.

La géométrie globale de la branche est, dans ce cas,C0-continue. Les tangentes de la surface globale ne sont pas continues aux jointures, donnant une impression de fracture.

Finalement dans la troisième représentation, des contraintes de continuité forte sont appli-quées. La géométrie des di¤érents entre-nœuds est construite avec des surfaces B-Splines que l’on contraint pour être continues entre-elles aux jointures (continuité des tangentes et des déri-vées secondes). La géométrie totale de la branche est C₂-continue et le résultat est de meilleure qualité visuelle.

On peut noter avec ce deuxième exemple que les paramètres des modèles géométriques élé-mentaires sont contraints. Le choix de la famille du modèle géométrique est déterminant. Un modèle ‡exible tel qu’une surface B-Splines permet de résoudre des contraintes complexes de continuité. Un tronc de cône, au contraire, avec son nombre limité de paramètres ne peut pas permettre de résoudre de telles contraintes. Il est aussi plus facile de résoudre des contraintes de continuité entre deux modèles de même type. Dans le cas des surfaces B-Splines, la résolution des contraintes intra-échelle reste cependant complexe à mettre en place. Nous verrons à la section 4.4.4 comment l’utilisation d’autres échelles permet de simpli…er le problème et d’obtenir des surfaces de qualité similaire.

Finalement, comme pour le premier exemple, un certain nombre de contraintes liées à la cohérence botanique du modèle peuvent être ajoutées pour déterminer une solution réaliste au calcul de la géométrie des di¤érents composants. Par exemple l’orientation relative entre deux entités peut être formalisée sous forme de contraintes en prenant en compte l’a¤aissement de la branche sous le poids des fruits et des autres organes, ou plus simplement en étudiant la forme générale des axes d’une plante particulière. De la même manière, les longueurs des modèles représentant ces entre-nœuds peuvent être dé…nies relativement les uns par rapport aux autres.

Par exemple la longueur d’une entité peut être exprimée comme un ratio de la longueur de l’entité précédente.

Branchement

Fig. 4-4 – Exemple de continuité dans la géométrie d’un branchement. Un entre-nœud porte à sa terminaison deux entre-nœuds. Di¤érents types de contraintes de continuité peuvent être utilisés. Dans le premier cas, la géométrie du branchement est mathématiquement discontinue, dans le deuxième cas la surface estC₀ continue. Dans le dernier cas tiré de [Bloomenthal, 1985], l’utilisation de splines interpolées permet d’obtenir un résultat C₂ continue.

Dans ce troisième exemple (Figure 4-4), nous illustrons di¤érents types de contraintes de continuité utilisés pour déterminer la géométrie d’un branchement. Un entre-nœud porte à son extrémité deux entre-nœuds qui initient de nouvelles branches. La première représentation satis-fait des contraintes simples de continuité. Des troncs de cônes sont utilisés pour représenter les di¤érents entre-nœuds. Le diamètre sommet de l’entre-nœud porteur est égal aux diamètres base des entre-nœuds portés. Des trous apparaissent dans la représentation. Dans la deuxième repré-sentation, les sections bases des deux entre-nœuds portés et la section sommet de l’entre-nœuds portés sont connectées par un prisme. Le résultat est une représentation C₀ continue. Finale-ment, la troisième représentation utilise des splines interpolées pour satisfaire des contraintes fortes de continuité. Cette dernière illustration est tirée de [Bloomenthal, 1985]. Le résultat est

C₂ continu.

Conclusion

Ces di¤érents exemples illustrent les principales contraintes intra-échelle imposées sur les re-présentations de plantes utilisées dans la littérature. Elles a¤ectent les paramètres des di¤érentes transformations et des modèles géométriques associés à chacune des entités : une certaine conti-nuité est exigée sur les modèles successifs, le positionnement et l’orientation du modèle d’une entité sont généralement spéci…és relativement au modèle de l’entité précédente et les paramètres des modèles sont contraints pour donner des modèles géométriques successifs continus.