4.4 Modèle géométrique associé à un graphe multi-échelles
4.4.4 Exemple de modèles multi-échelles et de contraintes inter-échelles
Les contraintes inter-échelles proviennent du fait que deux modèles géométriques à deux niveaux de détails di¤érents représentent un même objet réel. Si une entité y, représentant par exemple un système rami…é, est décomposée en un ensemble d’entités xi, représentant les
4.4. Modèle géométrique associé à un graphe multi-échelles branches contenues dans ce système rami…é, alors le modèle géométrique dey,m(y)et l’ensemble des modèles géométriques des entités xi, [im(xi), doivent avoir une certaine cohérence. Les contraintes inter-échelles vont en fait …xer les degrés de liberté et donc les di¤érences possibles entre ces modèles. Le modèle géométrique m(y) étant une représentation simpli…ée de[im(xi), les contraintes expriment en fait les critères utilisés pour complexi…er m(y) et obtenir [im(xi)
et inversement pour simpli…er les [im(xi) et obtenirm(y).
Nous illustrons ici, par di¤érents exemples de géométrie multi-échelles, di¤érents types de contraintes inter-échelles que l’on peut trouver dans la littérature dans di¤érents types de mo-dèles.
Représentations multi-échelles linéiques
Ce premier exemple porte sur la géométrie d’une branche à deux échelles. Une branche y
est composée de quatre segmentsx1; x2; x3 etx4 comme l’indique le graphe multi-échelles de la Figure 4-6.c. Une représentation, à l’échelle des segments, est donnée par la Figure 4-6.d avec un modèle élémentaire par segment. Les Figures 4-6 a et b illustrent deux exemples de géométries globales à l’échelle de la branche. Dans la Figure 4-6.a, le modèle géométrique élémentaire choisi pour représenter la branche est un tronc de cône. Les contraintes inter-échelles liant ces deux représentations sont relatives aux positions et aux diamètres à la base et au sommet de la branche. Dans ce premier exemple, les contraintes inter-échelles sont appliquées :
c1 :DiametreBase(m(y)) =DiametreBase(m(x1))
c2 :P ositionBase(m(y)) =P ositionBase(m(x1))
c3 :DiametreSommet(m(y)) =DiametreSommet(m(x4))
c4 :P ositionSommet(m(y)) =P ositionSommet(m(x4))
La Figure 4-6.a constitue donc une représentation simpli…ée de la branche ayant une certaine cohérence avec la représentation à l’échelle plus détaillée des entre-nœuds.
La Figure 4-6.b utilise une autre famille de modèles géométriques : les cylindres généralisés. Avec ce modèle, la géométrie des segments est mieux approchée. La contrainte résolue est donc d’être au plus prêt des points base et sommet des entre-nœuds, ce qui dé…nit assez simplement l’axe du cylindre généralisé, et d’avoir les mêmes sections.
c1 :8i2[1;4];km(y); P ositionBase(m(xi)k< " c2 :8i2[1;4];km(y); P ositionSommet(m(xi)k< "
L’axe du cylindre généralisé, dans ce cas, est une approximation par une courbe NURBS des points des segments, donnant ainsi un lissage des données et permettant une surface continue
C2.
La géométrie à l’échelle de la branche est calculée comme une simpli…cation par rapport à celle de l’échelle des segments. Cette simpli…cation permet, dans le cas de la Figure 4-6.b, d’obtenir une représentation plus lisse et donc de meilleure qualité visuelle. La complexité du modèle 4-6.a est inférieure à la complexité du modèle 4-6.d ce qui peut permettre d’optimiser certains calculs, notamment d’a¢ chage. Le modèle de la Figure 4-6.b reste de complexité supérieure dans ce cas, mais dans des cas où la géométrie d’une branche est dé…nie par plus de points, l’utilisation d’une approximation par une NURBS permet de simpli…er (tout en lissant) les données.
Ce premier exemple portait sur des objets géométriques linéiques dont la topologie reste une simple séquence. Une des di¢ cultés dans la représentation multi-échelles d’objets tels que les plantes réside dans la représentation globale d’objets dont la structure est arborescente et dont la géométrie est particulièrement irrégulière.
Représentations multi-échelles surfaciques
Cette section aborde le problème de la représentation multi-échelles de surfaces. Pour le calcul de l’interception de la lumière par une plante, l’orientation et la dimension de la surface
Fig. 4-6 – Représentation multi-échelles d’une branche composée de quatre segments. (c) Une première représentation à l’échelle des segments (d) et deux représentations possibles à l’échelle de la branche : la première (a) avec un simple tronc de cône et la deuxième (b) avec un cylindre généralisé.
des feuilles sont particulièrement importantes. Dans ce deuxième exemple, deux représentations à deux échelles di¤érentes d’un système rami…é simple (Figure 4-7.a) sont liées par des contraintes inter-échelles sur ces deux paramètres.
Fig. 4-7 – (a) Représentation multi-échelles d’un système rami…é simple. (b) Une première représentation à l’échelle des entre-nœuds et (c) une deuxième à l’échelle de la branche. Dans ce modèle, les contraintes inter-échelles portent sur l’orientation et la dimension de la surface des feuilles.
La représentation de la Figure 4-7.b, à l’échelle des entre-nœuds, et celle de la Figure 4-7.c, à l’échelle de la branche, ont en moyenne la même orientation et la même surface de feuilles. Dans la deuxième représentation, les feuilles ne sont représentées que par un seul modèle géo-métrique. On retrouve aussi l’utilisation de telles contraintes dans le travail de Zhang et Blaise [Zhang and Blaise, 2003] (voir section 3.3.2) pour la représentation multi-résolution du feuillage. Dans le contexte de la simpli…cation de surface, Popovic et Hoppe [Popovic and Hoppe, 1997] proposent une méthode pour automatiser la création de surfaces multi-résolutions. Les points d’un maillage représentant une surface sont fusionnés deux à deux pour créer de nouveaux points, représentant plus globalement une partie du maillage (Figure 4-8). La fusion de deux pointsx1etx2du maillage (notésfagetfbgsur la …gure 4-8 gauche) en un point macroscopique
4.4. Modèle géométrique associé à un graphe multi-échelles
Fig. 4-8 – Création automatique d’une surface multi-résolution en fusionnant deux à deux les points du maillage. Tiré de [Popovic and Hoppe, 1997].
correspondre à l’isobarycentre de x1 etx2 :
c1:m(y) = m(x1) +m(x2) 2
Ces points sont ensuite stockés dans une structure hiérarchique. Cette structure est déterminée par l’ordre de fusion des points. Cet ordre est calculé comme un problème d’optimisation pour minimiser la déformation de la surface que l’on peut de nouveau simpli…er en fusionnant deux de ces points. Chaque fusion de deux points a un coût lié à la déformation de la surface qu’elle impose. La fusion de moindre coût est choisie, créant ainsi une nouvelle structure plus macro-scopique. Lors de la création de cette structure multi-échelles, di¤érents chemins dans le treillis des décompositions sont examinés et celui minimisant les déformations successives est choisi.
Fig. 4-9 –(a) Représentation multi-échelles d’un système rami…é. (b) Une représentation …ne à l’échelle des entre-nœuds et (c) une première représentation globale. La représentation globale utilise un imposteur qui permet d’optimiser l’a¢ chage.
Finalement, la géométrie détaillée d’un système rami…é peut être simpli…ée par un imposteur (Figure 4-9). On trouve l’utilisation d’une telle technique notamment dans [Meyer et al., 2001]. Dans ce cas, la contrainte inter-échelles utilisée spéci…e que la projection des deux représentations suivant un plan particulier doit être la même.
Représentations multi-échelles volumiques
La géométrie d’un système rami…é peut aussi être représentée macroscopiquement par son enveloppe, dans ce cas convexe (Figure 4-10). Ce type de représentation est utile notamment
dans l’étude d’un couvert forestier ou le volume occupé par un houppier permet de déterminer par exemple la quantité de lumière perçue par les di¤érents étages de végétation. Le volume du système rami…é est donc approché au mieux à une échelle globale. Dans ce cas, la contrainte inter-échelles spéci…e que la représentation …ne doit être contenue dans l’enveloppe globale et que celle ci doit avoir une surface minimale.
Fig.4-10 –Représentation macroscopique du système rami…é de la Figure 4-9 par une enveloppe convexe, qui donne une représentation volumique macroscopique du système.