Cette première étude a pour but de donner des premières méthodes et résultats pour l’éva-luation des algorithmes et modèles présentés précédemment. Plusieurs problématiques liés à la représentation à deux échelles sont ici abordées. La première porte sur la relation entre les représentations détaillées et globales, la deuxième sur le choix du modèle global. Ces deux représentations ont-elles des ordres de grandeurs communes ? Suivent elles les mêmes lois de variation ? Les di¤érents types de représentations macroscopiques sont elles équivalentes ? Pour évaluer cela, di¤érents critères et méthodes sont utilisés. Nous examinons, sur un peuplement homogène équien1 simulé, les ordres de grandeurs et les variations de di¤érentes dimensions (volume et surface) des di¤érentes représentations macroscopiques. Nous étudions ensuite si ces dimensions et variations des di¤érents types de représentations sont corrélées entre elles et avec celles des représentations détaillées.
5.2.1 Peuplement homogène équien d’eucalyptus
Cette évaluation est basée sur un peuplement homogène d’eucalyptus (Figure 5-5) équien composé de 201 individus construits à partir d’un même algorithme2 dont on a fait varier la graine aléatoire qui contrôle les tirages aléatoires utilisés pour la génération des di¤érents arbres. Les di¤érentes plantes sont donc fortement similaires.
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de même âge
5.2. Etude comparée des di¤érents algorithmes d’inférence
Fig.5-5 –Peuplement homogène d’eucalyptus simulés avec le même algorithme mais des graines aléatoires di¤érentes. Données de T. Coudurier et Y. Caraglio [Coudurier et al., 1994] construites avec le simulateur AMAPsim [Barczi et al., 1997] par Y. Caraglio. La géométrie a été recons-truite avec AMAPmod [Godin et al., 2002] et rendue avec POV-Ray [POV-Ray, 2003].
Nous avons donc testé les di¤érents algorithmes pour calculer plusieurs représentations glo-bales possibles du houppier de chaque arbre (Figure 5-6). La Figure 5-6 présente une première comparaison des résultats obtenus. Les modèles sont comparés suivant deux caractéristiques gé-nérales communes, leurs surfaces et leurs volumes. Nous avons calculé la surface (resp. volume) des représentations détaillées (noté Micro sur le graphique) comme la somme des surfaces (resp. volumes) de chacun des modèles géométriques élémentaires utilisés3. Ceci nous permet donc de comparer ces grandeurs à di¤érentes échelles.
5.2.2 Ordre de grandeur des surfaces et volumes
Dans la famille des modèles moyens, on observe une grande similarité entre les résultats obtenus pour les cylindres, les boîtes alignées et orientées. Les valeurs de surfaces et de volumes en moyennes sont les plus faibles et les écarts en valeur absolue très faibles. On remarque que sur ce peuplement, ces deux derniers algorithmes donnent des résultats quasiment identiques, ce qui s’explique par le fait que l’orientation générale des arbres est relativement proche du repère initial. L’algorithme de calcul des sphères moyennes semble donner des modèles avec des dimensions plus importantes et plus sensibles à la variabilité du peuplement initial que les algorithmes précédents.
L’algorithme de calcul des axes d’inertie donne en moyenne des résultats assez similaires aux sphères moyennes pour les critères étudiés.
La famille des modèles englobants semble plus sensible à la variabilité de la géométrie détaillée du peuplement que les familles précédentes, notamment pour les algorithmes des ellipsoïdes, et des sphères. Les sphères englobantes ont les volumes les plus grands. Les ellipsoïdes ont les plus
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Dans cet exemple où nous ne considerons que le bois des eucalyptus, le volume des représentations détaillées correspond au volume de bois des arbres. Si l’on considère également les feuilles, cette notion est plus ‡oue car le volume de feuilles (généralement considérées comme des surfaces sans épaisseur) est di¢ cile à apprécier.
Fig. 5-6 – Les di¤érents algorithmes d’inférence ont été utilisés pour calculer des représenta-tions globales des houppiers d’un peuplement homogène. Les surfaces et les volumes des modèles obtenus sont comparés. Pour chaque type de modèle, l’ensemble des valeurs calculées sur le peu-plement est représenté par une boite à moustache construite avec la moyenne, les valeurs maxi-male et minimaxi-male et les quartilles supérieur et inférieur. Les modèles sont classés par catégories auquelles sont associées une couleur. Les modèles moyens sont coloriés en jaune, les modèles englobants en bleu, les enveloppes en pourpre et les ellipsoïdes représentant les axes d’inertie en vert. Les surfaces et volumes des modèles détaillés (Micro) sont représentés en gris.
5.2. Etude comparée des di¤érents algorithmes d’inférence grands écarts. Les boîtes englobantes alignées et orientées et les cylindres englobants donnent des résultats similaires, inférieurs aux deux algorithmes précédents.
Les modèles d’enveloppes donnent des résultats assez similaires. Dans cette catégorie, les enveloppes convexes ont les écarts les plus petits en valeur absolue.
Fig. 5-7 – Comparaison des surfaces et des volumes obtenus pour les di¤érentes catégories de modèles volumiques. Pour chaque catégorie, la moyenne des surfaces et des volumes des di¤érents modèles est représentée. Les surfaces et volumes des modèles des représentations détaillés sont aussi donnés.
Les di¤érentes catégories sont comparées entre elles et aux surfaces des modèles détaillés d’eucalyptus dans la …gure 5-7. On observe que les surfaces et volumes moyens ainsi que l’écart en valeur absolue des di¤érentes familles de représentations macroscopiques semblent di¤érentes de celles des représentations détaillées. En moyenne, ces deux dimensions ordonnent les catégories de modèles de la manière suivante : modèles englobants, modèles d’enveloppe, représentation des axes d’inertie et modèles moyens. On trouve en moyenne un facteur 2 (entre 3 et 1.5) entre chaque famille consécutive. Le même facteur est observé pour les écarts en valeur absolue.
Pour cet exemple, les surfaces des modèles détaillés semblent être légèrement supérieures en moyenne et pour leur écart aux modèles d’enveloppes. Les volumes de ces modèles, par contre, sont en moyenne largement inférieurs à ceux de toutes les représentations macroscopiques, environs 30 fois plus petits que les modèles moyens et 500 fois plus petits que les modèles englobants.
Il est à noter que la relation entre les surfaces et les volumes des modèles détaillés et celles des modèles globaux n’est ici présentée que pour donner un ordre de grandeur. Cette relation n’est généralement pas linéaire. On considère en e¤et qu’un arbre a une géométrie avec des propriétés fractales. Un changement d’échelle introduit de nouveaux détails (qui ne sont pas mesurés à une échelle plus globale). On peut, dans ce cas, utiliser des représentations globales pour déterminer certaines caractéristiques telle que la dimension fractale de cette géométrie. Cette relation et son utilisation pour calculer la dimension fractale de la géométrie d’une plante sont présentés comme une application de ce travail dans la section 5.4.2.
5.2.3 Variabilité des surfaces et volumes
Nous étudions ici les ordres de grandeurs relatifs des variations des surfaces et des volumes des di¤érents modèles macroscopiques présentés précédemment.
Fig. 5-8 –Coe¢ cient de variation des surfaces et des volumes des modèles résultants des algo-rithmes d’inférence et des modèles détaillés.
La Figure 5-8 donne le coe¢ cient de variationcX des surfaces et des volumes pour chacun des modèles macroscopiques et des représentations détaillées.
cX = X
mX
avec mX la moyenne des valeurs et X l’écart type
X = s nP x2 (P x)2 n(n 1)
Ce coe¢ cient est une grandeur sans dimension qui traduit la dispersion relative des valeurs autour de la valeur moyenne. Il permet de comparer la dispersion de données qui ont des ordres de grandeur di¤érents.
On observe sur la Figure 5-8 que les représentations détaillées ont des variations de0:10 et
0:09respectivement pour les surfaces et les volumes. La plupart des modèles (les enveloppes, les axes d’inertie, les cylindres moyens et englobants, les boîtes orientées et alignées moyennes et englobantes) ont des variations inférieures ou équivalentes aux modèles détaillés : entre 0:06 et
0:07 pour les surfaces, et entre0:08et0:11 pour les volumes.
Les sphères englobantes et moyennes, ainsi que les ellipsoïdes englobants ont, pour les deux critères, des variations plus importantes (respectivement 0:09 et 0:13; 0:14 et 0:18; et 0:21 et
0:29). Ceci peut s’expliquer par le fait que ces algorithmes sont certainement plus sensibles aux points extrêmes des représentations détaillées. Et donc pour des représentations détaillées de surfaces et volumes quasi identiques, si l’une d’elle a des points extrêmes beaucoup plus éloignés, elle aura une représentation globale avec des dimensions plus importantes.
Comme ils résument la géométrie détaillée, on peut donc noter que la plupart des représenta-tions globales sont moins variables que les représentareprésenta-tions détaillées. Le modèle des enveloppes convexes semblent être celui qui simpli…e le plus les variations de la géométrie détaillée.
5.2.4 Corrélation des variations
Nous évaluons ici si les di¤érentes représentations des eucalyptus du peuplement observent des variations similaires. Pour cela, pour deux types de représentations, un coe¢ cient de corré-lation des valeurs des surfaces et volumes obtenus est calculé.
5.2. Etude comparée des di¤érents algorithmes d’inférence Le coe¢ cient de corrélation entre deux séries de données est dé…ni par :
X;Y = Cov(X; Y)
cXcY
avec 1 X;Y 1 et Cov(X; Y) la covariance des deux séries (la moyenne des produits des déviations) dé…nie par
Cov(X; Y) = 1
n
X
(x mX)(y mY)
Les Figures 5-9 et 5-10 donnent respectivement les matrices de corrélation entre les surfaces et les volumes des di¤érents modèles. Pour chacun des couples de modèles, un coe¢ cient de corrélation est calculé. Les valeurs sont coloriées suivant l’intensité de la corrélation. Ces corré-lations sont calculées sur une échantillon de201arbres et ont donc un intervalle de con…ance de
0:14 (les séries de points sont supposées suivre une loi normale et il y a 95% de chance que les valeurs réelles de corrélation soit compris entre 0:14 de la valeur obtenue).
Fig. 5-9 – Coe¢ cient de corrélation des surfaces des di¤érents types de représentations du peuplement. Ce coe¢ cient nous permet d’estimer si les représentations, sur ce peuplement, observent les mêmes types de variation.
On observe tout d’abord que les deux graphiques donnent les mêmes types de résultats avec des amplitudes légèrement moindres pour les volumes.
Les représentations détaillées ont leurs meilleures corrélations avec les enveloppes convexes, et les enveloppes extrudées. On remarque les très bonnes corrélations entre les modèles moyens et les ellipsoïdes qui semblent avoir des amplitudes de variations semblables. Les ellipsoïdes englobants ont les corrélations les plus faibles avec tous les autres modèles, ce qui semble indiquer que ce modèle (ou du moins notre implémentation) donne les résultats les moins représentatifs de la géométrie des arbres du peuplement. Cet algorithme semble plus sensible aux variations dues aux points extrêmes qui sont dans ce cas plus fortes que celles dues à l’ensemble des géométries détaillées. Cela était déjà souligné par la très forte variabilité des résultats de ce modèle. Certains coe¢ cients de corrélation de ce modèle sont en dessous de0:14, et il est donc possible qu’il n’existe pas de relation.
Il semble logique que les modèles géométriques globaux aient des variations di¤érentes de celles des modèles géométriques détaillés. Les enveloppes et les modèles englobants, par exemple,
Fig. 5-10 – Coe¢ cient de corrélation des volumes des di¤érents types de représentations du peuplement.
représentent la frontière des houppiers des plantes. Ils ne sont donc pas sensibles aux variations de géométrie à l’intérieur du houppier.
Les enveloppes convexes …nalement ont les meilleures corrélations avec les autres modèles. Ce modèle semble être une représentation "moyenne" de tous les autres.
De cette première étude, nous pouvons conclure qu’une représentation globale n’a pas force-ment des dimensions d’ordre de grandeur comparable avec celle d’une représentation détaillée, et qu’elle ne suit pas forcement le même type de variation. Des méthodes telles que l’analyse statis-tique de la moyenne et de la variance nous permettent de quanti…er cette di¤érence. Le choix du modèle de représentation global semble important, les dimensions et variations pouvant être très di¤érentes. Des applications possibles de l’étude des di¤érences de variations et de dimensions d’une représentation détaillée et d’une représentation globale portent sur la caractérisation de la stratégie d’occupation de l’espace par une plante et sont présentées dans la section 5.4.