LEADER ELECTION IN SYNCHRONOUS RINGS

Em engenharia existe uma elevada variedade de materiais metálicos onde as propriedades mecânicas variam de acordo com direção de solicitação. O fenómeno descrito designa-se por ani- sotropia, este fenómeno deve-se sobretudo à natureza original do material mais especificamente estrutura cristalográfica, elementos de liga, tratamentos térmicos e mecânicos a que foi sujeito. Eventualmente, a natureza original do material poderá ser isotrópica, contudo, com o desenvolvi- mento da deformação plástica o material sofre alterações progressivas das propriedades mecânicas que levam o para a comportamento anisotrópico.

Quando se pretende analisar processos de fabrico que envolvam chapas metálicas é de extrema importância a análise da anisotropia. As chapas que derivam da laminagem de lingotes e, portanto, sofrem uma reorientação dos grãos de acordo com a direção de laminagem, estes que inicialmente se encontravam dispostos aleatoriamente. Razão pela qual ocorre aparecimento de anisotropia, por exemplo, neste caso de modo geral a tensão limite de elasticidade segundo a direção perpendicular à direção de laminagem é superior à de laminagem [10].

O crescente uso de materiais anisotrópicos na indústria da conformação plástica, induz o prin- cipal desafio da sua caracterização. Neste capítulo a linha de rumo passa por apresentar os crité- rios, atualmente, mais conhecidos e de maior uso para esse efeito. Estes critérios aparecem, no entanto, sempre sujeitos a alterações de modo a tentar sempre melhorar e compreender as mais diversificadas naturezas dos materiais. Nas secções seguintes faz-se referência com maior detalhe aos critérios de cedência mais destacados.

2.3.1.1 Formulação de Hill

Em 1948, Hill [13] introduziu uma extensão ao critério de von Mises, critério esse que per- mite apenas caracterizar materiais com tensão de cedência semelhante para diferentes direções de solicitadas. Com esta evolução consegue-se caracterizar materiais denominados por ortotrópicos (tensão de cedência diferente para diferentes direções de solicitação) de forma simples e sem ne- cessidade de conhecer a origem cristalográfica. A eficácia das suas suposições, fácil compreensão e baixo número de parâmetros para definição do material, torna o critério bastante acedido no ponto de vista de simulação numérica de conformação de plástica de chapas [14,15].

Considere-se a base ortonormal {x, y, z} coincidente com os eixos principais de anisotropia, o critério de cedência de Hill vem da seguinte forma [15]:

Φ(σ , σ ) = F (σyy−σzz)2+G(σzz−σxx)2+H(σxx−σyy)2+2(L·σyz2+M ·σzx2+N ·σxy2)−σ2 (2.5)

em que as constantes F, G, H, L, M e N representam os parâmetros característicos do estado de anisotropia do material e σ é a tensão de cedência relativa, é uma grandeza escalar usada para quantificar a superfície de cedência [15]. Em paralelo, quando no critério de Hill48 se verifica a seguinte condição:L = M = N = 3F = 3G = 3H, o critério de von Mises é reproduzido, sendo possível usar para descrever materiais isotrópicos. Estes coeficientes são valores determinados para diferentes orientações do material [14]:

F= H r90 =r0· G r90 = r0 r90· (1 + r0) (2.6) G= 1 1 + r0 (2.7) H= r0· G = r0 1 + r0 (2.8) L= M = 3 2 (2.9) N=1 2 (r0+ r90) · (2 · r45+ 1) r₉₀· (r₀+ 1) (2.10)

Os valores r0, r45 e r90 são retirados do ensaio de tração e representam os coeficientes de Lankford, ou coeficientes de anisotropia, segundo a direção 0◦, 45◦e 90◦, relativamente à direção de laminagem da chapa [16].

Figura 2.6: Definição dos ângulos para a determinação dos coeficientes de anisotropia [16]

Tomando como figura de referência a figura2.6, considere-se que se pretende determinar o coeficiente de Lankford (rα) para uma dada direção de laminagem com ângulo α de inclinação.

Terá de ser medida a deformação em espessura (εt) e largura (εw):

r_α=εw(α) εt(α)

(2.11)

Também é usual usar-se o conceito de anisotropia normal, r, equação 2.12. É um parâmetro de conformabilidade que permite conhecer a capacidade que a chapa possui, quando carregada no plano, em resistir ao alongamento. Se r = 1 puder-se-á estar perante uma superfície isotrópica, quando r > 1 a chapa apresenta maior resistência ao longo da espessura e sofre maior alonga- mento quando comparada com a superfície isotrópica, no caso de r < 1 há maior facilidade ao alongamento traduzida na maior tendência de rotura durante o processo [14].

r= r0+ 2 · r45+ r90

4 (2.12)

Os materiais não seguem todos a mesma tipologia, de forma que para certos materiais o critério de Hill não é suficiente para sustentar a sua modelação. De acordo com Woodthorpe e Pearce, autores responsáveis por comparar, para o mesmo material (chapa de alumínio), valores de tensão biaxial com os valores previstos para valores uniaxiais que conferiu o facto do critério de Hill não conseguir a sua modelação. Posteriormente, Bramley e Mellor, concluiram que para chapas de zinco o critério não era aplicável, contudo para aço e titânio funcionava. Em 1979, Hill [17] apresenta uma novo critério de cedência não quadrático, capaz de descrever mais satisfatoriamente o comportamento de certas ligas. [14,18].

σm= F|σyy− σzz|m+G|σzz− σxx|m+ H|σxx− σyy|m+ A|2 · σxx− σyy− σzz|m + B|2 · σyy− σzz− σxx|m+C|2 · σzz− σxx− σyy|m

(2.13)

F, G, H, A, B e C são parâmetros de anisotropia associados a este critério, σxx,σyy, σzz são as tensões principais, σ é um fator de escala da tensão e m é constante do material necessário para garantir convexidade [19].

m= 1.14 + 0.56 · r (2.14)

deste modo, tem-se uma relação entre os coeficientes de anisotropia e o parâmetro m. É válida para valores inferiores a 0.8 de r, já para valores superiores será necessário caracterização experi- mental [19].

Em 1990, Hill apresenta a uma nova extensão do critério. É apenas definido para estados planos de tensão visa a superar a limitação relativa à coaxilidade entre os eixos de anisotropia e as direções principais de tensão [20].

φ = |σ1− σ2|m+ σ_ba τa|σ1− σ2| m + |σ₁2− σ₂2|a/2−1· [−2 · A(σ₁2− σ₂2) + B(σ1− σ2)2· cos(2 · β )] = (2 · σb)2 (2.15)

• σb, tensão limite de elasticidade biaxial

• A e B, coeficientes de anisotropia

O parâmetro m pode ser determinado da seguinte forma:

2 · σ b σ45

m

= 2 · (1 + r45) (2.16)

Mais tarde, no ano de 1993, Hill procura modelar o comportamento dos materiais que possuem características muito próprias, cujos critérios anteriores não conseguem dar resposta a tal facto. Os comportamentos mecânicos em questão, são respectivamente quando σ0= σ90observa-se diferen- tes valores de anisotropia, ou seja, r06= r90. Este comportamento designa-se por "comportamentos anormal de segunda ordem", conceito definido por Banabic, de acordo com Teixeira [19]. O cri- tério de Hill 1993 vem de acordo com uma função polinomial de terceiro grau, equação 2.17. Importa referenciar que é um critério, que igualmente ao de 1979 se aplica a estados planos de tensão, uma vez que não se contabiliza tensões de corte [21].

σxx2 σ₀2 −C ·σxx· σyy σ0· σ90 +σ 2 yy σ₉₀2 + h (A + B) −A· σxx+ A · σyy σb i ·σxx· σyy σ0· σ90 = 1 (2.17)

Veja-se o exemplo da figura2.7, tem-se a comparação experimental de dois materiais diferen- tes, nomeadamente aço ST 1405 e alumínio AlMgSi 1. O objetivo passa por comparar no espaço de tensões no plano qual o critério que mais se aproxima da realidade. Observando a figura, constata-se que o critério de von Mises é capaz de descrever o comportamento anisotrópico dos materiais, e que o critério de Hill 48 modela com maior exatidão o aço que a liga de alumínio. Por outro lado, comparando os critérios de Hill, o de 1993 permite melhores resultados [20].

Figura 2.7: Comparação no espaço (σxx,σyy), dos resultados experimentais e critérios de plasticidade: a)

2.3.1.2 Formulação de Barlat

Em 1989, Barlat e Lian [22] desenvolvem um critério de cedência, designado por Yld89, a ser aplicado em materiais anisotrópicos válido para estados de tensão plana. É um dos critérios mais conhecidos e recorridos na modelação do material. É escrito na seguinte forma [20]:

φ = a · |K1+ K2|m+ a · |K1+ K2|m+ (2 − a) · |2 · K2|m= 2 · σYm (2.18)

K1e K2são as tensões principais do tensor desviador, σY a tensão limite de elasticidade em tração uniaxial, os parâmetros são calculados pela seguinte forma [14]:

K1 = σxx+ h · σyy 2 (2.19) K2 = r _σxx+ h · σ_yy 2 2 + p2_{· τ}2 xy (2.20)

Entretanto, surge uma extensão do critério isotrópico de Hershey e Hosford, Yld91, cujo ob- jetivo seria caracterizar materiais que apresentem anisotropia ortotrópica. A anisotropia é introdu- zida segundo um operador de transformação linear de quarta ordem L, dos valores principais do tensor das tensões, s, do tensor das tensões σ e dos tensor das tensões inversas, X [20,21]:

s= L : (σ − X ) (2.21)

|s1− s2|m+ |s2− s3|m+ |s1− s3|m= 2σYm (2.22) considere-se a equação anterior como expressão geral do critério de cedência Yld91, cujos valores s1, s2e s3representam as tensões principais do tensor das tensões desviador e σY a tensão limite de elasticidade em tração uniaxial. O parâmetro m depende da estrutura cristalográfica do material cuja otimização melhora a previsão da forma da superfície de plasticidade. Terá de ser superior a 1 de modo que respeite a convexidade [21].

O critério Yld94 [23] aparece em virtude de modelar as ligas de alumínio, uma vez que se verificou pelo critério Yld91, nas proximidades dos estados de corte puro os valores experimentais diferiam em relação aos previsto. Visto que até então nenhum dos critérios mencionados possuía a capacidade de ultrapassar este problema foi proposta a extensão do critério. A equação seguinte representa este critério [20]:

α1|s2− s1|m+ α2|s2− s3|m+ α3|s1− s3|m= 2σYm (2.23)

sendo s1, s2 e s3representativos das tensões principais do tensor s, dado por s = L · σ cujo tensor L, caracterizado pelos coeficientes de anisotropia ci com i=1,...6, se pode escrever pela seguinte forma:

L =            c2+c3 3 − c3 3 − c2 3 0 0 0 −c3 3 c1+c3 3 − c1 3 0 0 0 −c2 3 − c1 3 c1+c2 3 0 0 0 0 0 0 c4 0 0 0 0 0 0 c₅ 0 0 0 0 0 0 c6           

Os coeficientes αida expressão2.23provêm da seguinte expressão:

αi= αxp21i+ αyp22i+ αzp23i (2.24)

Da equação anterior exprime a transformação de p entre os eixos de anisotropia e as direções principais do tensor s. Neste critério, a anisotropia do material é descrita pelos coeficientes da combinação dos parâmetros αiem que i = x, y, z, com os parâmetros cisendo que i = 1, ..., 6. Para determinar os coeficientes de αiserá necessário conhecer os ângulos entre os eixos de anisotropia e direções principais de tensão, β1, β2, β3:

         αx= αx0cos2(2β1) + αx1sin2(2β1) αy= αy0cos2(2β2) + αy1sin2(2β2) αz= αz0cos2(2β3) + αz1sin2(2β3) (2.25)                            cos2β1=    y· 1 se|s1| ≥ |s3| y· 3 se|s₁| ≤ |s₃| cos2β2=    z· 1 se|s₁| ≥ |s₃| z· 3 se|s1| ≤ |s3| cos2β3=    x· 1 se|s₁| ≥ |s₃| x· 3 se|s1| ≤ |s3| (2.26)

O critério Yld96 melhora a superfície de plasticidade para estados de tensão triaxiais quando comparado com o Yld94. O critério tem em consideração que αx,αy e αzestão dependentes dos ângulos βi. Por exemplo, β3, é o ângulo entre a direção de laminagem x e a direção associada ao maior absoluto do vetor próprio s1ou s3 [20].

O critério possui diversas desvantagens associadas à derivação, o que implica a ocorrência de problemas numéricos para estados de tensão triaxiais, bem como, não ter havido prova acerca da sua convexidade para estados de tensão multiaxiais. Deste modo, para solucionar este problema surge uma outra extensão como objetivo de introduzir mais coeficientes de anisotropia. O critério em questão designa-se por Yld2000-2d [24] que recorre a duas transformações lineares, é convexo e válido apenas para estados planos de tensão:

   φ(1)= |s(1)₁ − s(1)₂ |a φ(2)= |2 · s(2)₂ + s(2)₁ |a+ |2 · s(2)₁ + s(2)₂ |a (2.28)

s(k)₁ e s(k)₂ representam os valores principais do tensor de s(k) no plano. Apesar de possuir uma formulação relativamente mais simples que Yld96, Yld2000-2d não consegue prever corretamente os coeficientes de anisotropia para ângulos de solicitação que sejam diferentes de 0◦, 45◦ e 90◦ relativamente à direção de laminagem. Deste modo, ocorre a necessidade de critérios com mais coeficientes de anisotropia [21,24].

2.3.1.3 Formulação de Vegter

Uma superfície de cedência baseada no estado de tensão uniaxial não possui capacidade de descrever o estados multiaxiais de forma precisa. Desta forma Vegter propõe um novo crité- rio de cedência baseado nos resultados de ensaios de "pure shear", "uni-axial", "Plane strain"e "Bi-axial". Todos estes ensaios podem ser realizados segundo ângulos diferentes para diferentes direções de laminagem das chapas, deste modo tem-se a possibilidade de formular o critério por meio de interpolações. Relativamente aos critérios anteriormente apresentados, este é definido nos eixos principais de tensão e não nos eixos de anisotropia, além do facto deste critério con- seguir traduzir-se em resultados bastante confiáveis em relação ao critério de Hill, este mostra melhorias [16,25].

(a) Pontos de referência no plano de tensão (b) Interpolação de Bezier

Figura 2.8: Estados de tensão multiaxial [25]

Este critério é construído com base em pontos de referência definidos nos estados de tensão multiaxial e gradientes. Seja δ1

δ2 o vector de deformação numa normal à superfície de cedência,

este depende do valor de R determinado no estado de tensão uniaxial.

δ1 δ2 =−(δ2+ δ3) δ2 = −1 − 1 δ2 δ3 = −1 −1 R = − R+ 1 R (2.29)

Deste modo, através da interpolação de Bezier (figura2.8b) obtém-se uma curva entre dois pontos de referência:

σ = (1 − β )2pr1+ 2β (1 − β )ph+ β2pr2 (2.30) Sendo que pr1, pr2, phsão pontos de referência (figura2.8a) enquanto que β é um escalar entre 0 e 1 representando a localização da curva. Com o recurso a interpolações de Bezier além da superfície de cedência ser contínua nos pontos de referência, com três interpolações é possível obter um quarto da superfície de cedência. A superfície de cedência é composta por doze interpolações de Bezier. De forma generalizada a equação vem da seguinte forma [25]:

σveg(σ1, σ2, θ ) − σyield= 0 (2.31)

em que σveg é tensão equivalente, σyield o valor da tensão de cedência e (σ1,σ2) os valores de tensão principais. θ representa o ângulo entre as tensões principais e a direção de laminagem. Os ensaios devem ser realizados para diferentes ângulos numa direção de laminagem. Se os valores não variarem está-se perante superfícies isotrópicos cuja superfície de cedência não depende de θ , caso contrário, a superfície tem comportamento anisotrópico [25].