Le spectre dius

Le coecient de réexion du fond dius connu, nous pouvons à présent dériver la formule du coecient de réexion en énergie en dius.

Il faut tout d'abord calculer les coecients de transmission de la lumière inci-dente jusqu'au fond dius à travers les k couches :

T_i^h(θ_i) =^Y

k

t_k^h(θ^k_i) e^{i β}i^k T_i^v(θ_i) =^Y

k

t^v_k(θ_i^k) e^{i βk}i (5.88) Il faut calculer ensuite les coecients de transmission du fond jusqu'à la surface pour un angle de réexion θr donnée :

T_r^h(θ_r) = ^Y

k

t_k^{0 h}(θ^k_r) e^{i β}r^k T_r^v(θ_r) =^Y

k

t^{0 v}_k (θ_r^k) e^{i β}r^k (5.89) Puisque la lumière est dépolarisée complètement par le fond diusant, le coef-cient de réexion en énergie de la composante diuse dans une direction (θr, φ_r) et pour un angle solide Ωr(θ_r) est donné par :

R⁰_d(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r) = ¹ 2 (c_hT_i^h(θ_i) γ_rd(θ_rd) T_r^h(θ_r))(c_hT_i^h(θ_i) γ_rd(θ_rd) T_r^h(θ_r))^∗ +(c_hT_i^h(θ_i) γ_rd(θ_rd) T_r^v(θ_r))(c_hT_i^h(θ_i) γ_rd(θ_rd) T_r^v(θ_r))^∗ +(c_vT_i^v(θ_i) γ_rd(θ_rd) T_r^h(θ_r))(c_vT_i^v(θ_i) γ_rd(θ_rd) T_r^h(θ_r))^∗ +(c_vT_i^v(θ_i) γ_rd(θ_rd) T_r^v(θ_r))(c_vT_i^v(θ_i) γ_rd(θ_rd) T_r^v(θ_r))^∗] (5.90) Lorsque les spectres sont mesurés par le goniospectrophotomètre, ils le sont pour un angle solide constant Ωgonio. Le spectre que nous allons simuler doit prendre cela en compte pour pouvoir être comparé avec les spectres mesurés. Ainsi, le coecient de réexion correspondant à la composante incohérente est donné par : R_incoh(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r) = ^Ωgonio Ω_r(θ_r)^R 0 d(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r) (5.91)

5.2.4 Validation du modèle

Les exemples qui vont être présentés dans cette section résultent de simulation réalisées en utilisant la structure présentée dans le tableau 5.3.

La gure 5.26 présente une série de simulation du spectre de réexion total du au fond diusant, c'est-à-dire intégré sur toutes les directions de réexion pour diérentes valeur de l'exposant n et pour Rrd = 1. Dans le cas d'étude, l'angle θ_rdlim est donné par :

θ_rdlim = arcsin  1 1.65  = 37, 3° (5.92)

Couche Indice matrice pAg e

1 1.6 0 10

2 1.5 0.1 160

3 1.65 0 

Tab. 5.3  Structure multicouche utilisée pour les simulations de la section 5.2.4

Ainsi seule la lumière diusée par le fond pour des angles θrd inférieurs à cette valeur se trouve eectivement rééchie. En augmentant le facteur n, on augmente la quantité de lumière diusée dans le cône déni par l'angle θrdlim autour de la normale z et l'intensité augmente. On observe par ailleurs que lorsque n devient supérieur à 10, l'intensité du spectre ne varie plus. Toute la lumière est alors diusée dans le cône déni précédemment.

(a) θr= 5° (b) θr = 85°

Fig. 5.27  Spectres de réexion directionnels pour un angle solide Ωr(θr) La gure 5.27 illustre la variation du spectre de réexion directionnel lorsque n varie, Rrd étant toujours égal à 1. Pour les directions proches de la normale z (gure 5.27(a)), le coecient de réexion directionnelle augmente avec n alors que pour les directions éloignées de la normale (gure 5.27(b)), ce même coecient augmente légèrement avant de diminuer fortement.

Le coecient n peut donc être utilisé pour ajuster les défauts liés à la non prise en compte par le modèle en dius de l'interface rugueuse.

Comme cela avait été précisé, la prise en compte de l'interface rugueuse pour calculer la quantité de lumière transmise au fond diusant ne pose pas de diculté majeure. Il est alors possible d'analyser l'eet de la prise en compte de la rugosité dans l'interaction entre la lumière incidente et la structure par rapport au cas correspondant à l'hypothèse de la surface plane. La gure 5.28(a) illustre cette comparaison. On constate, comme cela avait été avancé, que l'ajout de la surface rugueuse ne modie que très peu le résultat obtenu en utilisant une surface plane, la quantité de lumière transmise jusqu'au fond diusant n'étant que peu inuencée par la rugosité.

Les gures 5.29 et 5.28(b) conrment par ailleurs le fait que le résultat des simulations ne dépend pas du pas utilisé pour discrétiser l'espace.

(a) En fonction de la surface (b) En fonction du pas

Fig. 5.28  Evolution des spectres de réexion intégré

Fig. 5.29  Spectres de réexion directionnels pour un angle solide constant Ωgonio

calculés avec un pas de 5° (trait plein) et de 10° (pointillés) pour diérentes direc-tions de réexion θr

La dernière validation qui va être présentée ici concerne une comparaison entre des spectres de réexion intégrée obtenus à l'aide de modèles 4-ux [10,11] et ceux obtenus avec le modèle présenté ici.

Dans le modèle de 4-ux utilisé pour les simulations, une couche diusante est ajoutée sous la structure décrite tableau 5.3. Cette couche se compose d'une fraction volumique pd de diuseurs sphériques de rayon Rd et d'indice nd inclus dans le substrat (couche 3).

(a) Exemple 1 (b) Exemple 2

Fig. 5.30  Comparaison des résultats obtenus pour les spectres de réexion inté-grés entre le modèle développé ici et un modèle de 4-ux

Figure _n^Modèle_R ^{4 - ux}

rd Rd pr nd

5.30(a) 10 0.25 500 0.2 1.41 5.30(b) 10 0.12 750 0.2 1.41

Tab. 5.4  Paramètres utilisés pour les simulations présentées gure 5.30 Les deux exemples présentés sur la gure 5.30 montrent une bonne adéquation entre les résultats obtenus avec le modèle proposé et ceux obtenus avec un modèle 4-ux qui est particulièrement adapté au calcul des eets de diusion de volume. En fonctions des paramètres introduits pour le calcul avec le modèle 4-ux, la distribution spectrale évolue mais, dans tous les cas, elle reste proche de celle obtenu avec le modèle développé ici.

Ces comparaisons viennent ainsi valider le modèle.

deux composantes du spectre nal R(θi, φ_i, θ_r, φ_r). Ce dernier s'exprime comme la somme de ces deux composantes :

R(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r) = R_coh(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r) + R_incoh(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r) (5.93) La prochaine étape consiste à comparer les résultats obtenus en utilisant le modèle avec les spectres mesurés sur les échantillons. C'est l'objet du chapitre suivant.

Bibliographie

[1] J. A. Kong. Electromagnetic wave theory. John Wiley and Sons, Inc, New York, 1975.

[2] H. Hirayama, K. Kaneda, H. Yamashita, and Y. Monden. An accurate illu-mination model for objects coated with multilayer lms. Proceedings of Eu-rographics 2000, 2000.

[3] H. Hirayama, K. Kaneda, H. Yamashita, Y. Monden, and Y. Yamaji. Vi-sualization of optical phenomena caused by multilayer lms with complex refractive indices. Proceedings of Pacic Graphics '99, pages 128137, 1999. [4] P. Beckmann et A. Spizzichino. The scattering of electromagnetic waves from

rough surfaces. Pergamon Press, Oxford, 1963.

[5] J. A. Ogilvy. Theory of wave scattering from random rough surfaces. Institue of physics publishing, Bristol and Philadelphia, 1991.

[6] X. D. He, K. E. Torrance, F. X. Sillion, and D. P. Greenberg. A comprehensive physical model for light reection. Computer Graphics, 25 :175186, 1991. [7] J.D. Jackson. Classical electrodynamics, 2nd edition. John Wiley & Sons,

Inc., New York, 1975.

[8] L. Tsang and J. A. Kong. Energy conservation for reectivity and transmis-sivity at a very rough surface. J. Appl. Phys., 51 :673680, 1980.

[9] J.L. Meyzonnette et T. Lépine. Bases de radiométrie optique, 2nd édition. Cépaduès - Editions, Toulouse, 2003.

[10] B. Maheu, J. N. Letoulouzan, and G. Gouesbet. Four-ux models to solve the scattering transfer equation in terms of lorenz-mie parameters. Appl. Opt., 23 :33533360, 1984.

[11] B. Maheu et G. Gouesbet. Four-ux models to solve the scattering transfer equation : special cases. Appl. Opt., 25 :11221128, 1986.

Chapitre 6

Comparaison entre mesures et

simulations

S'il apparaît que les modes simplicateurs de connaissance mutilent plus qu'ils n'expriment les réalités ou les phénomènes dont ils rendent compte [. . .], comment envisager la complexité de façon non-simpliante ? Edgar Morin Dans ce chapitre, nous allons présenter des exemples de simulations réalisées en utilisant le modèle développé dans le chapitre précédent. Deux exemples sont détaillés. Ils illustrent la capacité du modèle à reproduire les spectres mesurés mais aussi ses limites.

6.1 Deux exemples de simulations