Les eets d'interférence

Pour réaliser le calcul des spectres de réexion, nous allons utiliser le modèle de récurrence présenté dans la section 3.2.2. Cependant, dans le cas qui nous occupe à présent, la lumière est rééchie et transmise dans toutes les directions par

Fig. 5.14  Directions de réexion et de transmission pour le cas présenté à la gure 5.13

l'interface supérieure rugueuse de la structure multicouche et non plus seulement dans la direction spéculaire. Il faut prendre en compte toutes ces directions pour eectuer le calcul d'interférence.

Des rayons à l'inni

Pour appuyer notre réexion, nous allons utiliser le concept de rayon. Le rayon incident arrive sur la surface avec une direction unique (θi, φ_i). Après interaction avec la surface rugueuse, on obtient un nombre 2 D plus ou moins grand de rayons rééchis et transmis en fonction de la discrétisation. L'ensemble des rayons trans-mis se propagent dans la structure multicouche comprenant N couches en étant rééchis dans la direction spéculaire puisque les autres interfaces du multicouche sont planes. Chacun des D rayons transmis est rééchi par chaque interface entre deux couches conduisant à N · D rayons qui se propagent vers la surface rugueuse. En interagissant avec la surface rugueuse, chacun donne naissance à D rayons transmis et D rayons rééchis. Il y a donc N · D2 rayons rééchis et autant de transmis. Le processus se répète ainsi et conduit à un nombre de rayons rééchis égal à P∞

j=0N^jD^j+1.

Ce raisonnement montre qu'il ne va pas être possible de prendre en compte tous les rayons rééchis et transmis par la surface rugueuse à chaque fois qu'un rayon traverse cette surface puisque cela conduit à une innité de rayons. Il faut donc trouver des moyens de simplier le problème.

Comme la gure 5.9 le montre, l'énergie rééchie et transmise par la surface se concentre, compte tenu des rugosités auxquelles nous avons aaire, autour des directions de réexion et de transmission spéculaire. Il n'est pas alors utile de prendre en compte toutes les directions de réexion puisque pour une majorité d'entre-elles, les coecients γ et τ sont quasi nuls. Seuls les champs rééchis dans des directions comprises dans un cône ayant une ouverture de quelques dizaines de degrés autour de la direction de réexion spéculaire vont contribuer au spectre nal. Comme les directions de transmission sont liées aux directions de réexion, cela implique de limiter aussi le nombre de rayons transmis pris en compte. La gure 5.15 illustre cette limitation.

Fig. 5.15  Cônes symbolisant les directions qui vont être prises en compte dans le calcul d'interférence. Le cône en réexion a une ouverture angulaire de 20° autour de la direction de réexion spéculaire pour les mêmes paramètres que ceux de la gure 5.9

Le deuxième point qui permet de simplier le problème est lié au fait que l'intensité d'une onde ayant subit plusieurs transmissions et réexions devient très faible par rapport à celle des ondes rééchies et transmises lors de la première interaction avec la surface. Toutes les directions inclues dans les cônes illustrés par la gure 5.15 vont être prises en compte lors de la première interaction avec la surface. Dès la deuxième interaction des rayons avec la surface rugueuse, seule la réexion spéculaire est prise en compte.

Au nal, la gure 5.16 résume les choix qui viennent d'être mentionnés. Le cal-cul conduit pour une direction de réexion prend en compte un certain nombre de directions de transmission contenues dans un cône autour de la direction de

trans-Fig. 5.16  Schématisation des rayons pris en compte pour le calcul d'interférence mission spéculaire lors de la première interaction avec la surface rugueuse. Puis pour chacune de ces directions, seule la contribution liée à la réexion spéculaire dans la structure multicouche est prise en compte. Le calcul du spectre de réexion peut par contre s'eectuer dans toutes les directions rééchies appartenant au cône de réexion. Il s'agit à présent de mettre cela en équation.

Le calcul du spectre de réexion

Fig. 5.17  Schématisation des rayons pris en compte pour le calcul du coecient de réexion en amplitude ΓN(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r)

La gure 5.17 illustre le raisonnement qui nous permet de calculer la contri-bution liée à une direction de transmission. Pour alléger les calculs, nous allons

ici directement utiliser les coecients de réexion et de transmission en amplitude même si, encore une fois, ce sont les champs électriques qui s'ajoutent dans une direction donnée, comme cela a été fait dans la partie 3.2.2.

La lumière incidente, symbolisée par le rayon 1 en bleu, arrive sur la surface selon une direction (θi, φ_i). Nous désirons calculer le spectre de réexion en ampli-tude Γ(θi, φ_i, θ_r, φ_r) dans une direction (θr, φ_r) en rouge sur la gure. La première contribution à ce spectre est symbolisée par le rayon 2 et :

Γ_N(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r) = γ(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r) + · · · (5.73) Les autres contributions viennent de la propagation dans la structure mul-ticouche de la lumière dans la direction k : (θk

t, φk

t), en vert. Pour la deuxième contribution, il faut suivre le chemin (3 - 4 - 5).

Le rayon 3 est issus de la transmission par la surface de la lumière incidente dans la direction (θk

t, φk

t)quantiée par le coecient τk(θ_i, φ_i, θk t, φk

t).

Le rayon est ensuite rééchi par la structure composée des N −1 autres couches séparées par des interfaces planes. Le coecient de réexion de la structure mul-ticouche est alors obtenu par récurrence sur les N − 1 couches pour une direction incidente (θk

t, φk

t)selon l'équation 3.39. Ce coecient se note ΓN −1(θk t, φk

t).

Le rayon 4 issu de cette réexion est alors transmis dans la direction (θr, φ_r) symbolisée par le rayon 5. Le coecient de transmission se note τk(θk

t, 0, θ_r, φ_L)où l'on a eectué un changement de repère pour placer la direction incidente telle que φ = 0et où φLest alors l'angle entre la direction incidente (rayon 4) et la direction transmise (rayon 5). Ce changement de repère procède d'une rotation autour de l'axe z et n'est possible que parce que l'on considère que la surface est isotrope.

En prenant en compte le déphasage lié à la propagation dans la couche dans la direction (θk

t, φk

t)(coecient βk donné par l'équation 3.29), on obtient le deuxième terme de ΓN(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r):

Γ_N(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r) = γ(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r)

+ τ^k(θi, φi, θ^k_t, φ^k_t) ΓN −1(θ_t^k, φ^k_t) τ^k(θ_t^k, 0, θr, φL) e^{2 i β}k

+ · · · (5.74)

Au passage, il est important de noter que le calcul des coecients qui appa-raissent dans l'équation précédente implique de pouvoir eectuer deux calculs. Le premier, relativement simple, est le calcul des angles θt et φt de la direction de transmission dans le repère xe connaissant les directions incidente (θi, φ_i) et ré-échie (θr, φ_r) et les indices ni et nt de telle sorte que ces trois directions forment un système de réexion et transmission spéculaire dans un repère local. Le second est autrement plus dicile. Il consiste à déterminer les angles θr et φr de la di-rection de réexion dans le repère xe connaissant les didi-rections incidente (θi, φ_i)

et transmise (θt, φ_t) et les indices ni et nt de telle sorte que ces trois directions forment un système de réexion et transmission spéculaire dans un repère local.

La troisième contribution se déduit du parcours (3 - 4 - 6 - 7 - 8). Le seul nouveau coecient à introduire est celui lié à la réexion qui lie les rayons 4 et 6. Cette réexion est une réexion spéculaire sur la surface rugueuse dont le coecient de réexion est γk(θk

t, φk t, θk t, φk t + π). On obtient alors : Γ_N(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r) = γ(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r) + τ^k(θ_i, φ_i, θ_t^k, φ^k_t) Γ_{N −1}(θ_t^k, φ^k_t) τ^k(θ^k_t, 0, θ_r, φ_L) e^{2 i β}k + τ^k(θ_i, φ_i, θ_t^k, φ^k_t) Γ_{N −1}(θ_t^k, φ^k_t) γ^k(θ_t^k, φ^k_t, θ_t^k, φ^k_t + π) Γ_{N −1}(θ^k_t, φ^k_t) τ^k(θ^k_t, 0, θ_r, φ_L) e^{4 i β}k + · · · (5.75)

Les autres contributions liées à la propagation du rayon vert dans la structure multicouche se déduisent des précédentes de la même manière que cela a été fait à l'équation 3.31 et : Γ_N(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r) = γ(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r) + τ^k(θ_i, φ_i, θ^k_t, φ^k_t) Γ_{N −1}(θ_t^k, φ^k_t) τ^k(θ_t^k, 0, θ_r, φ_L) e^{2 i β}k ∞ X q=0 γ^k(θ^k_t, φ^k_t, θ^k_t, φ_t^k+ π) Γ_{N −1}(θ_t^k, φ^k_t) e^{2 i β}k
q + · · · (5.76) Comme :  γ^k(θ_t^k, φ^k_t, θ^k_t, φ_t^k+ π) Γ_{N −1}(θ_t^k, φ^k_t) e^{2 i β}k < 1 (5.77) l'équation 5.76 s'écrit : Γ_N(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r) = γ(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r) + ^τ k(θ_i, φ_i, θk t, φk t) Γ_{N −1}(θk t, φk t) τk(θk t, 0, θ_r, φ_L) e2 i βk 1 − γk(θk t, φk t, θk t, φk t + π) Γ_{N −1}(θk t, φk t) e2 i βk + · · · (5.78)

Le calcul pour toutes les directions k est similaire et les contributions liées à la lumière transmise dans chaque direction s'ajoutent. Pour D directions prises en compte, on obtient :

ΓN(θi, φi, θr, φr) = γ(θi, φi, θr, φr) + D X k=1 τk(θ_i, φ_i, θk t, φk t) Γ_{N −1}(θk t, φk t) τk(θk t, 0, θ_r, φ_L) e2 i βk 1 − γk(θk t, φk t, θk t, φk t + π) Γ_{N −1}(θk t, φk t) e2 i βk (5.79) Le coecient ΓN(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r)doit être calculé pour chaque polarisation et au nal le coecient de réexion en énergie Rcoh(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r)est donné par :

R_coh(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r) = c_hc^∗_hΓ^h_N(θ_i, φ_i, θ_r, φ_r) Γ^{h ∗}_N (θ_i, φ_i, θ_r, φ_r)

+ cvc^∗_vΓ^v_N(θi, φi, θr, φr) Γ^{v ∗}_N (θi, φi, θr, φr) (5.80)