Le mod`ele hybride SRD-MD avec force de couplage

III.1.1 La dynamique du fluide : le mod`ele de SRD

Dans le mod`ele de SRD-MD, la SRD d´ecrit la dynamique des particules de fluide seule.

Le fluide est repr´esent´e par N

f

particules ponctuelles de masse m

f

, r´eparties dans des

petites cellules, appel´ees cellules de SRD. Ces cellules cubiques contiennent en moyenne

γ particules de fluide et ont une taille a

0, qui influe sur la pr´ecision du mod`ele. Dans la

SRD seule, la dynamique des particules de fluide est d´ecompos´ee en deux parties : une

phase d’´ecoulement libre suivie d’une phase de collision [41]. Pendant l’´etape d’´ecoulement

libre, les particules de fluide se d´eplacent uniquement en fonction de leur v´elocit´ev

_i

, selon

Chapitre 3 : Simulations de SRD-MD

l’´equation suivante :

r

i(

t+ ∆t

SRD

) =r

i(

t) + ∆t

SRD

v

i(

t) (III.1)

o`u ∆t

SRD

est le pas de temps qui s’´ecoule entre deux ´etapes de collision. L’´etape de

collision consiste quant `a elle, `a appliquer une rotation sur les v´elocit´es de chaque particule

de fluide, relatives `a la v´elocit´e du centre de massev

_cm

des particules de fluide que contient

la cellule de SRD dans laquelle elle se trouve. Les rotations s’effectuent `a partir d’un angle

αfixe et d’un axe de rotation al´eatoire, mais toutes les particules de fluide qui se trouvent

dans la mˆeme cellule de SRD partagent le mˆeme axe de rotation. La nouvelle v´elocit´e des

particules de fluide est calcul´ee `a partir de l’´equation (III.2) :

v

i(

t+ ∆SRD) =v

cm(

t) +R(α)[v

i(

t)−v

cm(

t)], (III.2)

avecR une matrice de rotation al´eatoire,α l’angle de rotation constant et v

cm

la v´elocit´e

du centre de masse des particules de fluide appartenant `a la cellule de SRD contenant la

particulei. De plus, avant chaque ´etape de collision, une translation al´eatoire est appliqu´ee

temporairement sur l’ensemble des particules de fluide en fonction d’un seul vecteur pour

toutes les particules, dans l’intervalle [−a

0

/2, a

0

/2]. Ceci a pour but de ne pas faire

interagir toujours les mˆemes particules de fluide lors du calcul de la rotation des v´elocit´es,

ce qui permet de restaurer l’invariance Gallil´eenne [42] qui n’est pas toujours garantie

sans l’´etape de translation. Apr`es l’application de la rotation, les particules de fluide

retrouvent leur position d’origine, c’est-`a-dire celle avant la translation. Ainsi, l’´etape de

collision modifie la v´elocit´e des particules de fluide et non leur position.

III.1.2 Le mod`ele hybride SRD-MD avec une ’force de couplage’

Dans le cadre d’un couplage entre la SRD et la MD avec force de couplage, la MD

permet de d´ecrire les interactions collo¨ıde-collo¨ıde et collo¨ıde-fluide, ce qui repr´esente

la dynamique des collo¨ıdes et ´egalement leurs interactions avec les particules de fluide.

Dans notre mod`ele hybride de SRD-MD, l’´etape d’´ecoulement libre du mod`ele SRD est

remplac´ee par des ´etapes de MD : au lieu de se d´eplacer de mani`ere rectiligne selon

leur v´elocit´e, les particules de fluide se d´eplacent ´egalement en fonction des interactions

collo¨ıde-fluide qu’elles subissent. Durant l’´etape de MD, les positions et v´elocit´es de chaque

particule de fluide et de chaque collo¨ıde sont calcul´ees selon l’´equation de Newton suivante :

v

i

= ^dr

ⁱ⁽

^t)

dt ^{, et m}

ⁱ

dv

i(

t)

dt ⁼

X

j

F

ij

, (III.3)

o`uF

ij

repr´esente la force appliqu´ee par une particule j sur une particulei. Pour r´esumer,

durant l’´etape de MD, pour les particules de fluide, seules les forces d’interaction

fluide-Chapitre 3 : Simulations de SRD-MD

collo¨ıde sont prises en compte et non les interactions fluide-fluide car ce type d’interaction

est d´ej`a repr´esent´e de mani`ere simplifi´ee par l’´etape de collision de la SRD. Pour ce qui est

des collo¨ıdes, les forces qui leur sont appliqu´ees viennent `a la fois de leur interactions avec

les particules de fluide et avec les autres collo¨ıdes. Les ´etapes de MD s’appliquent `a chaque

pas de temps ∆t

_{M D}

, tandis que les ´etapes de collision s’effectuent `a chaque pas de temps

∆t

SRD. ∆

t

M D

est d´etermin´e selon les potentiels d’interaction et les caract´eristiques de

collo¨ıdes, tandis que ∆t

SRD

d´etermine les propri´et´es du fluide simul´e. En prenant un pas

de temps ∆t

M D

= n∆t

SRD

, n ∈NNN, une it´eration de notre simulation est donc compos´ee

den ´etapes MD successives suivies d’une ´etape de collision (voir figure III.2).

Figure III.2 – Sch´ema global d’une it´eration de mod`ele hybride SRD-MD avec “force

de couplage”

III.1.3 L’´etude exp´erimentale de r´ef´erence

Le syst`eme pr´esent´e dans la th`ese de A. Tomilov [1] a ´et´e utilis´e comme r´ef´erence pour

notre ´etude. Il est compos´e de collo¨ıdes de rayona

c

= 300 nm interagissant entre eux selon

le potentiel attractif de Lennard-Jones g´en´eralis´e :

V

cc(

r

ij

) =











4ε

cc

σcc rij

36

−

^σccrij

18

(r

ij

≤R

C

≡1.6σ

cc)

,

0 (r

ij

> R

C)

,

(III.4)

avec σ

cc

= 2a

c

etǫ

cc

= 14k

B

T. Les interactions collo¨ıde-fluide sont quant `a elles d´ecrites

par le potentiel r´epulsif de courte port´ee :

V

_cf

(r

_ij

) =







ε

cf

σcf rij

12

(r

ij

≤R

C

≡2.5σ

cf

),

0 (r

ij

> R

C

),

(III.5)

Chapitre 3 : Simulations de SRD-MD

o`u σ

cf

= 0.8a

c

et ε

cf

= 2.5k

B

T. Les forces utilis´ees dans cette ´etude sont exclusivement

d´eriv´ees de potentiels d’interaction de courte port´ee, ce qui permet de couper le potentiel

en le consid´erant comme ´etant nul sur des longues distances (r

ij

> R

C). Les param`etres

de la SRD d´eterminent les propri´et´es du fluide mod´elis´e. La taille des cellules de SRD est

fix´ee `aa

₀

=a

_c

/2, le libre parcours moyen sans dimension des particules de fluide est ´egal `a

λ= 0.1, le nombre moyen de particules de fluide par cellule de SRD vaut γ = 5 et l’angle

de rotation pour l’´etape de collision estα= 90

◦

. Les masses des particules de fluide et des

collo¨ıdes sont respectivement fix´ees `a m

f

= 6.75×10

−19

kg et m

C

= 2.49×10

−16

kg. Le

pas de temps de SRD vaut ∆t

SRD

= 7.37×10

−5

s et 8 ´etapes de MD sont effectu´ees par

it´eration. Ce syst`eme a ´et´e utilis´e afin d’´etudier la cin´etique d’agr´egation et la structure

des agr´egats form´es par les collo¨ıdes dans des suspensions collo¨ıdales. Pour cela, la fraction

volumique des collo¨ıdes ΦC varie dans le but de d´eterminer l’influence de ce param`etre

sur l’agr´egation des collo¨ıdes. Cela implique qu’`a nombre de collo¨ıdes constant, la taille

de la boˆıte de simulation varie ´egalement ainsi que le nombre total de particules de fluide.

Le Tableau III.1 montre le ratio entre le nombre de particules de fluide et le nombre de

collo¨ıdes selon les diff´erentes fractions volumiques ´etudi´ees. Dans toutes ces simulations,

le nombre de particules de fluide est largement sup´erieur au nombre des collo¨ıdes.

Φ

_C

n

_f

/n

_C

0.05 3241

0.1 1578

0.15 1011

0.2 737

Tableau III.1 – Ratio entre le nombre de particules de fluide et le nombre de collo¨ıdes

n

f

/n

C

pour diff´erentes fractions volumiques.

Pour une fraction volumique en collo¨ıde de Φc = 0.1, un syst`eme de 4000 collo¨ıdes

compte plus de 6M de particules de fluide. Le mod`ele de SRD-MD est ainsi tr`es coˆuteux

en m´emoire pour simuler des syst`emes avec de nombreux collo¨ıdes.

Dans le document Simulations de fluides complexes à l'échelle mésoscopique sur GPU (Page 70-73)