L’approche hybride pour la recherche de voisinage : grille r´eguli`ere

3k

B

T

m

_i

^(II.2)

o`un

_i

est un nombre fixe d’it´erations, ∆tle pas de temps etv

_max

est la vitesse maximale de

toutes les particules du syst`eme. Cette ´equation correspond `a la figure II.1 dans le cas 2, o`u

les deux particules se d´eplaceraient `a leur vitesse maximale l’une vers l’autre et entreraient

en interaction. Il est alors possible de d´eduire qu’avantn

i

it´erations, il est impossible que

ces deux particules entrent en interaction. Et donc de n’avoir `a r´eactualiser les listes que

toutes lesn

i

it´erations, sans avoir `a effectuer de test. De mani`ere pratique, cette ´equation

ne peut pas ˆetre employ´ee dans la plupart des cas, car la vitesse maximale n’est pas souvent

d´eterminable. Il est par contre en pratique possible de l’utiliser, en rempla¸cant la vitesse

maximale par la vitesse moyenne v

_moy

, et en prenant une valeur pour n

_i

suffisamment

´elev´ee pour pouvoir supposer que la distanceR

shell

/2 ne soit jamais franchie. Le probl`eme

de cette m´ethode est qu’elle repose sur un sc´enario peu vraisemblable dans le cas de

suspension collo¨ıdale, car les collo¨ıdes ont tendance `a avoir un mouvement erratique. C’est

pourquoi, cette m´ethode r´eactualise excessivement les listes de Verlet pour nos types de

simulation.

II.1.1 L’approche hybride pour la recherche de voisinage : grille

r´eguli`ere / liste de Verlet

Notre m´ethode utilise une combinaison entre des listes de Verlet et une grille r´eguli`ere

comme dans la litt´erature pr´esent´ee dans le paragraphe pr´ec´edent. Elle utilise ´egalement

un test dynamique pour d´eterminer quand il faut recalculer les voisinages de toutes les

particules comme le test d’Allen utilis´e pour les simulations CPU. Cependant, le test

choisi a ´et´e simplifi´e pour ne v´erifier qu’une seule distance au lieu d’une paire de distance.

En effet, les listes de Verlet sont valides tant qu’aucune particule ne s’est d´eplac´ee de plus

deR

shell

/2 depuis la derni`ere mise `a jour. Ce test simplifi´e ne n´ecessite pas de r´eduction

et n’utilise que des acc`es m´emoires parfaitement coalescents. Il est donc parfaitement

adapt´e au GPU. L’algorithme 1 d´ecrit le d´eroulement de notre simulation de BD utilisant

notre test simplifi´e. La premi`ere ´etape d’une it´eration est de calculer la somme des forces

d’interaction appliqu´ees `a chaque particule. Pour cela, il faut avoir au pr´ealable une liste

Chapitre 2 : Simulations de Dynamique Brownienne

Algorithm 1 Simulation de dynamique brownienne avec un type de particule

1: actualiserListesDeV oisinage=vrai

2: for all iteration do

3: if actualiserListesDeV oisinage=vraithen

4: tri des particules selon leur cl´e de hachage

5: for all particule ido // en parall`ele

6: P osP recedente

_i

=position

_i

7: r´eactualiserListeDeV oisinage

i

8: actualiserListesDeV oisinage =f aux

9: for all particule i do // en parall`ele

10: sommeDesF orces

_i

= 0

11: for all particule j ∈ListeDeV oisinage

i

do

12: if distance(position

i

, position

j)

< R

C

then

13: calculer sommeDesF orces

_i

14: calculer position

i

15: if dist(position

_i

, P osP recedente

_i

)> R

_shell

/2 then

16: actualiserListesDeV oisinage=vrai

de Verlet valide pour chaque particule. Si les listes de voisinage sont obsol`etes, il faut

ex´ecuter une ´etape interm´ediaire pour les mettre `a jour. Pour cela les particules sont tout

d’abord regroup´ees selon les cellules de la grille r´eguli`ere auxquelles elles appartiennent,

en utilisant la m´ethode du tri par z-index. A chaque particule est associ´ee une cl´e de

hachage issu du z-index, puis les particules sont tri´ees selon leur cl´e `a l’aide d’un tri par

base, le tri le plus efficace avec une architecture GPU [13]. Ainsi, toutes les particules

d’une mˆeme cellule sont adjacentes en m´emoire. Il suffit alors de calculer l’index de la

premi`ere et derni`ere particules d’une cellule, afin de pouvoir acc´eder rapidement `a toutes

les particules qu’elle contient. Les index des particules qui se trouvent `a une distance

inf´erieure `a R

_L

`a la particule i sont stock´es dans les listes de voisinage. Une fois que ces

listes sont valides, le calcul des sommes des forces s’effectue en lan¸cant un thread par

particule i. Chaque thread va parcourir la liste de Verlet associ´ee `a i, afin de d´eterminer

les particules se trouvant `a une distance inf´erieure `aR

C

de la particule i, et de calculer la

force qu’elles exercent suri grˆace `a l’´equation (II.1). Dans le cas o`u les listes de voisinage

viennent tout juste d’ˆetre mises `a jour, cette ´etape de calcul des forces est r´ealis´ee en

mˆeme temps que la reconstruction des listes, afin de ne pas reparcourir et recalculer les

distances. La deuxi`eme ´etape consiste `a calculer la nouvelle position `a partir des forces

d’interaction pr´ec´edemment calcul´ees, en y ajoutant une force li´ee `a la viscosit´e et une

force erratique, suivant l’´equation (I.6). De plus, le d´eplacement de toutes les particules

depuis la derni`ere mise `a jour est ´egalement calcul´e et stock´e afin de pouvoir r´ealiser

l’´etape suivante. La derni`ere ´etape est l’´el´ement principal qui diff`ere avec les travaux

pr´ec´edents de la litt´erature. Le but est de d´eterminer si les listes de voisinage peuvent

ˆetre potentiellement obsol`etes durant la prochaine it´eration. Notre test consiste `a v´erifier

Chapitre 2 : Simulations de Dynamique Brownienne

si une des distances parcourues depuis la derni`ere r´eactualisation des listes de voisinage a

d´epass´e le seuil limite de R

shell

/2. Cette ´etape est tr`es rapide `a r´ealiser sur GPU : il suffit

de lancer un thread par particule afin de regarder si son d´eplacement a d´epass´e la limite.

Si c’est le cas, il va modifier le marqueur indiquant si les listes doivent ˆetre mises `a jour. Ce

marqueur est une variable globale `a tous les threads, cependant, il n’y a pas de probl`eme

de concurrence. Mˆeme si deux threads ´ecrivent dans cette variable en mˆeme temps, la seule

chose n´ecessaire de v´erifier est uniquement si ce marqueur global a ´et´e modifi´e au cours du

test. Ainsi, ce test ne repr´esente qu’une petite portion du temps moyen total pour calculer

une it´eration comme le montre le tableau II.1. Compar´e au test de la litt´erature, notre test

va mettre `a jour les listes de Verlet l´eg`erement plus r´eguli`erement, mais la r´eactualisation

reste tout de mˆeme bien moins excessive qu’avec la m´ethode avec un nombre d’it´erations

fixe. Ainsi, le goulot d’´etranglement qui sans m´ethode de conservation ´etait la recherche

de voisinage (r´eactualisation des voisins, tri et test de r´eactualisation), ne repr´esente plus

que 13% du temps d’ex´ecution de la simulation, contre pr`es de 60% pour le calcul de la

somme des forces. Sur GPU, les listes de voisinage correspondent `a un seul tableau en

Temps moyen It´erations Ratio

Calcul somme forces 7.15 ms 1 57.7%

Calcul positions 3.6 ms 1 29.2%

Test reactualisation 0.4 ms 1 3.2%

Tri par base 29.5 ms 51 4.6%

Reactualisation des voisins 33.5 ms 51 5.3%

Tableau II.1 – Temps moyen pour ex´ecuter les diff´erentes ´etapes de l’algorithme 1 et

le pourcentage sur le temps total de calcul sur toute la simulation (1M de particules,

φ =15%). La 3e colonne montre le nombre moyen d’it´erations entre deux ex´ecutions de

cette ´etape.

m´emoire global, dont chaque sous-partie d’une taille fixe deN

Lmax

cases, correspond `a une

liste de voisinage. Cette valeur de N

_Lmax

doit ˆetre suffisamment grande afin que chaque

particule ait assez d’espace pour stocker tous ses voisins, mais d’une grandeur raisonnable

pour ne pas consommer excessivement de m´emoire. Un maximum th´eorique peut ˆetre

calcul´e `a partir du th´eor`eme de Lagrange, d´emontrant que l’agencement compact le plus

dense d’un ensemble de sph`eres de rayon 1 est de

₃√^π

2

. Ainsi, il est garanti d’avoir une

valeur de N

Lmax

suffisamment grande en employant l’´equation suivante :

N

_Lmax

=

&

4π(RL+r)3 3 π 3√ 2

∗

^4πr3³

'

(II.3)

o`u r est le rayon d’une particule et R

L

est le rayon de conservation associ´e aux listes

de Verlet. Cependant, cet agencement compact n’apparaˆıt jamais dans nos simulations

Chapitre 2 : Simulations de Dynamique Brownienne

de BD, ainsi l’utilisateur peut affecter une valeur plus petite que le N

Lmax

th´eorique

`a ce param`etre. La valeur optimale de R

L

n’est pas d´eterminable automatiquement

´egalement. Le moyen par lequel nous l’avons d´etermin´ee est en testant des valeurs de

R

L

empiriquement `a l’aide de l’´equation (II.2) avec la vitesse moyenne.

Dans le document Simulations de fluides complexes à l'échelle mésoscopique sur GPU (Page 42-45)