Longueur d’onde (µm)
2.4 Le Continuum spectral
4 5 6 7 8 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 10+0 V
au voisinage de la coupure au loin de la coupure
γa
LP21 LP22
Fig. 2.14– Evolution de l’´evanescence de gaine γa pour la famille de modes d’ordre azimutaux l = 2 guid´es par une fibre optique circulaire, en fonction du param`etre de guidage V . La fonction est obtenue par une solution de de l’e.v.p au voisinage d’une fr´equence de coupure Vcdonn´ee (trait plein) et raccord´ee au loin par une solution asymptotique de l’e.v.p. (trait pointill´e)
2.4 Le Continuum spectral
En plus des modes guid´es par la structure, il existe une seconde famille de solutions modales `a l’´equation de Helmoltz du guide. Cette famille est caract´eris´ee par une constante de propagation axiale `
a valeur r´eelle comprise dans l’intervalle,
0 <|β| < k2 (2.27)
La particularit´e de ces modes rayonn´es tient `a la valeur positive de la fr´equence spatiale d’oscillation κ2> 0 dans tout le domaine transverse du guide d’onde. La cons´equence physique majeure est que ces modes, contrairement aux modes guid´es poss`edent une structure spatiale oscillante sur tout le domaine transverse sans ´evanescence de gaine. Nous distinguerons donc entre la fr´equence d’oscillation dans le coeur et dans la gaine,
κ = σ = q k2 1− β2 dans le coeur κ = ρ = q k2 2− β2 dans la gaine. (2.28)
CHAPITRE 2. UN MOD `ELE DE FIBRE OPTIQUE 2.4. LE CONTINUUM SPECTRAL 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.01 0.1 1.0 10.0 V γa LP01
Fig. 2.15– Evolution de l’´evanescence de gaine γa pour la famille de modes d’ordre azimutaux l = 2 guid´es par une fibre optique circulaire, en fonction du param`etre de guidage V . La fonction est obtenue par une solution de de l’e.v.p au voisinage d’une fr´equence de coupure Vcdonn´ee (trait plein) et raccord´ee au loin par une solution asymptotique de l’e.v.p. (trait pointill´e)
2.4.1 Cartes transverses
La solution g´en´erale de l’equation de Helmoltz pour les modes rayonn´es du guide planaire est toujours d´ecomposable, comme pour les modes guid´es, en une famille de modes sym´etriques et une famille de modes antisym´etriques suivant l’axe transverse du guide,
e = B cos(σx) sin(σx) |x| < d
e = A−exp−i(ρ|x|) + A+exp i(ρ|x|) |x| > d.
(2.29)
Les conditions de continuit´e de classeC1`a l’interface se traduisent par deux ´equations pour un syst`eme `a trois inconnues (constantes ind´etermin´ees) complexes. Les modes rayonn´es sont d´efinis `a deux degr´es de libert´e pr`es, i.e une phase constante et une amplitude. Nous imposerons arbitrairement la r´ealit´e des cartes radiales g´en´er´ees9–(B ∈ R)–ce qui fixe la phase, tandis que l’amplitude sera `a relier `a la
2.4. LE CONTINUUM SPECTRAL CHAPITRE 2. UN MOD `ELE DE FIBRE OPTIQUE 0 2 4 6 8 10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 V γa LP01
Fig. 2.16– Evolution de la constante de propagation normalis´ee du mode fondamental b01avec le param`etre de guidage.
puissance optique transport´ee par le mode sur l’axe du guide (c.f. sectionNorma),
A−
B = 1
2exp i(ρ|d|)(cos σd − iσ
ρsin(σd)) A+ = A−∗ modes sym´etriques A− B = 1
2exp i(ρ|d|)(cos σd + iσ
ρsin(σd))
A+ = A−∗ modes antisym´etriques.
(2.30)
Les conditions de continuit´e (sous-num´eraires par rapport aux nombre de degr´es de libert´e ind´etermin´es) ne conduisent pas, comme dans le cas des modes guid´es `a une ´equation aux valeurs propres discr´etisant le spectre des solutions admissibles en constante de propagation axiale. Ainsi, toutes les valeurs situ´ees dans l’intervalle pr´ecit´e sont possibles. Le spectre des modes rayonn´es forme un continuum.
Pour la fibre optique la solution g´en´erale s’exprime dans un sys`eme de coordonn´ees polaires comme une certaine fonction cylindrique d’ordre azimutal l modul´ee harmoniquement sym´etriquement ou antisym´etriquement suivant l’azimut,
e(r, φ) = BJl(σr) cos(lφ) sin(lφ) |x| < a e(r, φ) = A+Hl+(ρr) + A−Hl−(ρr) cos(lφ) cos(lφ) |x| > a. (2.31)
CHAPITRE 2. UN MOD `ELE DE FIBRE OPTIQUE 2.4. LE CONTINUUM SPECTRAL
une fonction cylindrique solution de l’´equation de Bessel radiale, pendant de l’´equation de Helmoltz, en coordonn´ees cylindriques. Dans le coeur, la solution s’exprime comme pour les modes guid´es `a l’aide d’une fonction de Bessel de premi`ere esp`ece d’ordre l Jl. Dans la gaine, la solution apparait comme la superposition de deux ondes dont la d´ependance radiale est donn´ee par des fonctions de Hankel d’ordre l Hl+ et Hl− conjugu´ees l’une de l’autre. La encore, les conditions de continuit´e de classeC1ne suffisent pas `a lever toutes les inconnues. Elles conduisent au syst`eme d’´equations,
A− B =
1 ρ
σ ˙Jl(σa)Hl+(ρa)− ρJl(σa) ˙Hl+(ρa) Hl+(ρa) ˙Hl+∗(ρa)−Hl+˙(ρa)Hl+∗(ρa) A+
B = 1 ρ
σ ˙Jl(σa)Hl+∗(ρa)− ρJl(σa) ˙Hl+∗(ρa) Hl+∗(ρa) ˙Hl+(ρa)− ˙Hl+∗(ρa)Hl+(ρa) .
(2.32)
Une fois encore, on peut fixer la phase du mode en imposant la r´ealit´e de la carte radiale d’un mode rayonn´e10. Compte-tenu de la relation de conjugaison complexe existant entre les fonctions de Hankel ceci implique,
B ∈ R et A+= A−∗ (2.33)
Les ´equations de continuit´e peuvent ˆetre formul´ees de mani`ere plus simple. On peut tout d’abord ´eliminer les d´eriv´ees premi`eres de celles-ci en utilisant la relation de r´ecurrence sur la d´eriv´ee d’une fonction cylindrique,
˙
Zl(x) = 1
2(Zl−1(x)− Zl+1(x)), (2.34) et injecter le Wronskien au d´enominateur,
Hl+1+ (x)Hl−(x)− Hl+(x)Hl+1− (x) = 4
iπx, (2.35)
ce qui conduit `a l’expression, A−
B = −iπa
8 (σJl+1(σa)H
+
l (ρa)− ρJl(σa)Hl+1+ (ρa)) +iπa
8 (σJl−1(σa)H
+
l (ρa)− ρJl(σa)Hl−1+ (ρa)) A−
B = A−∗
B .
(2.36)
On peut dans un dernier temps montrer que les termes intervenant de part et d’autre de la somme pr´ec´edente sont ´egaux. Pour ce faire il faudra utiliser une autre relation de r´ecurrence sur les fonctions cylindriques,
Zl−1(x) + Zl+1(x) = 2l
xZl(x). (2.37)
Ainsi, la continuit´e de classeC1 d’un mode sera donc formul´ee sous la forme d´efinitive, A−
B = −iπa
4 (σJl+1(σa)H
+
l (ρa)− ρJl(σa)Hl+1+ (ρa)) A+
B = A−∗
B .
(2.38)
De mani`ere analogue au guide planaire, on pourra toujours choisir de normaliser le mode rayonn´e obtenu au sens d’un produit scalaire convenablement choisi dans le plan transverse du guide, c’est `a dire normaliser la puissance optique qu’il d´eveloppe sur l’axe, c.f. Sect.2.5.