Hypoth` eses de base

Un guide d’onde est une structure di´el´ectrique servant `a confiner le champ ´electromagn´etique dans un domaine particulier de l’espace et `a le guider suivant une certaine direction qui d´efinit l’axe optique du guide. Le confinement spatial de la lumi`ere est r´ealis´e par le biais d’un m´ecanisme de r´eflexion totale. Pour invoquer un tel ph´enom`ene, il est n´ecessaire d’offrir au champ ´electromagn´etique un milieu de propagation pr´esentant un certain gradient d’indice de r´efraction dans un plan transverse `a l’axe optique du guide. Lorsque que le gradient impos´e est continu, on parle de guide `a gradient d’indice, lorsqu’il est discontinu, on pr´ef`ere parler de guide `a saut d’indice, c.f. Fig. 2.4.

Les propri´et´es di´electriques du guide, en particulier la stratification transverse en indice optique, seront suppos´ees invariantes par translation dans la direction principale du guide. A ce titre, les guides d’ondes ´etudi´es dans ce chapitre appartiendront `a la classe des syst`emes optiques `a sym´etrie cylindrique. J’ai choisi d’exposer en parall`ele, comme il souvent d’usage dans les ouvrages th´eoriques portant sur l’optique guid´ee, deux g´eom´etries particuli`eres de guide : le cas du guide d’onde planaire et celui du guide d’onde circulaire3, c’est `a dire de la fibre optique. Ce choix s’impose dans la mesure ou le guide d’onde planaire est le guide d’onde pour lequel les solutions obtenues dans le cadre de l’optique ondulatoire prennent une forme simple et directement interpr´etable en termes d’optique g´eom´etrique4. En somme, d’un point de vue conceptuel, le guide d’onde planaire repr´esente le r´ef´erent incoutournable pour discuter de la physique du guidage optique ainsi que pour ´echaffauder la th´eorie de la propagation au sein d’une structure optique plus complexe comme celle la fibre optique.

Je limite ´egalement la discussion au cas des guides d’onde bi-couche `a saut d’indice, parce-qu’ils sont les plus couramment utilis´es en interf´erom´etrie stellaire. Ces guides sont constitu´es d’une couche di´electrique interne, le coeur, revˆetue d’une couche di´electrique externe, la gaine, d’indice optique l´eg`erement inf´erieur. Le terme bi-couche est inexact, puisqu’en toute rigueur, pour calculer la distri-bution spatiale du champ ´electromagn´etique de mani`ere exacte au sein du guide, on doit ´egalement tenir compte des conditions aux limites externes du probl`eme de propagation, c’est `a dire du milieu di´electrique dans lequel le guide est immerg´e... typiquement l’air en ce qui concerne les designs optiques les moins saugrenus !. Toutefois pour les guides d’ondes usuels, en particulier pour les guides d’ondes monomodes, il existe un grande disproportion entre les dimensions transverses associ´ees `a la gaine et celles associ´ees au coeur, typiquement un facteur 25 ou plus. En pratique, on id´ealise cette situation en rejettant “au loin” les conditions aux limites du probl`eme de propagation et en traitant le guide comme une structure di´electrique effectivement bi-couche, dont la gaine est d’extension semi-infinie dans son plan tranverse5. Le traitement formel rigoureux du guidage optique par fibre circulaire `a saut d’indice a ´et´e impuls´e par Dietrich Marcuse dans les ann´ees 1970 dont l’essentiel peut-ˆetre trouv´e dans Marcuse [60]. Dans ce trait´e magistral l’auteur r´esoud les ´equations de Maxwell au sein du guide

3A ne pas confondre avec le terme “sym´etrie cylindrique”.

4Les solutions d´eriv´ees de la th´eorie des rayons sont identiques `a celles obtenues par une description ´electromagn´etique de la propagation au sein du guide

5Implicitement, on consid`ere que les conditions aux limites sont sans influence ni sur la structure spatiale des modes de champ ´electromagn´etiques propag´es dans le guide, ni comment ils se r´epartissent spectralement au sein de l’analyse modale.

2.1. FILTRAGE OPTIQUE MONOMODE CHAPITRE 2. UN MOD `ELE DE FIBRE OPTIQUE cladding core r z n2 ∆n n1 a r

Fig. 2.4– G´eom´etrie associ´ee `a la fibre circulaire, illustrant la stratification en indice optique transverse `a l’axe principal du guide. La stratification est invariante par rotation dans le plan transverse.

d’onde. Il montre que le champ ´electromagn´etique total peut ˆetre analys´e lin´eairement et orthogona-lement sur un ensemble (discret ou continu) de solutions ´el´ementaires appel´ees solutions modales ou plus simplement modes. La contribution individuelle des modes ´electromagn´etiques au rayonnement global refl`ete des r´ealit´es physiques diff´erentes : en effet, certains d’entre eux d´ecrivent la partie du champ ´electromagn´etique qui reste confin´e dans le coeur du guide par un m´ecanisme de r´eflexion totale, ce sont les modes effectivement guid´es par la structure di´electrique et dont le nombre peut ˆetre r´eduit `a l’unit´e–`a savoir le mode fondamental du guide–par un dimensionnement opto-g´eom´etrique du guide appropri´e. Dans une telle situation, on parle de guidage monomode.

Mais en r´ealit´e d’autres modes, plus chanceux, ont la possibilit´e de s’´echapper du coeur vers les r´egions externes, et sont appel´es modes rayonn´es. Autrement dit, l’´energie lumineuse non coupl´ee sur le mode fomdamental d’une fibre optique est rayonn´ee dans la gaine. Un guide d’onde n’est jamais, au sens strict, du terme “monomode”.

Marcuse montre aussi que l’analyse du champ ´electromagn´etique en termes de polarisation est compliqu´ee. Elle est ´etroitement d´ependendante de la fa¸con dont la g´eom´etrie du syst`eme couple les composantes parall`eles du champ ´el´ectromagn´etique entre-elles via les conditions de continuit´e impos´ees `a la travers´ee des surfaces de discontinuit´e di´el´ectrique du guide. Si pour le guide d’onde planaire, la g´eom´etrie permet une simplification et un d´ecouplage de l’analyse en termes de modes Tranverse Electrique (TE) ou Tranverse Magn´etique (TM) uniquement, pour la fibre optique il n’en est rien, et les modes qu’elle propage poss`edent en g´en´eral une structure sophistiqu´ee `a six composantes de champ not´ees respectivement (EH,HE) suivant la pr´edominance du champ electrique ou magn´etique6. Une description exacte en polarisation des modes propag´es par la fibre optique induit certaines difficult´es d’ordre math´ematique, notamment du point de vue de la normalisation des modes rayonn´es. Si l’orthogonalit´e de deux modes distincts peut-ˆetre ´etablie `a partir de consid´erations g´en´erales

CHAPITRE 2. UN MOD `ELE DE FIBRE OPTIQUE 2.1. FILTRAGE OPTIQUE MONOMODE Core Cladding

y

x

z

2d

d

x

n

n

∆n

Fig. 2.5– G´eom´etrie associ´ee au guide planaire illustrant la stratification en indice optique transverse `a l’axe principal du guide. Cette stratification est invariante par translation dans une direction particuli`ere du plan transverse.

tant sur les syst`emes optiques `a sym´etrie cylindrique via le th´eor`eme de r´eciprocit´e de Lorentz, la prescription d’une puissance optique unitaire, transport´ee suivant l’axe de la fibre ne suffit pas `a contraindre la norme d’un mode rayonn´e lui-mˆeme7. Les modes rayonn´es obtenus analytiquement et qui d´ecoulent naturellement de la r´esolution des ´equations de Maxwell ne sont pas directement nor-malisables. Pour lever cet d´eg´enerescence, l’auteur propose d’orthogonaliser deux modes lin´eairement ind´ependants abitrairement g´en´er´es sur la base des modes rayonn´es initiaux dont on connait la forme analytique. Dixit Marcuse, les ´equations r´esulantes sont compliqu´ees, elles ne sont malheureusement pas reproduites dans Marcuse [60]. Mais le probl`eme math´ematique est clairement identifi´e, et peut ˆetre r´esolu num´eriquement, par un proc´ed´e d’orthogonalisation de la famille initiale, de type Graham Scmidt.

Un traitement simplifi´e du probl`eme, que j’ai appliqu´e, consiste `a faire le prix d’un mod`ele rigoureux de guide d’onde en termes de polarisation et d’utiliser une description approch´ee d´evelopp´ee par Glodge [36] et dont les lignes essentielles sont reproduites dans Marcuse [61]. En effet, en supposant que le gradient d’indice ∆n impos´e `a l’interface du coeur de guide et de la gaine n’exc`ede pas quelques pourcents en valeur relative, ce qui est le cas pour les fibres optiques utilis´ees en astronomie, on peut obtenir une solution formelle normalisable de tous les modes de la structure–modes rayonn´es

7contrairement aux modes guid´es dont l’amplitude du est d´etermin´ee de facon bi-univoque par la puissance lumineuse qu’ils transportent

2.2. TH ´EORIE MODALE CHAPITRE 2. UN MOD `ELE DE FIBRE OPTIQUE φ ρ z

Optical axis