Le langage Core ML 2

ISommes binaires Sym´etriquement, on peut ´equiper Core ML de sommes binaires en introdui-sant deux constructeurs unaires,inj₁ et inj₂, appel´esinjection gauche et injection droite, respec-tivement, et un destructeur ternaire casedont la s´emantique est d´efinie par la r`egle suivante, o`u j∈ {1,2}:

(injjv)casev1v2/ µ−^casevjv+∅ (case) Les valeursv1 et v2 sont typiquement des λ-abstractions et repr´esentent les deux branches d’une constructioncaseoumatch. . .withhabituelle.

Les Bool´eens peuvent naturellement ˆetre vus comme un cas particulier de somme binaire : on repr´esente les constantestrueet falserespectivement parinj₁() etinj₂(). La constructionifvthen e1elsee2peut est alors un sucre syntaxique pourvcase(λx.e1) (λx.e2), o`uxest une variable qui n’est libre ni danse1ni danse2. Il est ais´e de v´erifier que l’on a alors les deux r´eductions suivantes :

if true thene1elsee2→^∗e1

if false thene1elsee2→^∗e2

IPoint fixe Les constructions de base de Core ML ne permettent pas la r´ecursion. Celle-ci peut ˆetre introduite `a l’aide d’une primitive binairefix. En ML, la s´emantique de cette constante est d´efinie de telle mani`ere que l’applicationfixv1v2 produit l’expressionv1(fixv1)v2. Cependant, cette derni`ere forme n’est pas une expression valide Core ML, `a cause des restrictions pos´ees sur la syntaxe. Il est n´ecessaire d’effectuer une η-expansion de l’application partielle fixv1, puis d’introduire une liaisonbindpour nommer le r´esultat de l’application dev1`a son premier argument, ce qui donne la r`egle suivante :

fixv1v2/ µ−^fixbindx1=v1(λx2.fixv1x2)inx1v2+∅ (fix) (Il n’est pas n´ecessaire de faire d’hypoth`ese de fraˆıcheur sur les variables x1 et x2, puisque les valeurs v1 et v2 sont n´ecessairement closes.) La primitive fix est g´en´eralement utilis´ee avec une λ-abstraction comme premier argument. En particulier, la construction usuelle let recf x =e1 in e2, qui permet de d´efinir une fonctionf de mani`ere r´ecursive, peut ˆetre cod´ee par l’expression letf =λy.fix(λf.λx.e1)yine2(avecy6∈fpv(e1)).

5.2 Le langage Core ML

²

5.2.1 Pr´esentation

Prouver une propri´et´e de non-interf´erence n´ecessite de consid´erer simultan´ement deux pro-grammes pour ´etablir qu’ils partagent des sous-expressions tout au long de leur r´eduction. Afin de rendre ce raisonnement plus simple, je vais repr´esenter ces deux programmes commeune seule expression d’un langage ´etendu, appel´e Core ML², au lieu d’une paire d’expressions Core ML. Les valeurs, r´esultats et expressions de Core ML² sont obtenus en ´etendant la syntaxe de Core ML comme suit :

v ::=. . .| hv|vi (valeur) a::=. . .| ha|ai (r´esultat) e::=. . .| he|ei (expression)

L’expression Core ML²he1|e2ipermet de repr´esenter la paire d’expressions (e1, e2). Il faut noter que les crochets peuvent apparaˆıtre `a une profondeur arbitraire dans une expression. Par exemple, siv est une valeur Core ML alors les expressionshv1|v2iv et hv1v |v2virepr´esentent toutes les deux la paire (v1v, v2v). Cependant, la premi`ere est plus pr´ecise que la seconde puisqu’elle explicite le fait que le nœud de l’application et son argument v sont partag´es entre les deux expressions.

L’imbrication de constructionsh. . .|. . .in’est pas autoris´ee, puisque cela n’aurait pas de sens

vis-`

a-vis de l’interpr´etation donn´ee aux crochets : ainsi, les sous-expressionse1 ete2 d’une expression he1 | e2i doivent ˆetre des expressions du sous-ensemble Core ML. La correspondance entre Core

104 Chapitre 5·Core ML et Core ML²: Syntaxe et s´emantique

ML et Core ML² est rendue explicite par deux projections, not´eesb·c_i o`u i est un ´el´ement de {1,2}. Ces deux fonctions v´erifient bhe1 | e2ic_i = ei et sont des homomorphismes sur toutes les autres constructions du langage. On ´etend la d´efinition de fpv(e) et fml(e) aux expressions Core ML².

J’ai choisi de ne pas introduire pour Core ML²des notations distinctes de celles de Core ML, dans le but de ne pas alourdir la pr´esentation : ainsi, je conserve les mˆemes meta-variablev,aeteet r´eutiliserai plusieurs des notations introduites `a la section5.1.2(page99) pour d´efinir la s´emantique de Core ML<sup>2</sup>. Cependant, aucune ambigu¨ıt´e n’en r´esultera puisque je consid`ere d´esormais Core ML comme un sous-ensemble de Core ML².

Avant de poursuivre, il est peut-ˆetre utile d’expliquer informellement comment Core ML² per-met de garder trace des diff´erences entre deux expressions Core ML tout au long de leur r´eduction.

Consid´erons par exemple la fonctionλx.b0. ´Evidemment, son r´esultat ne r´ev`ele aucune information sur son argument, puisqu’il s’agit d’une constante enti`ere. Le syst`eme de types que je vais pr´esenter au chapitre6(page113) ´etablira que cette fonction associe des r´esultats«publics»`a des entr´ees

« secr`etes ». D`es lors, pour prouver que le syst`eme de types est correct, je dois ´etablir un r´esul-tat de non-interf´erence : pour tous entiers n1 et n2, les deux programmes (λx.b0)bn1 et (λx.b0)nb2

produisent la mˆeme valeur. Pour cela, je repr´esenterai cette paire de programmes `a l’aide d’une expression Core ML²,e= (λx.b0)hnb1|bn2i; ses deux projections ´etant naturellement les deux pro-grammes originaux : pour tout i∈ {1,2},bec_i est ei. Notons que les arguments« secrets»nb1et b

n2apparaissent dansesous des crochets, alors que l’application deλx.b0 est partag´ee,i.e.apparaˆıt en dehors des crochets. Suivant la s´emantique de Core ML² que je vais d´ecrire `a la section5.2.3, l’expression (λx.b0)hnb1 | bn2i se r´eduit en la valeur Core ML<sup>2</sup> b0. Le fait que ce r´esultat ne com-porte aucune construction h· | ·i assure que ses deux projections co¨ıncident, c’est-`a-dire que les programmes originauxe1ete2produisent tous les deux la mˆeme valeur. La preuve du th´eor`eme de non-interf´erence d´evelopp´ee au chapitre6(page113) est bas´ee sur le mˆeme principe : je montrerai que, sous des hypoth`eses de typage appropri´ees, le r´esultat d’une s´equence de r´eductions Core ML² ne comporte pas de crochets.

La r´eduction (λx.b0)hbn1 | nb2i →b0 que nous venons d’´etudier est tr`es simple. Cependant, les r´eductions de Core ML<sup>2</sup>peuvent, en g´en´eral, ˆetre plus complexes : plusieurs des r`egles de r´eduction que je vais introduire doivent faire remonter les crochets quand ils bloquent la r´eduction (j’appellerai ces r`egles des r`egles«lift»). Par exemple, puisque l’applicationhλx.x|λx.b0ib1 n’est pas unβ-redex, elle ne peut ˆetre r´eduite par (β). C’est pourquoi j’introduirai une nouvelle r`egle, (lift-β), pour la r´eduire enh(λx.x)b1|(λx.b0)b1i. Il faut remarquer que cette ´etape de r´eduction n’affecte aucune des projections de l’expression en question. Ainsi, elle n’a pas de contenu calculatoire : le d´eplacement des crochets refl`ete seulement un flot d’information. Enfin, chaque membre de la nouvelle expression est maintenant unβ-redex qui peut ˆetre r´eduit : nous obtenons ainsih(λx.x)b1|(λx.b0)b1i →^∗hb1|b0i.

5.2.2 ´ Etats m´emoire et configurations

De mˆeme que la syntaxe des valeurs, r´esultats et expressions, je dois ´etendre celle des blocs m´emoire, des ´etats m´emoire et des configurations pour donner une s´emantique op´erationnelle `a Core ML². En effet, il faut garder trace du partage non seulement entre les expressions mais aussi entre les ´etats m´emoire de deux configurations. Cependant, deux ´etats m´emoire peuvent allouer des adresses m´emoire distinctes ; c’est la raison pour laquelle la syntaxe des blocs m´emoire doit ˆetre ´etendue comme suit :

w::=. . .| hv|nulli | hnull|vi (bloc m´emoire)

Les blocs de la formehv|nulliouhnull|vi(o`u la valeurvdoit ˆetre close) permettent de repr´esenter les situations o`u une adresse m´emoirem est allou´ee dans seulement un des deux ´etats m´emoire Core ML repr´esent´es par un ´etat m´emoire Core ML², qui est naturellement une fonction totale

5.2· Le langage Core ML² 105

R´eductions de base

(λx.e)v /iµ → e[x←v]/iµ (β)

letx=vine /iµ → e[x←v]/iµ (let)

f ~v /iµ → e /iµ4ⁱµ⁰

sif ~v /bµc_i−fe+µ⁰

(δ)

E[a]/ µ → Ea / µ (pop)

R`egles «lift»

hv1|v2iv / µ → hv1bvc₁|v2bvc₂i/ µ (lift-β) f ~v / µ → hfb~vc₁|fb~vc₂i/ µ

si~v / µ6↓f, b~vc₁/bµc₁↓f etb~vc₂/bµc₂↓f

(lift-δ) E[ha1|a2i]/ µ → hbEc₁a1| bEc₂a2i/ µ

siEn’accepte pasha1|a2i

(lift-pop) R´eduction sous un contexte

E[e]/iµ → E[e⁰]/iµ⁰ sie /iµ→e⁰/iµ⁰

(context) he1|e2i/ µ → he⁰₁|e⁰₂i/ µ⁰

siei1/i1µ→e⁰i₁/i1µ⁰ etei2=e⁰i₂

avec {i1, i2}={1,2}

(bracket)

Figure 5.3– S´emantique op´erationelle de Core ML²

des adresses m´emoire vers ces blocs m´emoire. Les fonctions de projection sont ´etendues au blocs m´emoire par les ´egalit´es

bnullc₁ = null bhnull|vic₁ = null bhv|nullic₁ = v bnullc₂ = null bhnull|vic₂ = v bhv|nullic₂ = null

puis point `a point aux ´etats m´emoire : pour tousiet m, bµc<sub>i</sub>(m) =bµ(m)c<sub>i</sub>. Un ´etat m´emoireµ de Core ML<sup>2</sup> est bien form´e si et seulement si seul un nombre fini d’adresses m´emoire est allou´e dansµ, et si, pour tousi∈ {1,2},µ∈fml(bµc<sub>i</sub>) impliquebµ(m)c<sub>i</sub>6=null. Ce crit`ere est ´equivalent

`

a la bonne formation, au sens de Core ML, des deux ´etats m´emoirebµc₁ etbµc₂.

Une configuration Core ML², not´ee e /iµ, est un triplet form´e d’une expressione, d’un ´etat m´emoireµainsi que d’un indexi∈ {•,1,2}dont j’expliquerai le rˆole section5.2.3. Notons toutefois que, dans le cas o`u i est 1 ou 2, edoit ˆetre une expression Core ML (c’est-`a-dire une expression sans crochets). J’´ecris e / µ pour e /• µ et d´efinis les projections d’une telle configuration par be / µc_i=bec_i/bµc_i.

Les r`egles de bonne formation des configurations donn´ees pour Core ML doivent ˆetre ´etendues

`

a Core ML² comme suit :

– La configuratione/µest bien form´ee si et seulement siµest bien form´e et pour tousi∈ {1,2}

et m∈fml(bec_i),bµ(m)c_i6=null. Ce crit`ere est ´equivalent `a la bonne formation, au sens de Core ML, des configurationsbe / µc₁ et be / µc₂.

– Pour pour i ∈ {1,2}, la configuration e /iµ, est bien form´ee si et seulement si µ est bien form´e et, pour toutm∈fml(e),bµ(m)c_i6=null.

5.2.3 S´emantique op´erationnelle

La s´emantique op´erationnelle `a petits pas de Core ML²est donn´ee figure5.3. Cette s´emantique

´etend celle donn´ee pour Core ML (section 5.1.2, page 99). Les r`egles sont con¸cues de telle sorte que l’image d’une r´eduction par une projection soit ´egalement une r´eduction valide. L’´evaluation

106 Chapitre 5·Core ML et Core ML²: Syntaxe et s´emantique

peut avoir lieu en dehors des crochets — les deux projections effectuant alors la mˆeme ´etape de r´eduction — ou bien avoir lieu `a l’int´erieur des crochets — l’une des projections progressant ind´ependamment, l’autre restant inchang´ee — ou bien faire remonter des crochets — perdant alors une partie du partage.

Les r`egles du premier groupe sont syntaxiquement identiques `a celles de Core ML — `a l’excep-tion de quelques d´etails techniques expliqu´es dans le prochain paragraphe. Les meta-variablev,a, e et µrepr´esentent maintenant des valeurs, r´esultats, expressions et ´etats m´emoire de Core ML² qui peuvent comporter des crochetsh· | ·i.

La substitution de la variablex par la valeurv danse, utilis´ee dans les r`egles (β) et (let), est not´eee[x←v]. Elle est d´efinie de la mani`ere habituelle, except´ee aux nœudsh· | ·i, o`u la projection appropri´ee devdoit ˆetre prise pour chaque branche :he1|e2i[x←v] =he[x← bvc₁]|e[x← bvc₂]i.

La fonctionutilis´ee dans la r`egle (pop) peut toujours ˆetre d´efinie par les ´egalit´es de la figure5.2 (page100). Cependant, celles-ci doivent d´esormais ˆetre lues en consid´erant que les meta-variablee, v,aet hd´enotent des expressions, valeurs, r´esultats et clauses du langage Core ML<sup>2</sup>. Il faut noter quen’est plus une fonction totale : (bindx= [ ]ine) ha1|a2iet ([ ]handle~h) ha1|a2ine sont pas d´efinis sia1eta2 ne sont pas deux valeurs. La r`egle (pop) n’est naturellement applicable que siEaest d´efini, on dit dans ce cas queEaccepte a. De mˆeme, la s´emantique des primitives doit ˆetre ´etendue : elle est donn´ee par des relations −f (dont les jugements sont de la forme

~v /µ−^fe+ ˙µo`u les valeurs~v, l’´etat m´emoireµet le fragment ˙µainsi que l’expressionepeuvent comporter des crochets), et qui ´etendent les relations−^f. Je donnerai des exemples section5.2.4 (page108).

Les r`egles des deux premiers groupes sont applicables sous tout contexte. Cependant, (δ) a be-soin d’un peu d’information contextuelle pour acc´eder `a l’´etat m´emoire : les r´eductions qui ont lieu sous une constructionh· | ·ine doivent lire ou ´ecrire qu’une de ses deux projections. C’est pr´ecis´e-ment le rˆole de l’indexiport´e par les configurations : sa valeur est •pour les ´etapes de r´eduction en dehors des crochets, la r`egle (bracket) rend sa valeur ´egale `a 1 (resp. 2) pour les r´eductions qui ont lieu `a l’int´erieur d’une branche gauche (resp. droite) d’une constructionh· | ·i. Cet indice est ensuite utilis´e dans la r`egle (δ) pour manipuler l’´etat m´emoire d’une mani`ere convenable. Tout d’abord, la primitive ne doit acc´eder qu’`a la partie de l’´etat m´emoire qui correspond au contexte : ainsi, le membre gauche de la pr´emisse de (δ) mentionne la projection bµc_i (par convention, on posebµc_•=µ). D’autre part, la r´eduction ne peut affecter (en allouant ou en modifiant des blocs) que cette mˆeme projection : pouri∈ {•,1,2}, l’op´erateur4i est d´efini par les ´equations

(µ4ⁱµ⁰)(m) = µ(m) sim6∈dom(µ⁰) (µ4•µ⁰)(m) = µ⁰(m) 



(µ41µ⁰)(m) = hµ⁰(m)| bµ(m)c₂i  sim∈dom(µ⁰) (µ42µ⁰)(m) = hbµ(m)c₁|µ⁰(m)i

Notons que l’indicein’est pas transmis aux relations−f. En utilisant le fait qu’elles retournent un fragment ˙µ pr´ecisant les modifications apport´ees `a l’´etat m´emoire initial (au lieu du nouvel

´etat m´emoire lui-mˆeme), il est en effet possible de d´eduire la s´emantique des primitives dans les contextesi= 1 eti= 2 `a partir de celle donn´ee pour le cas i=•: c’est pr´ecis´ement le rˆole de la r`egle (δ) et de l’op´erateur4i.

Il me faut enfin ´enoncer quelques hypoth`eses sur chaque relation −f. Les deux premi`eres hypoth`eses sont techniques, elles visent `a pr´eserver la bonne formation des configurations : l’une est la contrepartie l’hypoth`ese5.1(page100) donn´ee pour Core ML, l’autre garantit que si l’argument d’une primitive ne comporte pas de crochets alors il en est de mˆeme de son r´esultat (ce qui assure que l’on ne construit pas d’imbrications de telles constructions).

Hypoth`ese 5.5 Pour toutf, (i)la relation−^fest stable par renommage des adresses m´emoires et (ii) si f ~v / µ −f e+ ˙µ alors, pour tout i ∈ {1,2} et m ∈ fml(bec_i,bµc˙ _i), m ∈ dom( ˙µ) ou

bµ(m)c_i6=null.

5.2· Le langage Core ML² 107

Hypoth`ese 5.6 Sif ~v / µ−^fe+ ˙µet~vetµne comportent pas de constructionh· | ·i alors il en

est de mˆeme deeetµ.˙

La troisi`eme hypoth`ese exprime, au niveau des primitives, la correspondance entre la s´emantique de Core ML² et celle du sous-ensemble Core ML : l’image d’une r´eduction par une projection doit rester une r´eduction valide. Cette hypoth`ese est utilis´ee dans la preuve du lemme 5.10(page109).

Hypoth`ese 5.7 Sif ~v / µ−<sup>f</sup>e+ ˙µalors, pour touti∈ {1,2}, fb~vc<sub>i</sub>/bµc<sub>i</sub>−<sup>f</sup>bec<sub>i</sub>+bµc˙ <sub>i</sub>. Les r`egles du deuxi`eme groupe empˆechent les constructions h· | ·i de bloquer la r´eduction : pour cela, elles« remontent» les crochets, d´epartageant des sous-expressions mais permettant `a la r´eduction de se poursuivre ind´ependemment dans chaque branche. Par exemple, l’expression du membre gauche de (lift-β) n’est pas un β-redex et son application duplique la sous-expressionv.

Le calcul ´etiquet´e de Abadi, Lampson et L´evy [ALL96] comporte une r`egle quelque peu analogue, permettant de r´eduire les applications dont le membre gauche est une valeur ´etiquet´ee. On peut interpr´eter les r`egleslift en voyant le contenu de chaque h· | ·icomme« secret» : en rendant de nouvelles sous-expressions secr`etes lors des r´eductions, ces r`egles donnent en fait une description dynamique des flots d’information.

La r`egle (lift-δ) permet de d´epartager un appel `a une primitive bloqu´e par des crochets. Le pr´edicat~v / µ↓f utilis´e dans sa condition d’application signifie que, sous l’´etat m´emoire, l’appel `a la primitivef avec les arguments~vn’est pas bloquant,i.e.il existeaet ˙µtels quef ~v /µ−^fa+ ˙µ.

La r`egle (lift-pop) compl`ete la r`egle (pop) en r´eduisant les expressions de la forme E[a] o`u E n’accepte pasa. Le traitement de ces formes d’expressions diff`ere quelque peu de celui suivi pour les paires de r`egles (β) et (lift-β) ou (δ) et (lift-δ) : en effet, en plus de d´epartager le contexteE, (lift-pop) effectue imm´ediatement une ´etape de r´eduction dans chaque projection. Il serait probablement plus naturel de consid´erer la r`egle suivante :

E[ha1|a2i]→ hbEc₁[a1]| bEc₂[a2]i siEn’accepte pasha1|a2i

(lift-pop’)

Supposons un instant que r`egle (lift-pop) est remplac´ee par (lift-pop’). La r´eductionE[ha1 |a2i]/ µ→^∗hbEc₁a1| bEc₂a2i/ µs’effectue alors en trois ´etapes de r´eduction :

E[ha1|a2i]/ µ → hbEc₁[a1]| bEc₂[a2]i/ µ (lift-pop’)

→ hbEc₁a1| bEc₂[a2]i/ µ (pop)

→ hbEc₁a1| bEc₂a2i/ µ (pop)

Cependant, cette d´efinition de la s´emantique de Core ML²n´ecessiterait une formulation plus com-plexe du syst`eme de type pour Core ML<sup>2</sup> au chapitre 6 (page 113), de mani`ere `a garantir la pr´eservation du typage parchacune des ´etapes interm´ediaires. Le langage Core ML<sup>2</sup>n’´etant qu’un outil utilis´e pour prouver le th´eor`eme de non-interf´erence, je pr´ef`ere compliquer l´eg`erement la d´efinition de sa s´emantique et conserver une formulation simple du syst`eme de type.

Bien entendu, la s´emantique de Core ML² est donn´ee de mani`ere `a limiter autant que possible la perte de partage ; on pourrait en effet remplacer toutes les r`egleslift par la seule r`egle

e / µ→ hbec₁| bec₂i/ µ

qui est s´emantiquement correcte, mais obligerait ensuite le syst`eme de type `a consid´erer toute expression comme«secr`ete». Par ailleurs, la constructionh· | ·irappelle les nœudsfork introduits par Field et Teitelbaum pour effectuer une r´eduction incr´ementale des λ-termes [FT90] : (lift-β) est en fait l’une de leurs r`egles de r´eduction. Cependant, mon approche diff`ere sur certains points.

En particulier, je manipule des expressions alors que Field et Teitelbaum consid`erent des graphes, permettant `a des sous-expressions d’ˆetre partag´ees par les deux projections.

108 Chapitre 5·Core ML et Core ML²: Syntaxe et s´emantique

c

n1+bcn2/ µ −+^b n\1+n2+∅ (add)

proj_j(v1, v2)/ µ −proj_j vj+∅ (proj)

(inj_jv)casev1v2/ µ −^case vjv+∅ (case) refv / µ −ref m+ (m7→v)

siµ(m) =null

(ref) m:=v⁰/ µ[m7→v] −:= () + (m7→v⁰) (assign)

!m / µ[m7→v] −! v+∅ (deref)

fixv1v2/ µ −^fix bindx1=v1(λx2.fixv1x2)inx1v2+∅ (fix) Figure 5.4– R`egles de r´eduction des constantes

hv1|v2i+bv / µ → hv1+bbvc₁|v2+bbvc₂i/ µ (lift-add-1) v+bhv1|v2i/ µ → hbvc₁+bv1| bvc₂+bv2i/ µ (lift-add-2) proj_jhv1|v2i/ µ → hproj_jv1|proj_jv2i/ µ (lift-proj) hv1|v2icasev⁰₁v₂⁰ / µ → hv1casebv₁⁰c₁bv₂⁰c₁|v2casebv₁⁰c₂bv⁰₂c₂i/ µ (lift-case) hv1|v2i:=v / µ → hv1:=bvc₁|v2:=bvc₂i/ µ (lift-assign)

!hv1|v2i/ µ → h!v1|!v2i/ µ (lift-deref) Figure 5.5– R`egles«lift»

5.2.4 Constantes

Je termine cette section en poursuivant le traitement des exemples de constructeurs et destruc-teurs introduits `a la section5.1.3(page102). Les r`egles de r´eduction de ces constantes dans Core ML² sont donn´ees figure 5.4. Une fois encore, elles sont syntaxiquement identiques `a celles des r`egles de Core ML, cependant les meta-variablev etµ d´esignent ici des valeurs et ´etats m´emoire Core ML². Il est imm´ediat de v´erifier la correction de ces r`egles exprim´ees par l’´enonc´e suivant.

Propri´et´e 5.8 Les relations −^+b, −^projj, −^case, −^ref, −^:=, −^! et −^fix v´erifient les

hypoth`eses5.5, 5.6et 5.7.

Dans la pr´esentation originale de Core ML² [PS02, PS03], chaque primitive est munie d’une r`eglelift sp´ecifique applicable lorsque un argument de la forme hv1|v2ibloque la r´eduction. Ces r`egles sont rappel´ees par la figure5.5. Elles sont int´eressantes pour elles-mˆemes, car elles d´ecrivent les flots d’information engendr´es par les primitives. Dans cette th`ese, ces r`egles sont remplac´ees par (lift-δ), qui d´epartage une application de primitive quand son ´evaluation est bloqu´ee par les crochets. Pour ce qui concerne nos exemples, cette r`egle permet de r´ealiser exactement les r´eductions indiqu´ees figure5.5.

Dans le document Inf´ erence de flots d’information pour ML : Formalisation et implantation (Page 103-108)