L’OM enseignée dans la classe de Mme A

Nous avons observé trois séances sur la numération. Les deux premières séances observées sont consécutives. Il y a ensuite une séance, qui a lieu avant la troisième séance observée, pour laquelle nous n’avons que les exercices distribués aux élèves. L’évaluation finale s’est déroulée la semaine suivante. La séquence s’est déroulée sur un temps assez court (environ trois semaines pour les cinq séances).

On peut résumer cette l’OM de la numération construite par Mme A par le schéma ci-dessous.

Figure 56 : OM de la numération dans la classe de Mme A

On ne trouve pas de trace de l’OMcard : ce sont des traductions d’écritures (canoniques) qui permettent d’amener le principe de position. C’est uniquement ce savoir qui est en jeu au cours de la séquence. Les types de tâche décomposer/recomposer (principalement de manière canonique : TTepdc/ec et TTec/epdc), écrire et nommer (TTec/n et TTn/ec) et comparer (TC) ont une place privilégiée. Par contre avancer/reculer (TAR) est traité de manière tout à fait anecdotique. C’est à partir des décompositions/recompositions que Mme A met en évidence le principe de position (situation « le bowling », cf. annexe I.2). Mais l’utilisation privilégiée

des EAC et EPDC (par exemple 1000+500+20+3 ou 1×1000+5×100+2×10+3) conformément à

ce qui est proposé dans son guide ERMEL, pourrait amener à s’appuyer sur des techniques de calcul. Les EUN apparaissent un peu dans les recompositions mais sont surtout utilisées pour évoquer le nom des rangs dans le nombre en chiffres. C’est pourquoi on les retrouve par exemple pour formuler la technique de comparaison de nombres.

Décomposer/ recomposer Écrire/ nommer Comparer Avancer/ reculer Principe de position

L’analyse de la première séance (Tempier 2009) où Mme A met en œuvre la situation « le bowling » extraite d’ERMEL (cf. annexe I.2) a permis de constater que le principe de position est bien un enjeu d’apprentissage. En effet nous avons remarqué que l’enseignante questionne les élèves pour les amener à justifier (ce qui semble être un contrat courant dans la classe) leur technique de recomposition avec EAC ou EPDC. Cela lui permet d’institutionnaliser le rang des milliers (qu’elle nomme « unités de mille »). Voici comment une élève décrit sa technique de juxtaposition à partir d’une EPDC :

« Parce que le premier chiffre une fois mille j’ai mis le un, cinq fois cent j’ai mis le cinq, deux fois dix j’ai mis le deux et trois fois un j’ai mis le trois ».

L’enseignante reprend alors pour lui faire préciser le nom de chaque unité et montre le lien entre les unités et les rangs dans l’EC en écrivant « unités de mille » au-dessus du 1 de 1523. Il est possible que cela soit lié à l’absence, que nous avons relevée, d’une formulation en texte (avec des phrases) de ce savoir dans les manuels et programmes récents. Cela peut être en partie liée à l’utilisation fréquente du tableau de numération (pour représenter ce savoir) qui prend en charge la mise en correspondance unités/rangs. Ou encore à l’utilisation des EAC/EPDC qui peuvent amener à l’utilisation de techniques de calcul se substituant au principe de position.

Le rôle du zéro est également un enjeu important dans la première séance. Mme A demande des explications pour les recompositions de nombres qui amènent à utiliser le chiffre 0. Voici ce qu’en dit un élève (pour 8003) : « parce que y’a pas de centaine et pas de dizaine » (que l’on pourrait affiner par : « pas de centaine isolée et pas de dizaine isolée »). L’enseignante appuie cela en écrivant 83 au tableau et en demandant : « et si j’écris ça qu’est-ce que ça fait ? ».

Le fait que les conversions entre unités ne soient pas un enjeu dans la séquence peut se voir en particulier dans le choix des situations d’ERMEL que fait Mme A pour le travail sur les nombres à 4 chiffres (projet). En effet, comme nous venons de le voir Mme A a choisi la situation « le bowling » pour l’introduction des nombres à 4 chiffres. Nous avions vu dans l’étude d’ERMEL que la situation « les palets », qui vient juste après dans le guide, était très proche concernant le problème posé (dénombrer des points gagnés au cours d’une partie) mais que le choix des variables didactiques dans le « jeu des palets » (cf. annexe I.2) amenait à mettre en jeu les relations entre unités (que ce soit pour décomposer ou recomposer). Le choix de Mme A peut être lié au fait que la première est indiquée pour la « période 3 » et la seconde pour la « période 4 ». Nous ne savons pas si Mme A a prévu de la traiter. Mais il semble que sa séquence sur les nombres à 4 chiffres s’arrête aux tâches avancer/reculer (avec toutefois une reprise envisagée avec des activités portant sur la monnaie en fin d’année). Cela pourrait témoigner pour nous d’une conséquence des contraintes institutionnelles pesant sur l’enseignement du principe décimal : si les conversions entre unités ne sont pas un enjeu essentiel dans le projet de l’enseignant, son choix de situation (dans un ouvrage comme ERMEL laissant une certaine responsabilité à l’enseignant dans la construction de sa séquence) n’est pas guidé par la nécessité d’un repérage des situations les mettant en jeu. De plus, les situations mettant en jeu les conversions sont plus difficiles pour les élèves (le cas de « le bowling » et « les palets » illustre bien cela), il faut donc que l’enseignant ait une bonne raison pour les choisir, en lien avec son projet d’enseignement. Toutefois deux exercices pouvant mettre en jeu des conversions ont été proposés : le premier lors d’une séance non observée, le second dans l’évaluation finale. Nous allons revenir sur ces deux exercices. Voici le premier dans l’extrait suivant de cahier d’élève (il

s’agit de recomposer : 2 diza

dizaines 5 centaines 8 unités, 6 dizaines 15 centaines 7 milliers)

Figure 57 : extrait d’un exercice proposé entre deux séances observées (S2 et S3) Cet exercice se distingue des autres pour deux raisons

- il fait travailler les recompositions avec les EUN, ce qui n’est pas ce qui se faisait dans les séances précédentes (EAC, EPDC ou EMN avec l’expression «

nous l’indique Mme A lors de l’entretien

- il pourrait nécessiter d’utiliser les relations entre les unités de la numération (principe décimal) car le nombre d'unités d’un certain ordre dépasse 9. En effet, pour le dernier cas par exemple la conversion de 15 centaines en 1 millier et 5 cent est nécessaire pour déterminer le nombre de milliers (7 milliers + 1 milliers).

Lors de l’entretien qui a suivi la troisième séance, nous avons voulu revenir sur cet exercice. Pour Mme A, il s’agit d’un exercice pour aller plus loin. D’ailleurs tous

eu le temps de le faire et pour ceux qui l’ont fait, elle est passée les corriger individuellement. Il n’y a pas eu de phase collective sur cet exercice. Elle ajoute qu’il sera peut-être retravaillé plus tard dans l’année, mais que p

important. Cela peut être à rapprocher de ce que nous avions vu dans la situation des craies d’ERMEL : les cas de nombre de

chiffres étaient proposés au début pour l

Le deuxième exercice mettant en jeu les relations entre unités a été donné dans l’évaluation de fin de séquence. Lors du dernier entretien, nous sommes revenus avec

exercice ; nous donnons ici deux exemples de prod Océane :

Frances :

Figure 58 : extrait du premier exercice de l’évaluation finale de deux élèves Voici un extrait de la transcription

E : […] Le seul exercice on va dire qui n’a pas été tout à fait bien réussi c’est le premier en fait pour écrire le nombre correspondant aux écritures. Donc là on a les décompositions et après il fallait retrouver le nombre entier.

: 2 dizaines 3 centaines 9 unités, 2 unités 14 dizaines 5 milliers, 24 dizaines 5 centaines 8 unités, 6 dizaines 15 centaines 7 milliers) :

: extrait d’un exercice proposé entre deux séances observées (S2 et S3) distingue des autres pour deux raisons :

il fait travailler les recompositions avec les EUN, ce qui n’est pas ce qui se faisait dans les séances précédentes (EAC, EPDC ou EMN avec l’expression « paquet de

nous l’indique Mme A lors de l’entretien final ;

il pourrait nécessiter d’utiliser les relations entre les unités de la numération (principe décimal) car le nombre d'unités d’un certain ordre dépasse 9. En effet, pour le dernier cas par exemple la conversion de 15 centaines en 1 millier et 5 cent est nécessaire pour déterminer le nombre de milliers (7 milliers + 1 milliers).

Lors de l’entretien qui a suivi la troisième séance, nous avons voulu revenir sur cet exercice. , il s’agit d’un exercice pour aller plus loin. D’ailleurs tous les enfants n’ont pas eu le temps de le faire et pour ceux qui l’ont fait, elle est passée les corriger individuellement. Il n’y a pas eu de phase collective sur cet exercice. Elle ajoute qu’il sera être retravaillé plus tard dans l’année, mais que pour le moment ce n’est pas le plus important. Cela peut être à rapprocher de ce que nous avions vu dans la situation des craies

nombre de mettant en jeu le principe décimal pour les nombres à 4

chiffres étaient proposés au début pour les élèves les plus rapides.

Le deuxième exercice mettant en jeu les relations entre unités a été donné dans l’évaluation de fin de séquence. Lors du dernier entretien, nous sommes revenus avec

; nous donnons ici deux exemples de productions d’élèves comportant des erreurs

: extrait du premier exercice de l’évaluation finale de deux élèves Voici un extrait de la transcription (E : enseignante, Ch : chercheur) :

exercice on va dire qui n’a pas été tout à fait bien réussi c’est le premier en fait pour écrire le nombre correspondant aux écritures. Donc là on a les décompositions et après il fallait retrouver le nombre entier.

ines 3 centaines 9 unités, 2 unités 14 dizaines 5 milliers, 24

: extrait d’un exercice proposé entre deux séances observées (S2 et S3)

il fait travailler les recompositions avec les EUN, ce qui n’est pas ce qui se faisait dans paquet de ») comme

il pourrait nécessiter d’utiliser les relations entre les unités de la numération (principe décimal) car le nombre d'unités d’un certain ordre dépasse 9. En effet, pour le dernier cas par exemple la conversion de 15 centaines en 1 millier et 5 centaines est nécessaire pour déterminer le nombre de milliers (7 milliers + 1 milliers).

Lors de l’entretien qui a suivi la troisième séance, nous avons voulu revenir sur cet exercice. les enfants n’ont pas eu le temps de le faire et pour ceux qui l’ont fait, elle est passée les corriger individuellement. Il n’y a pas eu de phase collective sur cet exercice. Elle ajoute qu’il sera our le moment ce n’est pas le plus important. Cela peut être à rapprocher de ce que nous avions vu dans la situation des craies pour les nombres à 4

Le deuxième exercice mettant en jeu les relations entre unités a été donné dans l’évaluation de fin de séquence. Lors du dernier entretien, nous sommes revenus avec Mme A sur cet uctions d’élèves comportant des erreurs :

: extrait du premier exercice de l’évaluation finale de deux élèves

exercice on va dire qui n’a pas été tout à fait bien réussi c’est le premier en fait pour écrire le nombre correspondant aux écritures. Donc là on a les décompositions et après

Ch : oui

E : c’est là où j’ai eu le plus d’erreurs dans le sens où j’avais fait exprès de mettre des nombres dans lesquels on n’avait pas forcément le ++ euh ++ oh la la je perds mes mots ! + Enfin les unités de mille, les centaines, les dizaines et les unités enfin dans l’ordre. On n’avait pas forcément l’ordre à chaque fois qui était imposé. J’avais inversé parfois, j’avais d’abord mis le nombre de centaines et le nombre de milliers ou alors j’avais pas mis de centaines ou voilà + Et là c’est là où ils se sont trompés en général, enfin y’en a une partie, on va dire la moitié, se sont trompés dans ces cas-là. Ils ne font pas attention, de suite ils écrivent le nombre par rapport à ce qui est écrit dans l’ordre en fait.

On peut donc remarquer que l’attention de l’enseignante se porte uniquement sur l’ordre de présentation des unités. Elle ne parle pas du fait d’avoir un nombre à deux chiffres à certains ordres d’unités ce qui met en jeu relations entre unités et qui est, selon nous, à l’origine des principales difficultés rencontrées par les élèves. Du coup les erreurs des élèves sont ramenées à des fautes d’inattention.

On peut aussi noter à cette occasion une difficulté à parler des unités de la numération (« oh la la je perds mes mots » dans la première citation) : cela pourrait être lié à un manque de vocabulaire générique (unités de numération) institutionnellement reconnu (dans les programmes ou manuels) pour les évoquer et/ou une conséquence de l’utilisation privilégiée des EPD dans l’institution actuelle.

Au cours de l’entretien nous avons cherché ensuite à faire un parallèle avec le travail qu’elle avait effectué sur les nombres à trois chiffres où justement les conversions étaient en jeu à travers le type de tâches « nombre de » qui était travaillé dans la situation « les craies » que nous avons déjà évoquée lors de l’analyse d’ERMEL) :

Ch : j’ai repris un petit peu tout ce que tu avais fait et dans ce que j’ai vu sur les nombres à quatre chiffres tu as moins fait ce travail finalement qui correspond aux nombres qui sont là, où y’a des échanges à faire entre les dizaines et les centaines ou entre les centaines et les milliers finalement.

E : Oui, oui. Oui, là j’ai moins travaillé les échanges, oui c’est vrai. Non là j’étais plus dans la décomposition pure on va dire et puis dans la comparaison. Donc après là c’est peut-être un point qu’on va davantage approfondir sur la période suivante. Utiliser plus les échanges. On a aussi la monnaie. Donc c’est vrai qu’on va peut-être utiliser la monnaie pour voir des échanges supplémentaires.

Il nous semble que l’on peut voir ici une forte influence du manuel utilisé par la maîtresse (ERMEL CE2) dans ses choix globaux de programmation des apprentissages sur l’année. En effet dans ERMEL, la première situation de l’année sur la numération est le problème des craies (cité ci-dessus). Les auteurs choisissent de travailler sur des problèmes du type « nombre de » qui sont donc susceptibles de faire faire des groupements. Ils utilisent alors des nombres à quatre chiffres dès cette première situation et le principe décimal y a sa place, même si on n’en trouve pas de trace dans la description de la situation (ce qui peut jouer un rôle dans la compréhension par l’enseignant de ce qu’est ce savoir). Mais Mme A, même si elle a utilisé cette situation, a choisi de ne pas introduire dès le début d’année de nombre à quatre chiffres. Elle a commencé par faire des révisions sur les nombres à trois chiffres (c’est une pratique courante). Cependant, on peut voir qu’au moment de revenir sur les nombres à quatre chiffres, en deuxième période de l’année, elle utilise la situation proposée par le manuel à ce moment-là, sans prendre en compte le fait que dans la progression du manuel, le type de tâches nombre de et donc éventuellement le principe décimal pour les nombres à quatre chiffres avaient déjà été travaillés.

Mme A montre quelques signes d’hésitation quand elle parle du travail de numération qu’elle fera par la suite (fin d’année) : on note l’utilisation à deux reprises de « peut-être ». Ces hésitations peuvent faire penser qu’elle ne maîtrise pas complètement sa propre progression sur la numération. Elle semble en fait faire référence au travail proposé par ERMEL sur la monnaie qui a lieu à la dernière période de l’année. Dans les activités proposées par cet ouvrage, il y a bien un travail proposé sur les équivalences en lien avec la numération. Il s’agit de comprendre les équivalences entre 1 euro et 100 centimes et ensuite entre les différentes pièces de 10 centimes, 20 centimes, etc. Cependant aucun nombre à quatre chiffres n’apparaît dans les activités proposées. Mme A va-t-elle prendre l’initiative d’inclure ces nombres ?

Il semble que le projet global de Mme A soit piloté par ERMEL mais que les modifications qu’elle y apporte créent des trous dans l’organisation mathématique prévue par les auteurs. L’enseignante n’est pas à même de les combler, par manque de vigilance épistémologique, phénomène déjà relevé par Margolinas et Wozniak (2010) pour d’autres savoirs. Les contenus des programmes ne sont pas une aide pour l’enseignante sur ce point.

III. L’OM enseignée dans la classe de M. B

III.1 Le projet de M. B, l’OM de la numération

Rappelons que M. B dit ne pas utiliser de manuels, même s’il a utilisé auparavant J’apprends

les maths et Cap Maths. Il construit ses propres fiches de travail pour les élèves. Il indique

s’être appuyé sur ERMEL pour la construction de certaines de ces fiches. Les entretiens avec l’enseignant nous montrent que l’OM locale est pilotée par la rencontre avec les différents types de tâches extraits des programmes 2002 (c’est cette liste de types de tâches qui constitue sa programmation du travail sur la numération pour l’année). Seul le principe de position de la numération est en jeu dans sa séquence et il est amené par les décompositions/recompositions.

Figure 59 : OM de la numération du projet global de M. B

M.B ne propose pas de types de tâches relevant de l’OMcard, même si les ouvrages qu’il a utilisés auparavant proposent des dénombrements de collections par exemple. Ce sont les traductions d’écritures qui permettent d’amener le principe de position. On observe une centration, lors des trois premières séances, sur les deux types de tâches décomposer/ recomposer (pas toujours de manière canonique) et avancer/reculer (T_AR). Écrire et nommer (T_Tec/n et T_Tn/ec) est principalement utilisé pour communiquer à l’oral. Le principe décimal de la numération n’est pas un enjeu pour l’enseignant comme nous le verrons dans l’analyse de la séance 1. Il favorise des techniques pour lesquelles le recours à cet élément technologique n’est pas nécessaire : comptage en unités simples et utilisation « mécanique » du compteur (c'est-à-dire que les changements d’unités ne sont pas justifiés par les savoirs de la numération). Lors des séances suivantes, le travail est davantage centré sur l’aspect

Décomposer/ recomposer Écrire/ nommer Avancer/ reculer Comparer (et ranger, …) Principe de position

algorithmique de la suite des nombres, en s’appuyant sur un compteur, ainsi que l’aspect ordinal. Les types de tâches travaillés sont alors : avancer/reculer et encadrer/ranger.

La formulation des techniques a une place importante dans les phases collectives, mais les techniques restent faibles (non justifiées).

Concernant les ostensifs, les unités de la numération sont utilisées pour les décompositions et recompositions dans des nombres en unités comme par exemple « 12c 11d 2u ». Lors d’un entretien M. B explique que c’est un de ses collègues, maître formateur, qui utilise ce type d’écritures dans sa classe et avec les professeurs des écoles stagiaires. Il précise également l’influence du guide ERMEL dans ce choix (qui est également utilisé par le maître formateur cité). Les EAC et EPDC sont aussi utilisés pour les décompositions et recompositions, notamment lors de l’évaluation (ce qui témoigne de l’influence des contraintes institutionnelles).

Les unités de numération servent aussi à désigner le nom des rangs dans le nombre en chiffres. La relation entre les unités et le rang dans l’EC (le principe de position) est donnée par l’écriture de m, c, d, u au-dessous du nombre, ce qui revient à utiliser un tableau de numération. Dans la séance 1 quand les élèves commencent à écrire 12c 8d 1u en chiffres, l’enseignant signale : « en fait dans les nombres qu’on est en train de chercher là, on a mille, centaine, dizaine, unité ». C’est tout ce qui sera dit dans la classe sur le principe de position dans les séances observées. Nous n’avons rien relevé concernant le rôle du zéro : il ne fait