Les grands principes méthodologiques

Le problème de départ

Il est courant dans la recherche-développement de partir d’un problème qui se pose dans la pratique (et pas d’une question théorique de recherche). Notre méthodologie ne consiste pas à chercher un problème qui se pose aux praticiens à partir de ce qu’ils pourraient nous en dire mais à partir d’une difficulté d’enseignement et d’apprentissage repérée par la recherche : un déficit semble exister dans l’enseignement actuel concernant l’aspect décimal de la numération, déficit qui pourrait expliquer les difficultés résistantes des élèves.

Ce problème émerge donc de l’étude faite dans la première partie (qui s’appuie entre autres sur des analyses de manuels, de déroulements en classe, d’évaluations d’élèves …). Le travail avec les enseignants au cours de l’ingénierie peut permettre à la fois de préciser l’étude de la transposition didactique et de faire émerger des problèmes qui se posent aux praticiens, en lien avec d’autres aspects non perçus dans la première étude. Il faut essayer de concilier les deux points de vue, celui du chercheur et celui de l’enseignant.

Des points d’appui théoriques sur la numération

Nous nous appuyons sur la construction théorique présentée dans le chapitre 1 qui met en évidence la numération en unités comme un ostensif essentiel.

La recherche de la situation fondamentale de la numération a montré des mises en fonctionnement des savoirs de numération sur lesquels nous allons nous appuyer pour concevoir un canevas didactique⁸⁴. Nous allons donc essayer de réaliser une « importation » (Bloch, 2005) de la SF dans l’enseignement ordinaire du CE2, c’est-a-dire de décliner la situation fondamentale en une suite de situations à « mettre en scène » dans les classes (Bessot, 2011). En retour, ce travail théorique peut aussi être enrichi par l’expérimentation. Bloch (2005) précise que cette mise en scène n’est pas unique (tout comme une SF d’un savoir n’est pas unique) et que les choix dépendent « des priorités en matière de connaissances visées, de savoirs à institutionnaliser, et des contraintes des niveaux institutionnels où l'importation est envisagée ». Notre étude de l’enseignement actuel de la numération au CE2 (Partie I) est donc un point d’appui important pour les choix de mise en scène de la SF.

Enfin, Bloch signale que dans cette mise en scène la question de « l'a-didacticité inhérente à la situation fondamentale – puisque celle-ci est une construction entièrement épistémologique – ne pourra parfois être conservée que partiellement » (p.54).

84 Voici comment est définie la notion de canevas, dans le domaine du théâtre, dans Wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Canevas_(th%C3%A9%C3%A2tre) (consulté le 22/10/2012) :

« Le canevas est un synopsis général schématisant les lignes principales du scénario. Habituellement mémorisé, souvent consigné par écrit (mais pas toujours), le canevas précise nettement chacune des phases narratives du déroulement du spectacle sans entrer dans le détail méticuleux du jeu, des déplacements des acteurs ou du contenu textuel des répliques. Tout en suivant les étapes du canevas, les acteurs sont donc chargés d'en meubler l'action par leur jeu effectif, par leur texte semi-improvisé et par les lazzis. Le jeu varie donc à chaque représentation tandis que le canevas demeure stable. »

Un processus cyclique

Nous prévoyons une méthodologie par cycles. Il est en effet essentiel de réaliser des allers-retours entre phases de conception de la ressource et phases de mise à l’épreuve de la pratique pour les deux niveaux de l’ingénierie. Au premier niveau, cela passe par :

« des contrôles de pertinence et de consistance, et donc un choix de variables, de valeurs de ces variables, et une analyse de consistance a posteriori, de telle sorte qu'on soit sûr d'avoir approché le concept mathématique visé » (Bloch, p.59).

Au deuxième niveau cela doit permettre de déterminer des conditions pour que la ressource soit adaptée à une utilisation par des enseignants ordinaires. Il est également nécessaire de travailler avec plusieurs enseignants pour pouvoir comparer les usages de la ressource dans différents contextes⁸⁵.

La collaboration entre chercheur et enseignants

Nous pouvons nous appuyer sur l’expérience acquise, dans cette collaboration entre chercheurs et enseignants, par Brousseau et son équipe avec le dispositif du COREM⁸⁶ (Brousseau 2008). Selon Brousseau,

« Organiser des observations conduit à fondre dans un même système, deux sous-systèmes aux buts et aux moyens très différents, parfois opposés ou contradictoires : le dispositif d’enseignement et le dispositif d’observation de l’enseignement. Le meilleur appariement sera celui qui permettra le meilleur fonctionnement autonome de chacun des deux sous-systèmes, avec seulement les interactions nécessaires à l’observation » (p.6).

Ainsi nous définissons clairement un contrat d’expérimentation avec les enseignants pour répartir les responsabilités entre enseignant et chercheur. Il sera, en particulier, précisé que c’est le fonctionnement de la classe qui prime sur la recherche.

L’observation dans des classes ordinaires, en dehors de tout dispositif de recherche comme le COREM, amène à prendre en compte d’autres aspects de la collaboration entre chercheur et enseignants. Il faut, par exemple, trouver des enseignants volontaires pour participer à l’expérimentation. Le fait de proposer aux enseignants une ressource favorise ce volontariat car cela est ressenti comme une véritable collaboration. Il faut tenir compte de certaines

85Voici ce qu’en dit Akker (1999) :

“Interaction with practitioners is needed to gradually clarify both the problem at stake and the characteristics of its potential solution. An iterative process of 'successive approximation' or 'evolutionary prototyping' of the 'ideal' intervention is desirable. Direct application of theory is not sufficient to solve those complicated problems. […] Another reason for cooperation is that without involvement of practitioners it is impossible to gain clear insight in potential implementation problems and to generate measures to reduce those problems. New interventions, however imaginative their design, require continuous anticipation at implementation issues. Not only for 'social' reasons (to build commitment and ownership of users) but also for 'technical' benefits: to improve their fitness for survival in real life contexts. Therefore, rigorous testing of practicality is a conditio sine qua non in development research.”

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COREM : Centre d’Observation et de Recherches sur l’Enseignement des Mathématiques. Ce centre fonctionnait selon certains principes : « une institution spécifique, la séparation des fonctions, la priorité à l’enseignement, la limitation des influences réciproques des observateurs et des observés, la segmentation des tâches et la coopération, la neutralité pédagogique, l’équilibre des pouvoirs, la limitation et la banalisation des rapports avec l’environnement etc. »

contraintes des enseignants, en particulier celle du temps : temps de préparation, temps à passer sur ce chapitre, temps pour les entretiens individuels … De plus, les enseignants du COREM ont une formation mathématique et didactique (ils sont donc familiarisés avec les concepts théoriques de la TSD) et participent à des observations de leurs collègues, travaillent en équipe (3 enseignants pour 2 classes), etc. Cela n’est pas le cas des enseignants avec qui nous travaillons : nous travaillons avec des enseignants de CE2 qui sont dans des conditions tout à fait ordinaires, sans aucune formation ou responsabilité particulière en mathématiques. En effet, l’étude d’Arditi (2011) sur les usages des manuels montre que ces enseignants s’approprient moins facilement les enjeux des activités proposées. Les questions de diffusion se posent donc davantage pour eux. Pour ne pas provoquer d’interférences avec les questions spécifiques liées aux pratiques des enseignants débutants, nous choisissons de travailler avec des enseignants non débutants c'est-à-dire ayant au moins cinq années d’expérience.

Nous allons maintenant passer à la méthodologie d’étude des usages de la ressource.

III.2 L’analyse des usages de la ressource par les enseignants

Les échelles prises en compte pour la conception et l’analyse

Aux niveaux d’organisation mathématique ponctuelle et locale (Chevallard 1999), nous associons les niveaux de situation didactique et de séquence. Les mots situation et séquence peuvent donner lieux à deux interprétations différentes : comme objet destiné à être mis en œuvre en classe (à usage didactique) ou bien comme sa réalisation effective en classe⁸⁷. C’est ce qu’explique Brousseau (2000) pour le terme de situation didactique :

« Le terme "situation didactique", a de fait aujourd'hui au moins deux sens :

i) Au sens classique c’est une situation à usage didactique, qui sert à enseigner, (comme un problème ou un exercice), que cette situation soit douée de vertus didactiques autonomes ou que le professeur soit obligé d’intervenir pour qu’elle produise son effet ;

ii) C’est une situation qui décrit l'environnement didactique d'un élève, elle comprend tout ce qui concourt à lui enseigner intentionnellement quelque chose. En ce sens elle comprend l’enseignant, qu’il se manifeste ou non pendant le déroulement de la situation » (p.15). Nous utiliserons ces deux sens. Le premier dans le cadre du travail sur la situation telle qu’elle sera proposée dans la ressource (donc pour l’analyse a priori) et le second quand il s’agira de décrire la situation effectivement mise en œuvre dans la classe. Si nécessaire nous préciserons situation à usage didactique pour le premier cas et situation didactique pour le deuxième.

Il en est de même pour le terme séquence qui peut désigner à la fois une séquence proposée dans une ressource, donc à usage didactique ou bien la réalisation effective d’une suite de situations par un enseignant avec ses élèves. Cependant, nous parlerons de séquence uniquement dans le deuxième cas. Dans le premier nous préférons utiliser le terme de

canevas didactique. Nous considérons que la ressource propose une suite de situations qui

s’enchaînent selon un certain canevas, à partir duquel l’enseignant construit une séquence et la met en œuvre dans sa classe.

87 De même ingénierie didactique fait souvent référence à la fois à la méthodologie de recherche et à sa réalisation en classe, voire au produit de l’ingénierie lui-même : curriculum, ensemble de situations etc.

Nous avons limité nos interventions à quelques séances, qui correspondent à une grande partie du chapitre « numération » des manuels de CE2 (nous avons exclu le travail sur l’ordre des nombres). Ainsi les questions d’articulation avec d’autres domaines et plus généralement d’organisation d’une programmation annuelle seront peu présentes dans notre travail. Ce sont plutôt des questions d’intégration des situations proposées dans ce que font habituellement les enseignants qui vont se poser. Ce travail peut toutefois avoir des effets sur l’enseignement d’autres thèmes comme celui du calcul ou des grandeurs du système métriques mais nous ne nous donnerons pas les moyens de les étudier (pour limiter notre champ d’étude).

Les niveaux d’activité de l’enseignant, les analyses a priori, a posteriori

Ces niveaux d’organisations didactiques (situation et séquence) se retrouvent dans les niveaux d’activité de l’enseignant de Margolinas (2002) déjà évoqués au chapitre 4. Nous ne prenons donc pas en compte le niveau de projet global (sans nous interdire de l’évoquer si besoin).

A la différence de la première partie, nous considérons maintenant ce modèle en lien avec l’usage d’une ressource proposée aux enseignants. En effet, ce que nous souhaitons étudier ce sont les adaptations, les modifications faites par l’enseignant à partir de cette ressource, c'est-à-dire son usage. Ainsi nous nous intéressons aux pratiques des enseignants à travers leurs usages de la ressource.

Ainsi le projet de l’enseignant pour la séance peut être approché en étudiant, à partir de la situation proposée dans la ressource (et son analyse a priori), le problème qu’il pose à ses élèves, son choix de variable didactique et de milieu. Cela doit permettre de retrouver l’enjeu tel qu’il est redéfini par l’enseignant (ce qu’il nous dit en entretien peut venir compléter utilement cette analyse). Il s’agit donc d’une reconstruction à partir de l’observation de la mise en œuvre dans la classe pour les enseignants que nous observerons (nous choisissons de travailler avec des enseignants que nous irons observer en classe pour certains et non pour d’autres).

Il y a donc deux analyses a priori : celle de la situation proposée dans la ressource, pour laquelle on essaie de tenir compte des différents usages possibles et celle du problème effectivement proposé par l’enseignant. La comparaison de ces deux analyses a priori permet de mettre en évidence les adaptations réalisées par les enseignants à partir de ce qui est proposé dans la ressource.

Pour le niveau didactique, l’analyse du déroulement effectif en classe (analyse a posteriori) prend appui sur la situation redéfinie par l’enseignant et permet de mettre en évidence les choix réalisés par les enseignants pour la dévolution et la régulation de la situation ainsi que l’institutionnalisation des savoirs en jeu.

Nous étudions les situations selon les trois dialectiques de l’action, de la formulation et de la validation. Les situations proposées sont en général des situations d’action. Mais il peut y avoir un enjeu de formulation et/ou de validation. L’enseignant peut alors organiser des

phases⁸⁸ de formulation et/ou de validation (Margolinas 1993). On peut se demander si la donnée d’une situation d’action suffit à l’enseignant pour organiser de telles phases

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Selon Margolinas (1993) : « Quand nous parlons de situation (a-didactique) de formulation, il s’agit de situations dans lesquelles le milieu (a-didactique) a été organisé de façon à contraindre l’élève à faire fonctionner sa connaissance pour produire des formulations. […] Quand nous parlons de phase de formulation, il s’agit d’un moment dans lequel sont effectivement advenues des formulations d’une connaissance en jeu dans l’interaction didactique. […] Des phases de formulation peuvent surgir dans la réalisation de situations d’action » (p.77-78). Il en est de même pour la distinction entre situation de validation et phase de validation.

lorsqu’elles sont utiles au processus ? Sur quels éléments du milieu/contrat s’appuie-t-il pour cela ? Les analyses a posteriori des situations doivent permettre de déterminer s’il y a bien eu un enjeu de formulation et/ou de validation à certains moments de la séance.

Enfin, concernant le projet des enseignants pour la séquence, nous en faisons une reconstruction a posteriori à partir de nos observations et des entretiens avec les enseignants. Il s’agit d’une étude plus sommaire dont l’objectif est de mettre en évidence l’OM construite (au moins pour les types de tâches proposés), les situations de la ressource utilisées et les ajouts d’exercices, d’évaluation, de traces écrites … effectués par les enseignants à partir du canevas didactique proposé.

Etude des éléments des situations à décrire dans la ressource

Il est prévisible que les mises en œuvre des situations proposées dans la ressource seront variées puisque les enseignants se les approprient en fonction de leurs connaissances, de leur contexte d’exercice, etc. Ce qui nous intéresse est de savoir ce qu’il faut proposer aux enseignants dans la ressource pour leur permettre, malgré tout, d’avoir une mise en œuvre préservant les enjeux prévus initialement. La question qui se pose alors n’est plus seulement celle de la consistance des situations elles-mêmes (qui concerne le premier niveau d’IDD) mais de la détermination de conditions pour que les situations proposées soient compatibles avec des pratiques différentes d’enseignement.

Cette question peut être approchée avec la notion de robustesse d’une situation définie par Assude (in Mercier et al., 2011) « par la « stabilité » des enjeux de savoir lors de sa mise en œuvre (à l’épreuve) dans des contextes très différents et avec des acteurs très divers ». Ainsi une « situation est robuste si elle résiste aux « perturbations » ».

Cependant, notre questionnement sur la diffusion des situations au deuxième niveau d’ingénierie nous amène à poser le problème différemment. Même si c’est bien la robustesse qui est visée in fine, ce qui est essentiel dans notre travail est de déterminer les éléments des situations qui peuvent permettre d’obtenir cette robustesse, car ce sont ces éléments qui seront centraux dans la diffusion de la situation aux enseignants. Voici comment Hersant (2011⁸⁹) explique cela : il s’agit, pour ce deuxième niveau, d’identifier

« les éléments des situations qui garantissent leur robustesse par rapport au savoir (quelles sont les variables qui doivent faire l’objet d’un contrôle serré de la part du chercheur ?) sans pour autant obliger l’enseignant à observer scrupuleusement le déroulement d’une situation (quelles sont les variables dont la détermination peut, et doit, être laissée à la charge de l’enseignant ?). Nous nommerons déterminants ces variables de la situation qui garantissent sa robustesse et permettent une « migration réussie » vers les classes ordinaires ; ces déterminants correspondent en quelque sorte aux conditions à respecter pour préserver l’essence de la situation.

Le terme déterminant pourrait laisser penser que la réalisation du déterminant seul permette d’atteindre les enjeux visés⁹⁰. Nous préférons utiliser l’expression condition

essentielle (qui n’est pas une condition suffisante).

Elle distingue des conditions sur le problème et des conditions sur la situation :

89 Dans le TD associé au cours de Perrin-Glorian (2011) sur l’ingénierie didactique de développement (école d’été de didactique des mathématiques de 2009).

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C’est d’ailleurs ce que Hersant (2011) dit ici : « il est certainement plus juste de dire qu’un déterminant est une condition qui contribue à préserver l’essence d’une situation car la réalisation d’une condition ne peut garantir cela. »

« Quand nous disons que les déterminants d’une situation sont des conditions à respecter pour préserver l’essence de la situation, cela sous-entend que certaines de ces conditions sont à tenir au cours du déroulement de la situation. C’est pourquoi, aux conditions initiales de la situation liées en particulier aux choix des variables du problème il faut ajouter des conditions associées au déroulement de la situation. »

Cependant Hersant ne s’est intéressée qu’aux conditions pour le processus de dévolution et elle pose la question de l’existence de déterminants associés également au processus d’institutionnalisation. D’ailleurs le texte du savoir proposé dans la ressource fait aussi l’objet d’un questionnement dans le cadre des questions liées à la ressource. Il constitue une aide pour l’enseignant pour l’institutionnalisation. Mais là aussi il faut distinguer, pour le processus d’institutionnalisation, les conditions sur le texte du savoir et les conditions sur le déroulement de la situation.

Ces questions sont aussi liées à celles de l’ergonomie de la ressource.

Etude de l’ergonomie de la ressource

Nous nous appuyons sur les concepts d’utilisabilité et d’acceptabilité (voir chapitre 5). L’objectif de développement d’une ressource dans l’enseignement ordinaire nous amène aussi à prendre en compte la façon dont les enseignants peuvent percevoir la ressource et du coup accepter, ou non, de l’utiliser en dehors du cadre d’une recherche. Cette perspective est en général absente des travaux de recherche en didactique des mathématiques (exception faite du travail de Georget 2010). Nous nous appuierons alors sur le concept d’acceptabilité (voir chapitre 5). Selon Tricot et al. (id.) l’acceptabilité conditionnerait la décision d’utilisation de la ressource. C’est bien en cela qu’elle est une dimension essentielle de notre questionnement. En appui sur Tricot et al. (id., p.394) on peut préciser différents aspects de l’acceptabilité en les adaptant au cas d’une ressource pour les enseignants. L’acceptabilité est alors considérée en termes d’adéquation aux :

- besoins ou objectifs de l’institution, en particulier à travers la compatibilité avec les programmes officiels. Notre étude préalable permet de prévoir cette compatibilité mais elle sera aussi confrontée à la façon dont les enseignants la perçoivent ;

- attentes des enseignants mais aussi des élèves telles qu’elles perçues sont par les enseignants ou effectivement observées dans la classe.

Elle est aussi considérée en termes de compatibilité avec l’organisation du temps (pour les séances, la séquence entière) et l’organisation de la classe (contraintes matérielles et de gestion du groupe).

Nous ne faisons pas une étude approfondie de ces questions, nous les utilisons simplement pour nous efforcer d’avoir une ressource utilisable et acceptée par les enseignants. Nous assumons donc notre vision « naïve » de l’ergonomie. Cela nous amène à faire une étude empirique. Ainsi, pour analyser l’utilisabilité et l’acceptabilité de la ressource, nous nous appuyons principalement sur des entretiens avec les enseignants. A partir de la comparaison