Les conditions précédentes étant fixées, une variable didactique essentielle pour mettre en jeu les savoirs de la numération est l’organisation des collections (organisation de la
collection de départ et organisation du stock à disposition pour réaliser la deuxième collection).
Organisation de la collection initiale de l’émetteur (actant A)
Les collections peuvent être en vrac ou totalement groupées (groupements successifs par dix totalement réalisés), mais étant donné la taille des nombres en jeu, pour une mise en œuvre des savoirs de la numération, il va être également essentiel d’utiliser des collections pour lesquelles les groupements ne sont pas finis (partiellement groupées). Cela se produit dans le cas de la réunion de plusieurs collections dont on veut produire une collection équipotente. Cela peut par exemple être le cas si des joueurs (ayant le rôle de l’actant A) se partagent une collection en vue de la dénombrer. En réunissant les groupements effectués, on se retrouve avec plus de dix unités à certains ordres. Nous considèrerons donc les trois cas suivants pour l’organisation de la collection initiale : en vrac, totalement groupée ou
partiellement groupée.
Si la collection initiale est totalement groupée, c’est alors le lien entre ces différents
groupements et la position des chiffres dans l’écriture qui est en jeu. En supposant par
exemple le code construit pour les nombres inférieurs à mille, c’est le lien entre le quatrième rang (à partir de la droite) et le groupement en dizaines de centaines qui permet de passer directement de la collection à l’écriture en chiffres. C’est le moyen le plus économique pour désigner la quantité quand la collection est totalement organisée.
Dans cette association il se peut qu’il existe un ou des groupements pour lesquels il n’y a aucune unité isolée, comme par exemple 3 milliers 5 unités. Si l’émetteur écrit 3 5, il y a plusieurs possibilités d’interprétations de cette écriture : 3 centaines 5 unités, 3 dizaines 5 unités, 3 milliers 5 dizaines, etc. Le récepteur produit la collection correspondante et la mise en correspondance des deux collections21 permet de pointer l’ambigüité du message et donc
la nécessité de marquer par un zéro l’absence de certaines unités22. La situation de communication apparaît alors comme essentielle pour mettre en jeu le principe d’unicité de l’écriture en chiffres (une écriture chiffrée ne désigne qu’un seul nombre).
Dans le cas des collections en vrac ou partiellement groupées, nous allons maintenant voir qu’une connaissance essentielle, pour l’émetteur (actant A), en lien avec le principe décimal est en jeu : avec les unités d’un certain ordre, il est possible de constituer des unités
d’ordres supérieurs (et ces unités se constituent toujours selon la même règle : dix unités
d’un certain ordre sont égales à une unité de l’ordre immédiatement supérieur).
Si la collection initiale est en vrac (aucun groupement réalisé), il peut alors être utile d’effectuer des groupements successifs par dix qui ne mettent en jeu que des comptages jusqu’à dix. Cela permet d’arrêter le comptage en cours de route pour le réaliser en plusieurs fois par exemple, et cela limite le risque d’erreurs liées à l’énumération d’une grande collection. Cela permet également, une fois tous les groupements réalisés, de se ramener au cas précédent (collection totalement groupée) qui fournit un moyen efficace d’associer la collection à l’écriture en chiffres.
Si les savoirs de la numération sont supposés connus pour les nombres à trois chiffres par exemple, c’est seulement la réalisation de la dizaine de centaines qui est en jeu pour
21 Dans ce cas, il est possible de faire une correspondance « groupe à groupe » pour réaliser la mise en relation des deux collections.
22
Si l’absence d’unités isolées concerne les unités simples ou les dizaines l’utilisation du chiffre 0 se fait en mobilisant les savoirs déjà construits sur les nombres inférieurs à mille. La question du chiffre 0 ne se pose donc véritablement ici que pour l’absence de centaines isolées.
terminer tous les groupements. Elle peut être faite par extension des principes de groupement des unités d’ordres inférieurs.
Dans le cas d’une collection partiellement groupée, qui est plus approprié à un travail avec de grandes collections, c’est aussi cette réalisation d’une dizaine de centaines qui est en jeu, puis le lien entre cette nouvelle unité et le quatrième rang de l’écriture en chiffres.
Des erreurs peuvent aussi intervenir pour la désignation en chiffres si l’émetteur ne réalise pas les groupements « jusqu’au bout ». Par exemple pour une collection de 3 milliers 12 centaines 5 unités, si l’émetteur écrit 3 12 5, il y a plusieurs possibilités d’interprétation de cette écriture : 3 milliers 1 centaine 2 dizaines 5 unités, ou 3 centaines 12 dizaines 5 unités. S’il écrit 3 12 0 5 cela peut aussi donner lieu à différentes interprétations en fonction de la taille des espaces entre chaque chiffre23 … Une fois que le récepteur a produit la collection correspondante, la mise en correspondance des deux collections permet de mettre en évidence l’ambigüité du message. Il apparaît alors nécessaire d’écrire un seul chiffre par
rang pour avoir une écriture non ambigüe24, ce qui implique alors de finir les groupements (dans cet exemple de centaines en milliers) afin d’avoir un nombre d’unités isolées de
chaque ordre au plus égal à 9.
Pour finir sur cette variable didactique, remarquons que dans le cas particulier où la collection comporte seulement des groupements en centaines (en nombre compris entre 1 et 99), c’est alors la juxtaposition de zéros qui est en jeu. En effet, si par exemple la collection comporte 32 groupements de cent éléments, le moyen le plus efficace pour déterminer l’écriture en chiffres consiste à écrire le 2 au rang des centaines. Il est alors nécessaire d’écrire des zéros aux rangs des dizaines et unités.
Nous allons maintenant nous intéresser au stock du récepteur.
Organisation du stock du récepteur (actant B)
Rappelons que le stock est constitué des objets à disposition du récepteur pour construire la collection équipotente à celle de l’émetteur. Etant donnée la taille des collections nous considérons uniquement le cas où des groupements sont déjà réalisés dans le stock.
Lorsque le récepteur récupère le message de l’émetteur (une écriture en chiffres), si le stock contient des groupements en nombre suffisant pour chaque unité, il peut prendre directement les groupements correspondants à l’écriture en chiffres (décodage de l’écriture en appui sur la relation entre le rang de l’écriture en chiffres et les différentes unités).
Afin de mettre en jeu les propriétés liées au principe décimal de la numération et amener
l’élève à utiliser des groupements d’ordre inférieur pour faire des unités d’un certain ordre
(par exemple utiliser des centaines pour faire des milliers), nous posons des contraintes sur
le stock. Par exemple le stock comporte des unités simples, des groupements en dizaines et
23 Dans un système de numération de type additif, le fait d’écrire un nombre d’unités supérieur à la base ne donne pas lieu à différentes interprétations possibles, puisque la position des différentes unités importe peu. Dans un système positionnel, la représentation des unités par la position rend essentielle la prise en compte de l’absence d’unités à certains ordres et d’écriture d’un nombre inférieur au plus égal à neuf d’unités pour des raisons d’unicité de l’écriture.
24
Dans un système de numération chaque nombre n’a qu’une seule écriture (ou qu’un seul nom) selon le principe de non redondance (Mounier 2010) : « L’élaboration des définitions des types de numération se fonde en particulier sur les principes d’exhaustivité (tous les entiers doivent pouvoir avoir un nom), de non redondance (un entier n’a qu’un seul nom) et de non ambiguïté (un nom ne désigne qu’un seul nombre) auxquels doit se conformer a minima une numération » (p.71,72).
en centaines mais pas de groupements en milliers. Ainsi pour construire une collection ayant pour cardinal le nombre à quatre chiffres écrit par l’émetteur, le récepteur doit construire des milliers avec les unités d’ordres inférieurs (par exemple avec les centaines, s’il y en a assez, voire avec les dizaines ou les unités). Cela met donc en jeu les relations entre le millier et ces unités (1 millier = 10 centaines, 1 milliers = 100 dizaines, 1 millier = 1000 unités).
D’autres conditions sont possibles, comme par exemple, un seul millier, ou pas de centaine, etc. Pour mettre en jeu les relations entre le millier et les unités d’ordres inférieurs, il faut qu’il y ait moins de milliers dans le stock que dans le nombre écrit en chiffres.
Concernant la contrainte d’absence d’un seul type d’unité (comme « pas de millier » ou plus précisément pas de groupement en milliers) dans le stock, c’est elle qui permet de mettre
en jeu la technique de troncature de l’écriture en chiffres. En effet le nombre de centaines
(ou de dizaines) peut se lire directement dans l’écriture en chiffres par troncature à la centaine (ou à la dizaine) de cette écriture. Par exemple pour une collection de 1234 éléments, la troncature à la centaine fournit directement le nombre de centaines (12) permettant de compenser l’absence de milliers dans le stock. En cas d’absence de milliers et de centaines c’est la troncature à la dizaine (123) qui est en jeu.
Des erreurs sont possibles pour le récepteur, en particulier la construction d’une collection ne tenant pas compte du nombre de milliers. Par exemple s’il n’y a pas de groupements en milliers disponibles dans le stock et qu’il faut construire une collection de 1234 éléments, l’actant peut ne prendre que 2 groupements en centaines, 3 groupements en dizaines et 4 éléments isolés. Sa connaissance de la numération pour les nombres inférieurs à mille lui apporte alors un moyen de contrôle. Sinon, la comparaison avec la collection initiale (de l’émetteur) peut aussi permettre de contrôler cette réponse.
Ainsi pour le récepteur (actant B) des connaissances essentielles pour le principe décimal sont en jeu. Tout d’abord dans une unité d’un certain ordre il y a des unités des ordres
inférieurs (donc dans les milliers il y a des centaines, dizaines et unités). Cela se traduit au
niveau de l’écriture en chiffres par le fait que le nombre de centaines d’un nombre à quatre
chiffres n’est pas seulement le nombre de centaines isolées : il y a des centaines dans les milliers. Il y a aussi des dizaines (et bien sûr des unités simples) dans les milliers. On peut lire leur nombre directement dans l’écriture en chiffres.
Le jeu sur cette contrainte du stock du marchand pour un même nombre peut aussi amener l’actant à comprendre qu’il existe différentes manières de construire des collections de même cardinal.