ANALYSE DES DONNÉES
3.2.5.2 L’intervention d’un directeur sur les pratiques des enseignants
A coluna de perfura¸c˜ao considerada neste trabalho foi modelada como um pˆendulo de tor¸c˜ao com dois graus de liberdade e com parˆametros concentrados (Canudas-de Wit et al., 2005a) como apresentado na Figura 2.9.
Figura 2.9: Modelo simplificado da coluna de perfura¸c˜ao.
As duas massas inerciais, Jr e Jb, representam respectivamente a mesa rotativa e a
broca, sendo localmente amortecidas por dr e db, e acopladas por uma haste el´astica
de constante k e amortecimento c. As vari´aveis ϕr e ϕb s˜ao a posi¸c˜ao angular da
mesa rotativa e da broca, respectivamente. O torque na broca, T oB = µu, representa o torque de fric¸c˜ao total sobre a broca, onde µ ´e o coeficiente de atrito total, cujo modelo matem´atico utilizado foi o de LuGre, e u ´e o peso aplicado sobre a broca, W oB. Finalmente, v ´e o torque de controle da velocidade angular de rota¸c˜ao da mesa rotativa5 e i ´e a raz˜ao entre as velocidades de rota¸c˜ao superior e inferior da coluna de
perfura¸c˜ao.
O sinal de controle v interfere na velocidade de rota¸c˜ao da mesa rotativa e pode ser utilizado um controlador PI para manter a velocidade constante, medindo a velocidade e atuando sobre o torque.
J´a o sinal de controle u que ´e o peso sobre a broca pode atuar medindo-se as oscila¸c˜oes da velocidade da mesa rotativa ou do torque aplicado sobre ela para atuar sobre o valor de WoB, onde o conjunto respons´avel por alterar o peso sobre a broca ´e o bloco de coroamento, catarina e gancho (Figura 2.1), e em geral essa atua¸c˜ao ´e feita manualmente atrav´es de uma alavanca conectada ao cabo ligado ao bloco de coroamento.
5A vari´avel ˙ϕ
r, velocidade da mesa rotativa, tamb´em ´e denominada ωrneste trabalho, e a vari´avel
˙
O espa¸co de estados em malha aberta (Canudas-de Wit et al., 2005b) do modelo da Figura 2.9 ´e apresentado abaixo.
˙x1 = 1ix2− x3 ˙x2 = −iJKrx1− (dr+c/i 2) Jr x2+ c iJrx3+ 1 Jrv ˙x3 = KJ bx1+ c iJbx2− c+db Jb x3− 1 Jbµu (2.1)
onde as vari´aveis de de estado s˜ao:
x1 = ϕir − ϕb x2 = ϕ˙r x3 = ϕ˙b (2.2)
O parˆametro µ da Equa¸c˜ao 2.1 refere-se `a for¸ca de atrito modelada pelo modelo de fric¸c˜ao de LuGre: µ = σ0z + σ1˙z ˙z = x3− |x3| g(x3)z σ0g(x3) = µc+ (µs− µc)e−(x3/vs) 2 (2.3)
Neste cap´ıtulo foi apresentado um resumo sobre a teoria de engenharia de per- fura¸c˜ao de po¸cos de petr´oleo, com uma breve introdu¸c˜ao hist´orica e uma descri¸c˜ao dos equipamentos que s˜ao utilizados atualmente nas opera¸c˜oes de perfura¸c˜ao. O modelo matem´atico da coluna de perfura¸c˜ao escolhido para ser utilizado nas simula¸c˜oes foi tamb´em apresentado neste cap´ıtulo, bem como o modelo de fric¸c˜ao de LuGre, o qual ser´a estudado no pr´oximo cap´ıtulo, que tem como objetivo expor a rela¸c˜ao entre a for¸ca de atrito e o stick-slip, gerando oscila¸c˜oes torcionais em sistemas mecˆanicos com atrito, como a coluna de perfura¸c˜ao apresentada neste trabalho.
Cap´ıtulo 3
Fric¸c˜ao e Stick-Slip
O movimento relativo entre corpos s´olidos com respeito `a ades˜ao ´e um processo desequilibrado (Awrejcewicz e Olejnik, 2005) no qual a energia cin´etica ´e transformada em energia de movimento microsc´opico irregular. Esse fenˆomeno est´a relacionado `a dissipa¸c˜ao de energia, devido ao atrito, levando conseq¨uentemente ao desgaste da ´area de contato entre os corpos.
A ocorrˆencia de atrito ´e comum sendo um tema extensivamente pesquisado, pois a maioria dos sistemas em engenharia s˜ao compostos por um certo n´umero de interfaces entre superf´ıcies. Assim, faz-se necess´ario ter algum conhecimento b´asico sobre tribo- logia (Altpeter, 1999), a ciˆencia que estuda duas superf´ıcies em movimento relativo interagindo entre si.
3.1
Tribologia
Como o fenˆomeno do atrito est´a relacionado com o contato durante movimento entre superf´ıcies, torna-se importante analisar, como um primeiro passo, a natureza das superf´ıcies de contato. A observa¸c˜ao mais importante ´e o fato que numa escala microsc´opica as superf´ıcies se parecem com uma combina¸c˜ao de montanhas e vales, como ´e mostrado na Figura 3.1. Logo, quando duas superf´ıcies s˜ao pressionadas uma contra a outra, elas est˜ao em contato somente em pontos espec´ıficos e a ´area real de contato ´e bem menor que a ´area aparente. Isso implica no fato que o atrito ´e na verdade resultado da soma do comportamento de v´arios pontos de contato.
Figura 3.1: Exemplo de escala microsc´opica de superf´ıcie (Altpeter, 1999).
3.1.1
Leis Cl´assicas de Fric¸c˜ao
O estudo da dinˆamica de sistemas mecˆanicos com atrito ´e antigo. Foi Leonardo da Vinci que concluiu que o coeficiente de atrito n˜ao dependia da superf´ıcie de contato nominal (Awrejcewicz e Olejnik, 2005).
No final do s´eculo XVII, Amontons formulou uma lei de fric¸c˜ao, baseada em ob- serva¸c˜oes, que dizia que a for¸ca de atrito era proporcional `a for¸ca normal perpendicular `
a superf´ıcie de contato, com coeficiente de proporcionalidade adimensional e indepen- dente da carga.
Hoje sabemos que o coeficiente de atrito depende da carga, bem como de proprie- dades mecˆanicas, geom´etricas e qu´ımicas das superf´ıcies.
A teoria de Amontons que refere-se a lei cl´assica de fric¸c˜ao foi expandida por Cou- lomb no s´eculo XVIII, que acrescentou um termo de corre¸c˜ao `a f´ormula de Amontons, permitindo inserir a dependˆencia da for¸ca de atrito com rela¸c˜ao a for¸cas moleculares de rea¸c˜ao nas superf´ıcies de contato.
O estudo anal´ıtico desenvolvido por Den Hartog (1931 apud Yong e Feng, 2004), que estudou a resposta em regime permanente de um oscilador mecˆanico que com- binava fric¸c˜ao de Coulomb e amortecimento viscoso, mostrou claramente a natureza n˜ao-linear dos sistemas dinˆamicos na presen¸ca de atrito, manifestada na perda de proporcionalidade no comportamento entrada-sa´ıda. Outros fenˆomenos dinˆamicos im- portantes envolvendo atrito incluem vibra¸c˜oes auto-sustentadas e o fenˆomeno stick-slip.
Por causa da complexidade subjacente `as propriedades qu´ımica e f´ısica existentes entre duas superf´ıcies de contato, a modelagem de modelos de fric¸c˜ao precisos ´e uma ´area ativa de pesquisa (Martins et al., 1990; Rice et al., 2001).
Uma vez que o atrito envolve duas superf´ıcies s´olidas deslizando entre si, a for¸ca de atrito ´e afetada por muitos fatores como tamanho e material das superf´ıcies de contato, suas rugosidades, seus n´ıveis de tens˜ao, velocidade de escorregamento, temperatura, condi¸c˜oes de lubrifica¸c˜ao, propriedades dos lubrificantes, etc. Al´em disso, o atrito ´e em geral acompanhado pelo desgaste e eros˜ao.
O modelo de fric¸c˜ao de Coulomb talvez seja o modelo mais simples de fric¸c˜ao que faz distin¸c˜ao entre os coeficientes de atrito est´atico e dinˆamico. A natureza descont´ınua do modelo de fric¸c˜ao de Coulomb faz com que seja extremamente dif´ıcil simular a dinˆamica dos sistemas mecˆanicos quando ocorre o stick-slip intermitente entre duas superf´ıcies. Conseq¨uentemente, para estudos dinˆamicos, o modelo de atrito deve incluir no m´ınimo sua dependˆencia com a velocidade.
Segundo Yong e Feng (2004), diferente da maioria dos modelos de fric¸c˜ao, o modelo de LuGre ´e capaz de simultaneamente modelar a auto-excita¸c˜ao e predizer o stick-slip a velocidades extremamente baixas de escorregamento.