7 l’extrapolation des données

Afin d’atteindre cet objectif, il a été décidé de réaménager les équations de base des turbomachines et d’iden-tifier les développements potentiellement utilisables pour enrichir les fonctions mathématiques à paramétrer.

3.1 Courbes caractéristiques des turbomachines.

Il est possible de construire les courbes caractéristiques des turbomachines par le développement de leurs équations thermodynamiques. Un exemple d’un tel développement a été proposé par Pluviose concernant les turbomachines axiales [106]. Il a été proposé dans la thèse d’adapter ce développement au cas des turboma-chines radiales :

Compresseur : On définit en premier lieu les notations adoptées, en se référant à la figure 4.4 : U est la vitesse tangentielle des pales, V est la vitesse absolue du fluide en sortie du rotor, W est cette même vitesse, mais exprimée dans le repère tournant lié au rotor. A partir de ces vitesses, on définit les triangles de vitesses caractéristique du compresseur centrifuge. Les indices ’2’ se réfèrent aux quantités en sorties du rotor, alors que les indices ’1’ concernant les quantités en entrée du rotor. Les anglesβ₁ etβ₂ sont les angles géométriques des pales en entrée et en sortie du rotor. On rappelle à présent l’équation d’Euler, qui exprime le changement d’enthalpieh au travers du compresseur :

∆h_comp=U₂V_θ2−U₁V_θ1

Il est possible de construire les courbes caractéristiques des turbomachines en développant leurs équations thermodynamiques. Dans le cas des pompes (fluides incompressibles), il est possible d’exprimer des coeffi-cients de similitude appelés coefficoeffi-cients de Rateau. Deux de ces coefficoeffi-cients sont adaptés au cas de fluides compressibles : le coefficient de débitδ et le coefficient de pouvoir manométriqueµ_th. Un exemple de ce dé-veloppement a été produit par Pluviose [106] pour les turbomachines axiales. Il est proposé ici d’adapter ce développement dans le cas de machines à flux radial. Dans le cas du compresseur, ces coefficients s’écrivent : δ = ^V_U^r2

2 and µ_th = ^U2Vθ2_U^−U2 ^1Vθ1 2

. Le pouvoir manométrique est un paramètre adimensionel relié à l’échange d’enthalpie à travers le compresseur. Le coefficient de débit exprime de manière adimensionelle la vitesse du fluide en sortie du compresseur. Nous allons montrer qu’il est possible d’exprimer le pouvoir manométrique d’un compresseur radial comme une fonction linéaire du coefficient de débit. Le développement mathématique permettant d’accéder à cette relation linéaire est exprimé par les équations 6.2 à 6.4, qui sont redéveloppées ci-dessous.

A partir de l’équation d’Euler, on écrit :

U₂².µ_th= ∆h=U₂V_θ2−U₁V_θ1

Dans notre cas, on considère que le flux est irrotationnel en amont du compresseur, ce qui est cohérent avec les conditions réelles (V_θ1= 0). En utilisant le triangle des vitesses, on obtient queV_θ2 =U₂−V_r2.cotan(β₂), ce qui permet d’aboutir aux expressions suivantes :

∆h=U₂²−U₂V_r2cotan(β₂)

∆h

U₂² = 1−^V_U^r2

2 cotan(β₂) µ_th= 1−δ.cotan(β₂)

On s’aperçoit que dans le système de coordonnéesδ,µ_th, la courbe caractéristique du compresseur radial est une droite de pente négative, d’ordonnée à l’origine 1. La pente théorique de la droite ne dépend que de l’angle géométrique fixeβ₂. Cette évolution est tracée sur la figure 6.2.

Turbine : Dans le cas de la turbine, il est également possible d’exprimer le pouvoir manométrique comme une fonction linéaire du coefficient de débit. Le développement mathématique permettant d’accéder à cette relation linéaire est exprimé par les équations 6.6 à 6.7, qui sont redéveloppées ci-dessous. L’équation d’Euler dans le cas de la turbine est également rappelée. Les indices ’3’ se réfèrent à l’état en amont de la turbine, et les indices ’4’ concernent l’aval.

∆h_turb =U₄V_θ4−U₃V_θ3

Dans le cas de la turbine, le coefficient de débit et le pouvoir manométrique sont exprimés tels que :δ= ^V_U^r3

3

andµ_th = ^U4Vθ4_U^−U2 ^3Vθ3

3 . En développant l’équation d’Euler’s equation et en considérant que l’écoulement est irrotationnel en aval de la turbine (V_θ4= 0), on obtient le développement suivant :

∆h=−U₃²+U₃V_r3cotan(β₃)

∆h

U₃² =−1 +^V_U^r3₃cotan(β₃) µ_th=−1 +δ.cotan(β₃)

La courbe caractéristique de la turbine radiale est une droite de pente positive d’ordonnée à l’origine -1.

Comme dans le cas du compresseur, la droite est tracée dans le système de coordonnéesδ,µ_th (Fig.6.3).

3.2 Transposition des droites caractéristiques dans les repères réduits des cartographies de turbocompresseurs.

D’après les développements précédents, il apparaît que l’expression de la variation d’enthalpie dans une turbomachine radiale dans un certain système de coordonnées permet d’identifier une variation linéaire. Il s’agit d’une propriété intéressante, car les expressions mathématiques sont adaptées aux traitements d’ex-trapolation. Il a été proposé dans la thèse de vérifier si cette propriété linéaire est conservée en utilisant les repères des cartographies de turbocompresseur. Afin de se conformer à la théorie des similitude, les données des cartographies sont généralement exprimées comme des fonctions d’un débit massique réduit. En utilisant l’expression du changement d’enthalpie au travers du compresseur et de la turbine, il été démontré que l’en-thalpie peut être exprimée comme une fonction linéaire du débit massique réduit. Ainsi, les cartographies turbocompresseurs peuvent être traitées afin de faire apparaître une relation linéaire entre le changement d’enthalpie aux travers des turbomachines et leur débit massique réduit. Les expressions correspondantes sont présentées en premier lieu pour le compresseur :

∆h

U₂² = 1−^Qm_ρ ^redC

2S2U2 cotan(β₂) qTref

T01

P01

Pref

Les tests de caractérisation des compresseurs sont réalisés pour des pression P₀₁ et des température T₀₁ amont constantes. De plus, l’angle des pales β₂ et la section de sortie du rotor S₂ sont constantes.

Finalement, en considérant que l’écoulement est observé immédiatement après la sortie du rotor, on peut considérer que le fluide a été accéléré mais pas comprimé, car il n’a pas encore pénétré le collecteur aval

II-9 (Heywood [61]). Par conséquent, on considère que ρ₂ =constante=ρ₁. En introduisant le terme constant K_C = ^cotan(β2)

qTref T01

P01 Pref

ρ2S2 , on fait apparaître le caractère linéaire de l’expression obtenue :

∆h

U₂² = 1−^Qm_U^redC

2 K_C

Un développement équivalent a été obtenu dans le cas de la turbine :

∆h

Dans le cas de la turbine, les tests de caractérisation sont pratiqués pour une température amont T₀₃ constante, mais pour des pressions amont P₀₃ différentes. Par conséquent, la densité du fluide en amont de l’écoulement varie d’un point de la cartographie à un autre, donc ρ₃ ne peut être considéré constant.

Cependant, on peut développer l’expression du débit massique à la turbine pour identifier un terme constant : ρ₃= _{R T}^P03₀₃

CommeT_ref,T₀₃ etP_ref sont fixés à des valeurs constantes lors des essais, il est possible d’introduire un terme constant tel que :K_T = R cotan(β3)√

Pour une vitesse de pale U₃ donnée, l’équation précédent permet d’obtenir une relation linéaire entre le changement d’enthalpie spécifique au travers de la turbine et son débit réduit.

Validation à partir de données expérimentales : Nous avons vu dans les sections précédentes qu’une re-lation linéaire pourrait être construit entre le changement d’enthalpie du fluide à travers les turbomachines et leur débit massique réduit. Afin de vérifier que cette relation est belle est bien vérifiée, des données car-tographiques ont été traitées afin de faire apparaître cette relation linéaire. Le turbocompresseur considéré équipe un moteur diesel à injection directe de 1,9 litres de cylindrée. Les résultats de ce traitement sont visibles sur la figure 6.4, où il apparaît que les évolutions linéaires sont vérifiées. Le principal résultat de cette validation est que l’expression linéaire de la variation d’enthalpie spécifique pourrait être intégrée à une technique d’extrapolation de données. La complexité sera accrue dans le cas de la turbine. En effet, il apparaît que la géométrie variable requiert une discrétisation des données supplémentaires en fonction de la position VGT.

3.3 Développement d’une méthode d’extrapolation des cartographies de turbocompresseurs basée sur les lois physiques des turbomachines.

La section suivante se concentre sur le développement d’une méthode d’extrapolation des cartographies de turbocompresseurs, réutilisant les éléments de courbes caractéristiques précédemment développés.

Traitement compresseur : Afin de construire des cartographies compresseur, il est nécessaire de connaître, pour un débit masse donnée, les valeurs du changement d’enthalpie spécifique∆het de l’enthalpie spécifique isentropique ∆h_is au travers du compresseur. D’après l’équation 6.14, on sait que l’évolution de l’enthalpie spécifiques peut être déterminée à partir d’une relation linéaire. Ces tendances linéaires sont très pratiques pour l’extrapolation des données. Toutefois, nous n’avons aucune indication quant à la forme de l’évolution du changement d’enthalpie isentropique.

Il a précédemment été démontré que l’évolution du changement d’enthalpie∆hen fonction du débit massique est linéaire. Il est donc possible de déterminer un ensemble de paramètresaetb, tels que :

∆h=a(N_turb)Qm+b(N_{T urb})

Les coefficients a et b sont déterminées au moyen de la méthode des moindres carrés à partir des données cartographiques. D’après les développement des courbes caractéristiques, ils ne dépendent que de la vitesse du rotorN_{T urb}. Afin de calculer les valeurs de∆hpour les valeurs de faible régime, il est nécessaire d’extrapoler les valeurs des coefficients a(N_turb) et b(N_{T urb}). b(N_{T urb}) est l’ordonnée à l’origine de ∆h pour chaque iso-vitesse. La valeur théorique de l’ordonnée à l’origine de∆h estU_C². Par conséquent, on peut écrire que :

b(N_turb)∼N_turb²

En ce qui concerne la pente de l’évolution linéaire de ∆h, il ressort des données des fournisseurs que a(N_{T urb}) tend à être constant en atteignant les faibles valeurs de régime de rotation. Par conséquent, les valeurs extrapolées de a(N_{T urb}) vers la région des faibles régimes atteindra une asymptote horizontale. On se référera à la figure 6.5 pour plus de précisions. Une fois que les valeurs de a(N_{T urb}) et de b(N_{T urb}) sont connues sur l’ensemble du champs d’opération du compresseur,∆h est entièrement déterminé.

Il est à présent nécessaire de déterminer le traitement pour ∆h_is. Comme aucune information n’est disponible quant à la forme de∆h_is en fonction du débit massique corrigé, il a été décidé d’utiliser une mé-thode de corrélation mathématique (’curve fitting’) afin d’apprendre l’évolution du changement d’enthalpie isentropique. On a vu durant l’étude bibliographique que Jensen et al. [69] ont mis au point une méthode d’ex-trapolation de champs compresseur intéressante. Cette méthode est basée sur la corrélation d’un paramètre sans dimensionψ, qui est le paramètre de tête du compresseur :

ψ=

Cp.Tamb

ó

P01 Pamb

´^γ−1_γ

−1

!

0.5U_c² with U_c= ₆₀^πd_cω_t

De par sa définition, le paramètre de tête est directement lié à la variation d’enthalpie spécifique isentro-pique :

∆h_is= (^³P_P⁰²₀₁^´

γ−1

γ −1)Cp T₀₁= 0.5ψ U_C²

II-11