11 Par conséquent, la méthode de Jensen, est théoriquement adaptée pour déterminer ∆h is à partir de

données cartographiques. Cependant, cette technique offre une précision médiocre pour les vitesses de rotation les plus élevées. Afin de corriger ce problème, une version modifiée de la méthode de Jensen a été mise en place : les données cartographiques du compresseur sont discrétisée en fonction de leur vitesse de rotation (Fig. 6.6). Une méthode d’apprentissage de Jensen est appliquée pour chaque zone discrétisée. Dans le cas où il existen_n courbes iso-vitesse sur la cartographies, on définitn_N jeux de coefficients de Jensen à corréler :

ψ_zone1i = ^k1i+k2i.M_k^{inli+k3i.φ+k4i.Minli.φ}

5i+k6i.M_inli−φ i= 1 :n_N

où φ est un paramètre de débit sans dimension et M_inl le nombre de Mach à l’entrée du compresseur.

Les paramètresk sont appris par méthode des moindre carrés d’après les données cartographiques.

φ= _ρ ^Qm

amb.^π₄.D²c.Uc M_inl= ^√_γRt^Uc

amb

Il est à présent nécessaire de déterminer le traitement pour extrapoler ∆h_is vers la zone des faibles ré-gimes de rotation. En effet, Moraal et al. [94] ont montré que le traitement de Jensen permet de préserver, en apparence, une évolution correcte des courbes de ψ dans la zone des faibles vitesses, mais aucune équation ou observation physique ne permet de s’assurer de la validité des données extrapolées. Afin de corriger cette situation, une méthode itérative a été développée.

A partir des données expérimentales, il a été constaté que le rendement isentropique maximum du com-presseur pour une vitesse de rotation donnée a une évolution quadratique en fonction de la vitesse de rotation de l’arbre. Cette tendance a été observée sur les compresseurs radiaux testés au cours de cette thèse. Un exemple de cette courbe et de son extrapolation est rapportée sur la Fig. 6.7. En partant de ce constat, il est possible de construire un schéma itératif afin d’assurer la validité physique de l’extrapolation de∆h_is :

1. Une première approximation de∆h_is est obtenue en utilisant le traitement discrétisé inspiré de Jensen.

Les coefficients de la première courbe iso-vitesse (k₁₁→k₆₁) sont utilisés dans la zone extrapolée.

2. En utilisant les valeurs extrapolées de a(N_{T urb}) et de b(N_{T urb}) dans la zone des faibles vitesses, la valeur de∆h est déterminée.

3. Connaissant∆h_iset∆h, il est possible de calculer le rendement isentropique correspondant :η_C = ^∆h_∆h^is. Le rendement par rapport au débit massique peut donc être construit dans la zone extrapolée.

4. Une fois ces évolutions construites, la valeur du rendement isentropique par iso-vitesse est calculé et comparé à la courbe quadratique ’rendement maximum fonction de la vitesse de rotation’. Si les résultats sont en accord, les valeurs de∆h_is sont considérées comme définitives. Dans le cas contraire, les valeurs de∆h_is sont modifiées jusqu’à ce que l’accord entre les rendements maximum et la courbe d’évolution théorique concordent. On se référera à la figure 6.7 pour plus de précisions.

Ce traitement assure la validité physique des données extrapolées à l’aide de la tendance du rendement maximal du compresseur. La spécificité de la méthode développée est qu’elle est basée sur la relation fon-damentale entre ∆h et ∆h_is, permettant de faire apparaître le rendement : η_C = ^∆h_∆h^is. On note que les méthodes d’apprentissage trouvées dans la littérature utilisent deux traitements distincts, un pour pour la cartographie de rapports de pression et un pour la cartographie du rendement [94], [69], [95], [58]. Par consé-quent, ces méthodes ne respectent pas nécessairement la définition du rendement isentropique.

Au final, le traitement proposé dans cette thèse suit la mise en œuvre suivante. Une fois que les valeurs de ∆h et de ∆h_is ont été calculés pour un débit massique corrigé, le rapport de pression et le rendement sont calculés de la manière suivante :

– Comme ∆h_is est connu, le rapport de pression peut être directement calculé en utilisant la relation suivante : ^P_P⁰²₀₁ = (1 +_CpT^∆his₀₁)^γ−1γ .

– Le rendement isentropique est également obtenu :η_C = ^∆h_∆h^is. Contrairement aux méthodes d’interpo-lation / extrapod’interpo-lation de la littérature, le rendement est naturellement dérivé de la connaissance des changements d’enthalpie isentropique et non-isentropique.

Traitement turbine :

Afin de construire les cartographies de données turbine, les valeurs du changement d’enthalpie spécifique

∆h et du changement d’enthalpie spécifique isentropique∆h_is doivent être connues pour un débit massique Qm_T donné. Comme dans le cas du compresseur, nous allons utiliser la relation linéaire entre∆h et le débit massique corrigéQm_redT pour construire l’extrapolation.

Dans un premier temps, on s’intéresse à la détermination de ∆h. Comme l’évolution de∆h en fonction du débit massique corrigée est linéaire (Eq. 6.23), il est donc possible de déterminer un ensemble de paramètres aetb, dépendant de la vitesse de rotationN_turb tels que :

∆h=a(N_turb)Qm_redT +b(N_turb)

Dans le cas où le rotor ne tourne pas, la puissance capturée par la turbine est nulle. Par conséquent, l’évolution de ∆h fonction de Qm_redT pour N_turb = 0 est une droite horizontale telle que : ∆h = 0. Par conséquent, aetbsont extrapolés vers la zone des faibles vitesses de rotation de telle manière quea(0) = 0 etb(0) = 0. Il faut également noter que dans le cas où la turbine est à géométrie variable, plusieurs jeux de coefficientsaetb devront être déterminés (un jeu par position VGT).

Afin de calculer l’évolution de∆h_is = (1−^³P_P⁰⁴₀₃^´

γ−1

γ Cp T₀₃en fonction du débit massique, il est nécessaire d’avoir une relation entre le taux de pression à travers la turbine ^P_P⁰⁴

03 et le débit massique corrigé Qm_redT. Une telle relation est fournie par la modélisation de la turbine comme un écoulement à travers un orifice.

Jensen et al. [69] ont, entre autres, démontré qu’une telle approche est bien adaptée à la modélisation de l’écoulement au travers d’une turbine. En outre, ce modèle tend naturellement vers 0 lorsque le taux de pression atteint 1. Par conséquent, l’approche de Jensen sera directement ré-utilisée ici. Les paramètres k_i sont déterminées au moyen d’un algorithme des moindres carrés.

Qm_redT =A_t r

2γ

γ−1[(^P_P⁰⁴₀₃)^2γ −(^P_P⁰⁴₀₃)^γ+1γ ] ^P_P⁰⁴₀₃ < _γ+1^{2 γ−1γ} Qm_redT =A_t

r

2γ

γ−1[(_γ+1² )^2γ −(_γ+1² )^γ+1γ ] ^P_P⁰⁴₀₃ > _γ+1^{2 γ−1γ} A_t= ^k1.Nturb1 ^+k2

P it

+k₃.N_turb+k₄

Une fois que la relation entre le rapport de pression et le débit massique ait été définie, il est possible d’exprimer l’évolution de ∆h_is en fonction de Qm_redT. Contrairement au cas du compresseur, il n’est pas nécessaire d’introduire un traitement spécifique pour extrapoler ∆h_is est de données vers les valeurs infé-rieures de régime de rotation. En effet, comme dit précédemment, le modèle d’écoulement au travers d’un orifice est basé sur une équation de la physique qui décrit bien le comportement de la turbine pour les faibles rapports de pression. Il est possible de synthétiser le traitement d’interpolation / extrapolation proposé pour la turbine de la façon suivante :

– Le rapport de pression fonction du débit massique est calculé directement en utilisant l’équation d’écou-lement au travers d’un orifice.

– En connaissant le rapport de pression, le changement d’enthalpie spécifique isentropique est calculé :

∆h_is= (1−(^P_P⁰⁴₀₃)^γ−1γ )Cp T₀₃.

II-13 – ∆h est déterminé à partir des extrapolations linéaires. Enfin, le rendement isentropique est calculé :

η_T = _∆h^∆h

is.

3.4 Résultats et validation des modèles développés

Applications des traitements sur des données cartographiques : Les résultats du traitement effectué sur trois turbocompresseurs différents utilisés sur les applications suivantes sont présentés : (1) moteur diesel de 2,0 L de cylindrée, (2) moteur diesel de 1,5 L de cylindrée et (3) moteur essence de 1,2 L de cylindrée. Les données fournies par la cartographie (étoiles) se superposent sur les extrapolations des résultats de calcul (lignes pleines). L’extrapolation est effectuée de façon à couvrir l’intégralité des plages de fonctionnement en débit et rapport de pression.. Une extrapolation à basse vitesse de rotation est également effectuée pour évaluer la robustesse de la méthode d’extrapolation. Il faut noter que turbine (1) est à géométrie variable, toutefois, pour plus de commodité et vu que cela n’a aucune influence sur la méthode de calcul, seuls les résultats à ouverture 50% sont indiqués.

Les résultats de la méthode développée précédemment sont comparés aux résultats de la méthode de Jensen. Cette comparaison n’est pas effectuée pour le débit massique de turbine car c’est la méthode de Jensen qui est utilisée dans les deux cas . D’après les résultats de la Fig. 6.10 à Fig. 6.12, on peut remarquer une forte amélioration de la précision du traitement du rapport de pression. Dans le même temps, l’extrapo-lation du rendement du compresseur a également été améliorée (Fig. 6.13 to Fig. 6.15). On peut noter que la partie gauche des caractéristiques du compresseur extrapolées sont purement théoriques, car un phénomène de pompage survient généralement pour les faibles débits. Cependant, il est possible de coupler un modèle de pompage. Un exemple de cette combinaison est indiquée sur la Fig. 6.20. Concernant l’évolution des rende-ments turbine, on s’aperçoit que leur forme est plus en accord avec les courbes de rendement expérimentales relevées sur la figure??que le traitement proposé par Jensen et al.

Validation du processus d’extrapolation par rapport à des données expérimentales : Les figures 6.21 and 6.22 montrent la comparaison entre les données mesurées sur le banc d’essai turbocompresseur (décrit pré-cédemment dans la thèse) et les résultats du modèle développé. Le banc d’essai turbocompresseur a permis de mesurer des point de fonctionnement aux faibles vitesses de rotation. Le modèle du compresseur est ap-pliquées à des données compresseur supérieure à 90 krpm, le modèle de turbine est appliquée aux données de plus de 35 krpm. Par conséquent, la partie inférieure de la plage de fonctionnement est entièrement ex-trapolée. Les résultats sont présentés pour une température de 773 K à l’entrée de la turbine. On notera que le rendement de la turbine atteint des valeurs supérieures à 1 ; ce phénomène est dû au processus d’échange de chaleur et sera expliqué dans le chapitre consacré à la modélisation des échanges thermiques.

On s’aperçoit que les résultats de l’extrapolation sont en bon accord avec les données expérimentales. Les valeurs calculées de rendement restent, sur la plupart des points, dans la zone de dispersion dûe aux capteurs.

Les résultats en termes de rapport de pression ou de débit massique sont également satisfaisants. Ces bons résultats obtenus en extrapolation montrent que les modèles développés sont précis et robustes. Néanmoins, il sera intéressant de tester notre approche sur d’autres turbocompresseurs que celui de l’étude.

4 Echanges thermiques au sein des turbocompresseurs