Les modèles temps réel des turbocompresseurs sont généralement basés sur des cartographies. Ces modèles sont faciles à mettre en place, nécessitent une faible charge CPU et sont compatibles avec un développement de lois de commande. Les données relatives au compresseur et à la turbine sont lues à partir de tables : le rapport de pression et le rendement sont déterminés en fonction du débit massique et de la vitesse de rotation sur deux cartographies de données distinctes. Une première méthode pour construire les cartographies s’ap-puie sur la caractérisation expérimentale. Les acquisitions ne sont généralement pratiquées qu’aux vitesses de rotations les plus élevées, et sont généralement peu discrétisées. Par conséquent, des méthodes spécifiques d’extrapolation et d’interpolation sont mises en œuvre.
Une deuxième méthode pour construire ces cartographies est basée sur la résolution des équations aérody-namiques des turbomachines. L’objectif de cette approche est de calculer les pertes aérodyaérody-namiques qui se produisent dans le compresseur et la turbine. Les deux premières parties de l’étude bibliographique porteront sur ces méthodes d’extrapolation et sur les modèles aérodynamiques des turbomachines.
L’utilisation directe des cartographies turbocompresseur ne permet pas de prendre en compte de possibles transferts thermiques au sein des turbocompresseurs. Cependant, certaines études ont montré qu’une partie non négligeable de la chaleur est transférée de la turbine vers le compresseur et le circuit d’huile. Sur la base de ces observations expérimentales, des modèles thermiques de turbocompresseurs ont été développés pour prendre en compte les transfers de chaleur. La dernière partie de l’étude bibliographique sera concentrée sur ces modèles d’échanges thermiques.
1.1 Méthodes d’interpolation et d’extrapolation des cartographies expéri-mentales des turbocompresseurs
La méthode la plus répandue concernant l’interpolation et l’extrapolation de cartographies de turbo-compresseurs a été développée en 1991 par Jensen et al. [69]. Ce modèle est basé sur les paramètres sans dimension définis par Winkler [137] et Benson [4]. Des expression polynômiales ont été développées en utili-sant ces paramètres sans dimensions ainsi que sur des coefficients de corrélation. Les coefficients de corrélation sont déterminé par la méthode des moindre carrés sur une base d’apprentissage expérimentale. Cette base d’apprentissage est généralement une cartographie expérimentale des performances du compresseur et de la turbine. Les expressions mathématiques proposées par Jensen et al. sont présentées via les équations 4.1 à 4.7. Dans leur article, Jensen et al. précisent que même si l’interpolation des données fournit de bons résultats pour les faibles régimes de rotation, le niveau de précision n’est pas aussi bon pour les plus hauts régimes.
Ce phénomène est illustré sur la figure 4.2. La deuxième limitation vient de la formulation même du modèle : la validité du modèle global est liée à la précision des données expérimentales et sur l’algorithme
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lation. Comme la méthode d’extrapolation proposée par Jensen et al. n’est basée que sur la formulation de polynômes, et non sur des équations physiques, la qualité des résultats extrapolés n’est pas garantie.
Alors que les traitements de données de turbocompresseurs présentés dans la littérature ([58], [94], [5], [63], [79] sont similaires à l’approche de Jensen et al., d’autres modèles de turbocompresseurs ont été trouvés dans la littérature. Dans son mémoire de maîtrise [95], Mueller dérive un modèle de compresseur à partir du premier principe et utilise des données expérimentales afin de paramétrer son modèle. Il semble que cette méthode nécessite autant de paramètres d’ajustement que la méthode de Jensen et al. (9 au total) et ne résout pas la question de la précision à haute vitesse du compresseur. En outre, l’extrapolation vers la zone des faibles régimes de rotation produit des tendances contradictoires.
Le modèle de compresseur de Kolmanovsky détaillé dans [94] se base sur des fonctions d’apprentissage ex-ponentielles, ce qui permet de réduire le nombre de paramètres d’ajustement à 6. Toutefois, l’extrapolation vers les valeurs à faible vitesse ne semblent pas satisfaisante.
Certains auteurs ont tenté d’utiliser des réseaux de neurones ([94], [43]) pour construire un modèle de com-presseur. Ce type de modèles introduit un nombre élevé de paramètres de recalage (environ 40 d’après Moraal), ce qui entre en conflit avec le nombre de points d’apprentissages disponibles (entre 25 et 40) sur une cartographie de compresseur ’standard’. En outre, les modèles neuronaux ne sont pas adaptés à des problématiques d’extrapolation de données, et ce genre de modèle risque de produire des résultats erronés dans la zone d’extrapolation du modèle.
Cette étude bibliographique a montré que les méthodes d’extrapolations cartographiques n’incluent pas les équations physiques des turbomachines. Des formulations mathématiques sont déterminées à partir d’ob-servations expérimentales et des paramètres sont identifiés par régression sur une base d’apprentissage. Il semble que la méthode développée par Jensen et al. fournisse les résultats les plus satisfaisants parmis les traitements testés. Toutefois, une grande amélioration doit être réalisée en ce qui concerne l’extrapolation du rendement compresseur et turbine. La qualité de l’interpolation du rapport de pression compresseur à des vitesses élevées de rotation doit aussi être améliorée.
1.2 Détermination des cartographies des turbomachines par équations mo-dèles
Les modèles analytiques des turbomachines sont utilisés afin de prédire leur performances. L’utilisation de tels modèles permet de créer des cartographies de performances des turbomachines à partir de modèles physiques plutôt que par essais. Le développement de ces modèles peut être divisé en deux parties :
– Dans un premier temps, les performances isentropiques (sans pertes) des turbomachines sont formulées à partir d’ équations thermodynamiques.
– Dans un second temps, il est nécessaires de modéliser les pertes au seins des turbomachines. La com-binaison de ces deux étapes permet de construire des cartographies de performances complètes.
Formulation thermodynamique des turbomachines :
La formulation de la variation d’enthalpie dans les turbomachines radiales sont développées et présentées dans les équations 4.8 à 4.11. On peut voir, à partir de ces équations que les performances du compresseur et de la turbine sont directement liés à la vitesse du turbocompresseur (via la vitesse tangentielle de pale U) et à la vitesse tangentielle du fluideVθ. Ces vitesses sont calculées à partir de la résolution des équations aérodynamiques 0D-1D complètes écrites pour les turbomachines :
II-3 Obtention par modèles physiques des performances des turbomachines :
La première étape en vue de créer un modèle physique 0D-1D de turbocompresseur est de résoudre l’écoulement isentropique au sein d’une turbomachine. Ces équations sont la conservation de la masse, de l’énergie et du moment. Elles doivent être écrites dans le cas d’un repère en rotation. Le développement de ces équations dans le cas du turbocompresseur sont détaillées par Bozza [15]. Une fois ce ’débit idéal’ calculé, il est nécessaire de tenir compte des pertes qui surviennent au sein de la turbomachine.
Les pertes sont des modèles basés sur des observations expérimentales, qui ont été largement acceptées au cours des dernières années. L’état de l’art de la modélisation des pertes aérodynamiques au sein des turbo-machines est précisément décrit dans les papiers de Japikse [66] et Watson [134]. Les phénomènes physiques à prendre en compte lors de la modélisation complètes de turbomachines sont les suivants :
– Les pertes par cisaillement de la couche limite. Elles sont créées par le cisaillement de la couche limite visqueuse le long de la paroi. Certains modèles de pertes par frottement basés sur l’estimation des coefficient de frottement sont détaillés dans les documents par Watson [133], Ferguson [41] et Macek [82].
– Les pertes de flux secondaire. Le transport des particules de fluide à des niveaux différents de vitesse sous l’action de gradients de pression provoque le phénomène de vorticité. Une grande partie de l’énergie cinétique associée à ce processus est dissipée. Les modèles associés à ce type de pertes au sein de turbomachines radiales ont été mis au point par Dean et al. [68], [31] et Japikse et al. [65], [102].
– Les pertes par fuites. Ces pertes sont dûes à des fuites au travers des jeux de fonctionnement et au travers des systèmes d’étanchéité. Un exemple des modèles de fuite est proposé par Descombes [33], [34].
– Les pertes par mélange. Ces pertes tiennent compte de la non-uniformité en termes de vitesse d’écou-lement en aval de l’aubage. Un modèle de ce phénomène a été développé par Stewart [120].
– Les pertes par glissement. Même si le flux d’air est guidé par les lames, il y a un écart entre l’angle de sortie de l’écoulement et l’angle géométrique des pales de la turbomachine. Cette angle de déviation dépend du nombre de pales et de leur géométrie [106]. Le facteur de glissement exprime le ratio entre la vitesse tangentielle des pales et la vitesse d’écoulement tangentielle. Le facteur de glissement est habituellement calculé au moyen de formulations empiriques. Les formulations les plus couramment utilisées se trouvent dans les documents suivants : [136], [121], [46], [106].
– Pertes par frottement. Quand un disque est en rotation dans un fluide, un couple résistant est généré par la composante de cisaillement tangentielle entre le disque et le fluide. Ferguson a proposé une corrélation dans [41].
– Les pertes de débit sonique. Pour des débits fortement accélérés, le choc créé engendré une augmentation du niveau d’entropie.
– Certains auteurs [15], [96], [34] introduisent également une perte par désadaptation théorique, qui a été introduite par Spannhake [119]. Selon Bozza, il est supposé que l’énergie cinétique associée à la composante normale à la paroi est complètement dissipée. Japikse [66] considère ce modèle comme une version simplifiée et moins physique des pertes de flux secondaires et précise que son utilisation est inutile si les modèles précédents sont correctement mis en œuvre.
Cette vue d’ensemble montre qu’au moins 6 modèles distincts de pertes doivent être mis en œuvre afin de construire un modèle physique de turbocompresseur. La construction de ces modèles nécessite beaucoup de données, notamment celles relatives à la géométrie du turbocompresseur. Lorsque de tels modèles sont correctement appliqués, il est possible d’obtenir une estimation à 10% prés des performances des turboma-chines (rapport de pression et rendement). Toutefois, dans la plupart des cas, la géométrie spécifique de la turbomachines est inconnue, et ces modèles ne peuvent pas être utilisés.
Une approche intéressante a été adoptée par Macek [82], [83]. Il a défini un modèle physique complet d’une
turbine radiale et défini les paramètres géométriques du turbocompresseur comme des paramètres à identi-fier. Ces paramètres sont ensuite déterminée par un algorithme d’optimisation alimenté par les données des cartographies, généralement fournies par les constructeurs des turbocompresseurs.
1.4 Transferts thermiques au sein des turbocompresseurs
La première analyse détaillée de l’impact des transferts thermiques sur les performances thermodyna-miques des turbocompresseurs a été produite en 1981 par Rautenberg et al. [109], [110]. Au moyen d’essais, il a été montré que le compresseur et la turbine ne fonctionnent pas adiabatiquement. Une part non né-gligeable de la puissance thermique de la turbine est transférée vers le milieu ambient, le carter central, le carter compresseur et les paliers. Ces transferts de chaleur impliquent une baisse de la température de sortie turbine, ainsi que l’augmentation de la température de sortie compresseur. Ces transferts thermiques modifient artificiellement les rendements isentropiques mesurés au banc pour le compresseur et la turbine.
Cela signifie que la puissance réelle consommée par le compresseur sera différente de celle estimée par la mesure des températures amont et aval. Le même problème se produit à la turbine. Rautenberg et al. ont montré que les turbines peuvent avoir un rendement apparent supérieur à 1 dans des conditions spécifiques.
Il en conclut que le rendement de la turbine mesuré sur un banc d’essai en conditions non-adiabatiques ne représente pas la performance aérodynamique de la turbomachine et ne devrait pas être utilisée pour calculer la puissance sur l’arbre.
Des observations similaires ont conduit à la création de correctifs appliqués au rendement des turbomachines.
Ces correctifs sont déterminés à partir de comparaisons entre des essais en conditions adiabatiques et non-adiabatiques (Friberg et al. [48] et Frelin [47]). Toutefois, même si chaque modèle mis au point prend en compte le changement de rendement dû à l’échange de chaleur, il faut noter que se sont des modèles valables en conditions stabilisées. Afin de modéliser les transferts thermiques en transitoire, les auteurs ont introduit des modèles de conduction, convection et rayonnement basés sur des corrélations expérimentale.. Ces modèles impliquent l’introduction de coefficients d’échange thermique pour les phénomènes de conduction, convection et rayonnement.
Transferts de chaleur par conduction : Les transferts par conduction se produisent entre les carter turbine et compresseur, qui sont physiquement liés. La conduction se produit également à travers l’arbre. Des études numériques multidimensionnelles ([12], [13], [11], [26]) ont montré que le transfert de chaleur par conduction dans les turbocompresseurs est un phénomène essentiellement mono-dimensionnel. L’utilisation de la loi de Fourier (Eq. 4.19) combinée à des données numériques ou expérimentales en stabilisé permet d’identifier le coefficient thermique caractérisant la conduction pour un turbocompresseur spécifique.
Transferts de chaleur par convection : D’après des études par Shaaban [118], Cormerais [26], Westin [135], Bohn [12] et Salas [116], des transferts de chaleur par convection ont lieu dans les turbocompresseurs. Tout d’abord, il y a échange de chaleur par convection entre les carters et leurs flux respectifs (compresseur et turbine). Des transferts de chaleur par convection ont également lieu entre le carter du turbocompresseur et l’air ambiant. Les auteurs ont déterminé le coefficient d’échange par convection à partir de corrélations basées sur le nombre de Nusselt. Les principales expressions de corrélations du nombre de Nusselt dans les turbomachines se trouvent dans les papiers précédemment cités. Le nombre de Nusselt est un nombre sans dimension qui est une fonction du coefficient d’échange thermique, de la conductivité thermique du fluide et du diamètre du conduit. Sur la base de résultats expérimentaux, les auteurs ont construit une relation entre le nombre de Nusselt et d’autres paramètres sans dimension caractérisant l’écoulement, tels que le nombre de Reynolds et le nombre de Prandtl. Le principal avantage de la détermination du coefficient d’échange de chaleur au moyen de la corrélation du nombre de Nusselt est que le modèle mis au point prend en compte
II-5 les paramètres physiques. Le principal inconvénient est qu’il existe des écarts élevés entre les nombres de Nusselt calculés dans différentes études dans la littérature. Le principal exemple est fourni dans le cas d’une étude de Depcik [35], où les écarts entre différents modèles fournissent, sur la même application, des écarts jusqu’à 100 %.
Transfert de chaleur par rayonnement : Ce type de transfert de chaleur est modélisé ([71]) via l’équation de Stefan-Bolltzmann, qui met en jeu l’émissivité du matériau. L’émissivité est une fonction du matériau, mais aussi de la température. les tables fournissant les valeurs d’émissivité pour les matériaux du turbocom-presseur ainsi que leur évolution vis-à-vis de la température sont détaillées dans [71].
Afin d’identifier les coefficients de transfert de chaleur par convection, rayonnement et conduction, il est nécessaire de mesurer les transferts de chaleur survenant entre le compresseur, l’huile et la turbine. Ceci est réalisé au moyen d’un processus expérimental détaillé par Baar et al. [3], Shaaban [118] et Cormerais [26]
dans leurs études respectives. Cette méthode expérimentale est basée sur la comparaison de mesures effec-tuées en conditions adiabatiques et non-adiabatiques. Dans le cas où le turbocompresseur opère en conditions isothermes et adiabatiques, la puissance du compresseur déterminée à partir des mesure de température est égale à la puissance prélevée sur l’arbre par le compresseur. Le même phénomène est observé à la turbine, car il n’ y a a pas d’échanges thermiques en conditions adiabatiques. Dans ces conditions, et pour un arbre tournant à vitesse constante, la différence entre la puissance du compresseur et la turbine est dûe aux pertes dans les palier hydrauliques. Par conséquent, les tests adiabatiques permettent de construire un modèle de pertes pour les paliers.
Lorsque le turbocompresseur est isolé du milieu extérieur (calorifugé), mais que des tests en conditions non-adiabatiques sont réalisés, il est possible d’identifier les échanges thermiques prenant place au sein du turbocompresseur. Pour cela, les 5 quantités suivantes doivent être déterminées :
– Puissance apparente du compresseur (mesurée via les température en amont et en aval du compresseur).
– Puissance réelle consommée par le compresseur.
– Puissance apparente de la turbine (mesurée via les température en amont et en aval de la turbine).
– Puissance réelle fournie par la turbine.
– Pertes par frottement dans le palier.
Les études de Cormerais [26] et Shaaban [118] ont montré que les échanges thermiques au compresseur ont lieu dans le collecteur en aval du rotor. Ainsi, les échanges thermiques au compresseur n’influent pas sur la puissance qu’il consomme pour comprimer les gaz. Par conséquent, la puissance consommée par le compresseur est déterminée à partir de essais adiabatiques, et la puissance apparente est mesurée par les températures en conditions non-adiabatiques. La différence entre ces deux valeurs est égale au transfert thermique qui ont lieu au compresseur.
La même hypothèse n’est pas valide du côté turbine. Afin de calculer la puissance fournie à l’arbre par la turbine, on la définit comme la somme des puissances consommées par le compresseurs et les frottements dans les paliers. Les frottements paliers sont déterminé via un modèle paramétrisé d’après les essais adiabatiques.
La puissance apparente de la turbine est déterminée par les mesures de température en condition non-adiabatiques. La différence entre la puissance turbine apparente et celle sur l’arbre représentent les échanges thermiques à la turbine. Les équations explicitant ces calculs sont disponibles via les équations 4.22 à 4.24.
Une fois les échanges de chaleur identifiés, certains auteurs ont montré que d’une manière efficace de construire un modèle d’échange de chaleur en transitoire de change est d’utiliser un méthode par résistances thermiques équivalentes. D’après Cormerais [26], il est possible de réduire le système turbocompresseur calorifugé en stabilisé à 3 résistances équivalentes (voir Fig. 4.11