Solutions à symétrie sphérique de la gravité massive : une introduction
3.4 L’existence d’une solution globale en débat
L’existence d’une solution globale de la gravité massive est une question débattue depuis longtemps. Déjà, en 1972, alors que Vainshtein venait de proposer dans [269] de rechercher une solution sous forme de série6en puissances de m, Boulware et Deser mettaient en doute
dans leur article [49] la possibilité d’obtenir, à partir de ce développement, une solution asymptotiquement plate.
Plus récemment, l’article [96] a permis de confirmer pour la première fois la validité du mécanisme de Vainshtein, dans un contexte toutefois différent de celui des solutions
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à symétrie sphérique de la gravité massive. Plus précisément, C. Deffayet, G. Dvali, G. Gabadadze et A. Vainshtein ont montré dans cet article qu’un mécanisme similaire au mécanisme de Vainshtein en gravité massive existait pour des solutions cosmologiques du modèle DGP7. Ces solutions adoptent deux comportement très différents, selon la densité
d’énergie de l’univers. Lorsque la densité de matière dans l’univers est faible, un degré de liberté supplémentaire peut se propager en plus des deux polarisations du graviton, exactement de la même façon qu’en gravité massive le mode scalaire du graviton, respon- sable de la discontinuité de vDVZ, peut se propager en régime linéaire : la gravité diffère alors fortement de la RG, comme la gravité massive diffère de la RG dans le régime li- néaire. À l’inverse, lorsque la densité de matière est élevée, ce qui est le cas aux temps cosmologiques primordiaux, ces solutions sont très proches de leur équivalent en RG, met- tant ainsi en évidence l’existence d’un mécanisme de Vainshtein qui “écrante” le scalaire dans le régime non-linéaire. L’étude par N. Kaloper des solutions du modèle DGP sous forme d’ondes de choc gravitationnelles [167] a également mené à des résultats cohérents avec le mécanisme de Vainshtein : les solutions trouvées sont similaires à leurs équivalents quadri-dimensionnels à courtes distances.
La première étude numérique de la question de l’existence d’une solution globale de la gravité massive a été proposée en 2003 par Damour, Kogan et Papazoglou dans leur article [85]. Dans cet article, ces auteurs ont expliqué ne pas avoir réussi à trouver de solution numérique globale de la gravité massive, et ce malgré l’utilisation de plusieurs termes de masse différents et de plusieurs jauges, et une étude systématique des conditions initiales à imposer.
Au cours du travail de thèse présenté dans ce mémoire, C. Deffayet, E. Babichev et moi-même (RZ) avons réexaminé cette question, et sommes arrivés à des résultats opposés à ceux de Damour et al. [85]. Nous avons pu en effet montrer, pour la première fois, l’existence de solutions à symétrie sphérique asymptotiquement plates en gravité massive, à la fois dans la limite de découplage [30] et dans le cas de la théorie complète où toutes les non-linéarités sont prises en compte [28,29]. Nous présenterons ces résultats aux Chapitres
4et5; pour l’instant, nous voudrions dans les quelques lignes qui suivent donner un aperçu des difficultés numériques qui doivent être dépassées afin d’obtenir une solution globale. Nous verrons alors que ces difficultés numériques peuvent peut-être expliquer la différence entre les résultats négatifs de l’article [85], et les résultats que nous avons présentés dans [28,29,30] qui montrent l’existence d’une telle solution.
3.4.1 Conditions aux bords et approches numériques
En premier lieu, il est nécessaire de définir clairement les conditions aux bords que doivent satisfaire les solutions que l’on recherche. Nous distinguerons deux concepts légè- rement différents : d’une part, les conditions aux bords en R = 0 et en R = ∞ que toute solution doit satisfaire pour être viable physiquement − on pourra appeler ces conditions conditions physiques − et d’autre part les conditions numériques qu’il faut imposer pour être capable de résoudre numériquement le système d’équations (3.5), (3.6) et (3.9).
La forme que doivent prendre les conditions aux bords mathématiques dépend de la méthode numérique utilisée. Dans le cas d’une intégration directe à la Runge-Kutta, il
7Nous renvoyons le lecteur à la section2.1.2 de ce mémoire, et plus précisément à la p.44, pour une
s’agira de conditions initiales à imposer au point de départ de l’intégration. Dans le cas d’une méthode par relaxation, les conditions aux bords peuvent être mixtes, à la fois à l’origine et loin de la source. Dans ce chapitre, nous allons nous concentrer sur les conditions initiales à imposer dans le cadre d’une intégration directe à la Runge-Kutta, car c’est le type de résolution numérique qui a été utilisé par Damour et al. dans [85]. Notons néanmoins dès à présent qu’une approche par relaxation est en fait plus adaptée à la résolution du système d’équations (3.5), (3.6) et (3.9) ; nous avons pour notre part utilisé les deux types de résolution numérique, menant aux résultats qui seront présentés aux Chapitres 4 et5. Nous invitons le lecteur intéressé à consulter l’annexeDpour plus de détails sur le principe de ces différentes méthodes numériques et sur leur implémentation pratique.
Dans les paragraphes ci-dessous, nous allons détailler les conditions physiques à imposer en R = 0 et en R = ∞. Nous présenterons ensuite les conditions initiales qui peuvent être utilisées dans le cadre d’une intégration directe à la Runge-Kutta, en partant soit de l’origine, soit de l’infini.
Conditions physiques en R = ∞
Les conditions à l’infini sont assez simples : nous voulons que la métrique physique soit asymptotiquement plate, ainsi que la métrique de fond8; ces conditions s’écrivent
lim R→∞ν(R) = 0, lim R→∞λ(R) = 0, lim R→∞µ(R) = 0, (3.59)
auxquelles s’ajoute la condition d’absence de pression hors de la source
P (R > R⊙) = 0. (3.60)
Les conditions (3.59) impliquent que le régime linéaire soit valide, au moins au voisinage de R = +∞. Nous savons en fait que ce régime est valide jusqu’à RV. D’un point de vue
numérique, il n’est généralement pas possible d’atteindre R = +∞ ; par conséquent, on remplacera les conditions ci-dessus par les conditions linéaires (3.21), c’est-à-dire
ν(R) ∼ ν∞(R) ≡ − 4C 3R e−mR, λ(R) ∼ λ∞(R) ≡ 2C3R(1 + mR)e−mR, µ(R) ∼ µ∞(R) ≡ 2C 3(mR)2R 1 + mR + (mR) 2 e−mR, lorsque R → ∞, (3.61)
où C est une constante d’ordre 1, qu’il faut choisir de telle façon que la solution obtenue soit régulière partout, et notamment au sein de la source.
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La métrique de fond n’étant pas observable, on peut se demander s’il est nécessaire d’imposer que fµν
tende vers la métrique plate en coordonnées sphériques. Cependant, le graviton étant défini au travers de hµν ≡ gµν− fµν, il est naturel de considérer que l’amplitude du graviton, c’est-à-dire l’excitation du champ
gravitationnel, tende vers zéro à l’infini. Cela impose donc que fµν tende vers la métrique plate exprimée
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Conditions physiques en R = 0
En présence d’une source étendue de rayon R⊙> RS, toute solution physique doit être
telle que les invariants de courbure restent finis en R = 0. Cette condition peut se traduire par le fait qu’il ne doit pas y avoir de singularité conique à l’origine ; pour cela, il faut imposer
λ(R = 0) = 0. (3.62)
Condition supplémentaire en R = 0
Nous imposerons parfois aux solutions recherchées la condition supplémentaire
µ′(R = 0) = 0. (3.63)
Cette condition n’est pas indispensable d’un point de vue physique, mais peut se révé- ler pratique d’un point de vue numérique, car elle permet d’éviter que certains termes des équations du mouvement ne divergent au voisinage de l’origine ; en effet, lorsque l’on étudie attentivement la forme des fonctions fg (par exemple dans le cas de BD (3.11) et
AGS (3.12)), on s’aperçoit que l’identité de Bianchi (3.9) contient des termes de la forme µ′′+ µ′/R ; si l’on veut que ces termes µ′/R restent finis9, il est nécessaire d’imposer la condition (3.63). En pratique, nous imposerons donc souvent cette condition, tout en gar- dant à l’esprit que procéder de la sorte restreint l’espace des solutions considérées. Ceci dit, nous verrons qu’il nous sera possible de trouver une solution numérique satisfaisant cette condition (cf. [28] et Chapitre5) ; on peut donc considérer qu’imposer à la main cette condition ne remet pas en cause notre approche numérique.
Conditions mathématiques imposées aux bords
Il ne reste plus qu’à choisir parmi les conditions évoquées plus haut un sous-ensemble de conditions telles que la valeur de toutes les fonctions soit fixée au moins en un point.
Si nous choisissons d’intégrer à la Runge-Kutta le système en partant de l’infini (en pratique d’une distance R∞> RV), il est naturel d’imposer
λ(R∞) = λ∞(R∞), ν(R∞) = ν∞(R∞), µ(R∞) = µ∞(R∞), µ′(R∞) = µ′∞(R∞),
P (R∞) = 0. (3.64)
Les fonctions λ∞, ν∞et µ∞définies au travers du système (3.61) dépendent d’une constante C, qu’il s’agit de déterminer. Pour ce faire, on choisit au hasard une valeur de cette constante, puis on procède à l’intégration numérique du système d’équations (3.5), (3.6) et (3.9). Si l’intégration n’est pas satisfaisante (par exemple si une singularité est rencontrée, ou si le scalaire de courbure diverge à l’origine), on modifie un peu la constante C et on
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Il est important de noter que d’un point de vue physique, il n’est pas nécessaire que ces termes restent finis, car des compensations peuvent avoir lieu entre divers termes divergents, de telle sorte que l’ensemble reste fini.
réitère l’opération, jusqu’à ce que la solution obtenue satisfasse les critères de régularité et de précision désirés10.
Toutefois, nous avons vu à la section 3.2.3 que pour certains termes de masse (comme le terme AGS de l’équation (2.43)), la solution n’est pas fixée d’une façon unique par le comportement à l’infini. Il est donc clair que dans ces cas-là, les conditions (3.64) ne sont pas suffisantes pour explorer toutes les solutions possibles. En pratique, nous utiliserons plutôt λ(R∞) = (1 + αλ) λ∞(R∞), ν(R∞) = (1 + αν) ν∞(R∞), µ(R∞) = (1 + αµ) µ∞(R∞), µ′(R∞) = (1 + αµ′) µ′∞(R∞), P (R∞) = 0. (3.65)
où les αi sont des petits paramètres qui peuvent être ajustés par l’utilisateur (plus de
détails sur ces considérations numériques sont donnés à l’Annexe D).
On peut également décider d’intégrer à la Runge-Kutta le système d’équations (3.5), (3.6) et (3.9) en partant de l’origine. Dans ce cas, les conditions initiales prennent la forme
λ(R0) = 0,
ν(R0) = A,
µ(R0) = B,
µ′(R0) = C,
P (R0) = D, (3.66)
où R0 est le point de départ, idéalement situé exactement à l’origine ou au moins à son
voisinage, et où les constantes A, B, C, D doivent être ajustées de façon à réussir à inté- grer jusqu’à une distance jugée suffisante (typiquement jusqu’à R ∼ 3RV). Ces constantes
doivent également être choisies de telle sorte que la pression s’annule exactement à la sur- face de l’étoile, en R = R⊙. Afin de ne pas avoir à ajuster la constante D en fonction du rayon de l’étoile, on peut accepter que le rayon de l’étoile ne soit pas fixé en avance mais d’une façon dynamique, au point où la pression s’annule. La constante D peut alors être choisie arbitrairement, ce qui permet de n’avoir que trois paramètres à déterminer. On peut aller encore plus loin et décider d’imposer la condition (3.63), ce qui revient à fixer C = 0 ; cela permet d’avoir encore une constante en moins à déterminer, tout en sachant que cela risque de trop restreindre la classe de solutions étudiées. Dans tous les cas (c’est-à-dire même en fixant dynamiquement le rayon de l’étoile et en posant C = 0), il reste un espace de paramètres (A,B) à deux dimensions à explorer, ce qui rend une telle intégration difficile.
10Nous verrons à la Section4.1.1, et en particulier à l’équation (4.16), que l’étude des solutions à symétrie
sphérique dans la limite de découplage nous permet de fixer la valeur de cette constante à C = 1. Pour l’instant néanmoins, nous considérerons cette constante comme n’étant pas fixée par la théorie, et devant donc être déterminée numériquement.
3.4. L’existence d’une solution globale en débat 91
Nous voyons tout de suite les difficultés qui accompagnent les deux types de conditions initiales (3.64) et (3.66) : les conditions (3.64) ne sont pas suffisante pour fixer la solution sans ambiguïté pour certains potentiels, tandis que les conditions (3.66) nécessitent d’ajus- ter au moins deux constantes, ce qui est une tâche pour le moins ardue. Cependant, les difficultés liées aux conditions initiales sont loin d’être les seuls points délicats de la résolu- tion numérique du système d’équations (3.5), (3.6) et (3.9), comme nous allons l’expliquer dans la section qui suit.
3.4.2 Solutions singulières... ou instabilité numérique ?
Une fois fixées les conditions initiales, soit à l’origine, soit loin de la source, il s’agit de résoudre le système d’équations (3.5), (3.6) et (3.9) proprement dit. Dans l’article [85], Da- mour, Kogan et Papazoglou présentent les résultats de leurs intégrations des équations de la gravité massive, de l’origine vers l’extérieur d’une part, et de “l’infini” (c’est-à-dire d’une distance ≫ m−1 en pratique) vers l’origine d’autre part. Ces conclusions sont négatives :
dans tous les cas une singularité est rencontrée à une distance finie du point de départ. Ces singularités ont lieu à un rayon qui dépend du terme de masse et du point de départ de l’intégration, mais situé dans tous les cas entre un rayon de l’ordre de Rp ≡ (m−2RS)1/3et
la longueur de Compton du graviton m−1[85]. Notons que RS ≪ Rp ≪ RV et m−1 ≫ RV,
c’est à dire que la singularité se trouve environ aux alentours du rayon de Vainshtein.
Afin de mieux comprendre la nature de ces singularités, nous avons procédé à des intégrations numériques similaires à celle de [85], en partant de l’infini (en pratique d’une distance R∞ ≫ RV). Nous avons travaillé dans la jauge (3.3) et concentré nos efforts sur
les potentiels BD (2.42) et AGS (2.43).
Dans le cas du potentiel de BD, l’intégration entre Ri ≫ RV et le rayon Rsing défini
par
Rsing ≡ R2Sm−3
1/5
(3.67) ne pose aucun problème. Par contre, aux alentours de Rsing, la solution diverge systéma-
tiquement, et il n’est pas possible d’améliorer la situation en modifiant un petit peu les conditions initiales en R∞. La singularité rencontrée dans ce cas-là est à notre sens une “vraie” singularité : nous verrons à la section 5.1.1 que l’échelle Rsing correspond précisé-
ment à l’échelle à laquelle les non-linéarités qui ne sont pas prises en compte dans la limite de découplage11 commencent à jouer un rôle. Il n’est donc pas surprenant de rencontrer
une difficulté à cette échelle.
Dans le cas du potentiel AGS, nos premières investigations (2.43) se sont révélées diffi- ciles. Lors de nos tentatives d’intégration numérique du système d’équations (3.5), (3.6) et (3.9), la solution divergeait immédiatement après le début de l’intégration. Dans un pre- mier temps, cette difficulté à intégrer les équations du mouvement dans le cas du potentiel AGS nous a convaincu qu’aucune solution physique ne pouvait être trouvée pour ce terme de masse. Nous avons également essayé d’intégrer les équations du mouvement pour le terme AGS dans la limite de découplage (cf. Chapitre 4), sans plus de succès. C’est alors
11On peut penser par exemple aux termes d’interactions de la forme (φ)4, qui ne sont pas retenus dans
que nous nous sommes rendus compte que la situation était complètement différente dès lors que l’on utilisait une approche par relaxation. En effet, cette méthode nous a permis d’identifier une solution dans la limite de découplage, puis de confirmer sa validité par une approche à la Runge-Kutta. Il s’est alors révélé possible de la généraliser à la théorie complète !
Nous allons dans les chapitres qui suivent présenter la démarche qui nous a mené à une telle solution, et détailler les méthodes analytiques et numériques permettant de pouvoir in fine intégrer à la Runge-Kutta les équations du mouvement dans le cas AGS. Pour l’ins- tant, contentons-nous de signaler deux caractéristiques des équations dans le cas d’AGS qui rendent leur intégration particulièrement difficile. Tout d’abord, toute solution de ces équations est extrêmement instable. Cela peut être vu en résolvant les équations du mou- vement pour une perturbation autour de la solution linéarisée (3.21) ; un tel calcul est présenté dans l’Annexe C, à la section C.2 dans la limite de découplage, et à la section
C.3 dans le cas général. On peut alors se rendre compte que toute perturbation de la so- lution explose exponentiellement vite ; d’un point de vue numérique, cela signifie que les conditions initiales doivent être déterminées avec une précision extrêmement fine (nous verrons à l’AnnexeD que la précision relative nécessaire est au moins de l’ordre de 10−8).
Cette instabilité numérique nous amène au deuxième point délicat : les conditions initiales (3.64) ne sont pas suffisamment précises. Nous savons en effet que dans le cas AGS, ces conditions initiales ne fixent pas la solution d’une manière unique ; de plus, la précision de l’ordre linéaire n’est pas suffisante. On peut alors utiliser le développement en série (3.18) pour améliorer la précision, tout en se rappelant que ce développement n’est probablement qu’un développement asymptotique, qui n’est pas convergent. En pratique, on peut éga- lement utiliser les résultats numériques obtenus par relaxation pour fixer les conditions initiales en R∞. En combinant toutes ces méthodes, on peut alors intégrer les équations, depuis un point situé à l’extérieur du rayon de Vainshtein jusqu’au cœur de l’étoile.
À l’issue de ce chapitre introductif consacré aux solutions à symétrie sphérique de la gravité massive, nous espérons avoir convaincu le lecteur qu’il était fort difficile de rechercher une telle solution sans avoir à notre disposition une meilleure compréhension théorique du problème considéré. La complexité des équations à résoudre, ainsi que les subtilités liées à l’existence, la convergence et à l’unicité de solutions sous forme de séries − sans compter les difficultés numériques mentionnées ci-dessus − nous encouragent à essayer de simplifier le problème, de façon à mieux en saisir les éléments essentiels. C’est exactement l’enjeu du prochain chapitre dans lequel nous étudierons les solutions à symétrie sphérique de la gravité massive dans la limite de découplage. Cette limite nous permettra en effet de simplifier considérablement les équations du mouvement et nous donnera l’opportunité de mieux comprendre certains points difficiles, ouvrant ainsi la voie à l’identification de solutions à symétrie sphérique dans le cadre de la théorie complète où toutes les non- linéarités sont prises en compte.