Description des transferts thermiques dans un système d’éclairage automobile
1.3 L’ ´ equation de transfert radiatif (ETR)
.
Le changement de direction s’accompagne d’une atténuation de l’énergie dans l’épaisseur du matériau semi-transparent. Ce point est plus amplement détaillé après l’introduction de l’équation de transfert radiatif.
1.3 L’ ´ equation de transfert radiatif (ETR)
L’équation de transfert radiatif (ETR) permet de décrire les mécanismes de transfert radiatif dans un milieu participant. Elle est établie à partir de l’équation de Bolzmann et exprime la variation de la luminance dans le milieu le long du trajet optiqueds.
1.3.1 Etablissement de l’ETR
1.3.1.1 Formulation int ´egro-diff ´erentielle
L’équation générale sous forme intégro-différentielle s’obtient en établissant un bilan pho-tonique, c’est-à-dire en évaluant les gains et les pertes par émission, absorption et diffusion
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1.3. L’équation de transfert radiatif (ETR)
(1.16). On fait l’hypothèse simplificatrice de stationnarité en faisant l’hypothèse que le trans-fert d’énergie radiative est très rapide comparé aux autres modes de transtrans-ferts d’énergie, l’énergie radiative se propageant à la vitesse de la lumière.
dLλ(s, ~Ω) 1. : Pertes par absorption dans le milieu et diffusion le long de la direction ~Ω.
La somme des deux coefficients est appelée coefficient d’extinction :βλ =κa,λ+κdiff 2. : Gain par émission propre du milieu dans la direction Ω~
3. : Gain par diffusion dans la direction ~Ω. Le terme p
Ω~′ →~Ω
représente la fonction de phase. La fonction de phase est la probabilité pour qu’un rayon provenant d’une direction Ω~′ soit dévié dans la direction ~Ω. Elle obéit à la relation de normalisation suivante :
L’équation de l’ETR peut donc s’écrire sous la forme (1.18) pour un milieu homogène. Pour plus de détails, se reporter à l’annexe G.
dLλ(eoλ, ~Ω)
. eoλ désigne l’épaisseur optique du milieu tel que eoλ(s) =
Z s 0
βλds.
1.3.1.2 Formulation int ´egrale
La solution de l’ETR est donnée dans la relation (1.19). Il s’agit de la formulation intégrale de l’équation de transfert radiatif (cf. annexe G).
Lλ(eolλ, ~Ω) =Lλ On retrouve dans cette équation la transmitivité du milieu, τλ définie dans la loi de Kirchhoff qui exprime la proportion d’énergie transmise par une épaisseur l du milieu.
τλ= exp
−eolλ
= exp (−βλl) (1.20)
Chapitre 1. Description des transferts thermiques dans un système d’éclairage automobile Transmission Ainsi, l’énergie est transmise dans l’épaisseur du semi-transparent selon la loi de Beer-Lambert s’il s’agit d’un milieu froid et non diffusant (1.21). Le terme « froid » signifie ici que le terme source propre,S, du matériau est faible et donc négligé.
L=L0e−βλl (1.21)
oùl est la longueur du trajet optique.
Absorption Une partie du rayonnement est absorbée dans l’épaisseur du matériau. Cette fractionαλ s’obtient indirectement avec les grandeurs mesurablesρ∩λ etτλ (1.22). Ce phéno-mène participe donc à l’échauffement des matériaux.
αλ= 1−ρ∩λ −τλ (1.22)
1.3.2 Les m ´ethodes de r ´esolution de l’ETR 1.3.2.1 M ´ethodes diff ´erentielles
Il existe plusieurs méthodes de résolution de L’ETR sous sa forme différentielle dont la méthode aux harmoniques sphériques (PN) et la méthode des ordonnées discrètes (DOM).
M ´ethode aux harmoniques sph ´eriques La méthode aux harmoniques sphériques ou mé-thode PN permet de décomposer la luminance en une somme de série de Fourier. La dépen-dance directionnelle et la dépendépen-dance spatiale de la luminance sont séparées en deux termes distincts.
M ´ethode aux ordonn ´ees discr `etes La méthode des ordonnées discrètes (DOM) repose sur la discrétisation de l’angle solideΩ = 4πautour d’un point en un nombre fini de directions auxquelles sont associées des fonctions de quadrature [Mod93]. L’intégration de la luminance sur l’angle solide est alors remplacée par une somme (1.24).
Z
N étant le nombre de directions etωi le poids associé.
L’espace est également discrétisé (type volumes finis). L’équation de transfert radiatif est alors résolue sous sa forme différentielle pour chaque direction. En reprenant l’équation (1.18), nous obtenons un ensemble d’équations :
Ω~i· ∇L
Les approximations effectuées lors de l’utilisation de la méthode des ordonnées discrètes ont pour conséquence deux effets : l’effet de rayon et l’effet de diffusion numérique.
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1.4. Simulation numérique du chauffage des lampes dans une optique
• L’effet de rayon est relatif à la discrétisation angulaire limitée qui peut entraîner des discontinuités dans la distribution des luminances et des flux. Cette méthode ne permet pas de traiter précisément les surfaces spéculaires. En effet, la discrétisation spatiale finie induit une approximation des angles de réflexion affectant la localisation des points de concentration.
• La discrétisation spatiale est à l’origine de la diffusion numérique. Ce phénomène inter-vient lorsque les directions sont obliques par rapport à l’orientation du maillage.
1.3.2.2 M ´ethodes int ´egrales
M ´ethode des zones La méthode des zones consiste à partager le système d’étude en zones volumiques et surfaciques au niveau des parois. Chaque zone est considérée comme homogène.
Le bilan radiatif est réalisé pour chacune des zones en utilisant des facteurs d’échanges optico-géométriques.
M ´ethode de Monte Carlo (MMC) La méthode de Monte Carlo est une méthode statis-tique de référence qui permet de simuler un phénomène physique par une suite de réalisations aléatoires. Les valeurs obtenues à chaque réalisation sont moyennées pour obtenir la gran-deur physique d’intérêt. Dans le cadre des transferts radiatifs, les phénomènes d’émission ou d’absorption sont représentés par des lois probabilistes. Cette méthode a vue le jour dans les années 1950 sous l’impulsion d’un groupe de chercheurs. Parmis eux, comptent Nicholas Metropolis et Stanislaw Ulam [MU49]. Depuis lors, de nombreux travaux ont été rálisés sur le sujet dans le domaine des transferts radiatifs tel que Howell[How68],[FH94].
Nous abordons dans ce manuscrit l’approche intégrale. Cette approche consiste à considérer la MMC comme une méthode numérique de calcul intégral. On peut d’ailleurs citer les thèses de J. De La Torre [DLT11] et P.Perez [Per03] qui ont traité des différentes techniques de la méthode pour le calcul des transferts radiatifs. Cette méthode peut s’appliquer à des appli-cations industrielles variées. Parmi ces appliappli-cations, retenons la modélisation des systèmes concentrateurs d’énergie solaire, développée dans la thèse de M. Vrinat [Vri10]. La thèse d’A.
Bounaceur [Bou08] porte sur la question de l’interaction du rayonnement solaire avec un lit fluidisé de particules solides. J. Dauchet [Dau12] a travaillé sur la croissance des micro-algues soumises à du rayonnement solaire concentré dans les photo-bioréacteurs.