Description des transferts thermiques dans un système d’éclairage automobile
1.2 Interaction du rayonnement avec la mati ` ere
Un matériau quelconque recevant un rayonnement Φi est le siège de trois phénomènes physiques : une partie du flux incident est réfléchie, une autre est absorbée et enfin, la der-nière partie est transmise (Fig 1.3).
ρ∩λ désigne la fraction du flux incident réfléchie dans l’hémisphère.
αλ est la fraction de flux absorbé.
τλ est la fraction de flux transmise par une épaisseur de matériau.
i
i
i
i
Flux réfléchi
Flux incident
Flux absorbé Flux transmis
Figure 1.3 – Comportement d’un matériau quelconque à un flux incident.
1.2.1 Loi de Kirchhoff
Les paramètres αλ, τλ et ρλ permettant de caractériser le comportement radiatif d’un matériau à un flux incident sont liés par la première loi de Kirchhoff (1.6) qui exprime la conservation de l’énergie.
αλ+ρ∩λ +τλ = 1 (1.6)
A l’équilibre thermodynamique local, la deuxième loi de Kirchhoff postule que :
αλ =ελ (1.7)
Si le milieu est opaque, alors l’équation (1.6) devient :
αλ+ρ∩λ = 1 (1.8)
Chapitre 1. Description des transferts thermiques dans un système d’éclairage automobile 1.2.2 R ´eflexion
Le phénomène de réflexion se caractérise par un changement de direction du rayonnement électromagnétique à la surface du matériau. Pour décrire le phénomène de réflexion nous pouvons introduire la notion deréflectivité directionnelle hémisphérique,ρ∩(λ, T)déjà présentée sur la figure1.3. Il s’agit du rapport entre le flux réfléchi dans l’hémisphère au point d’interaction sur le flux incident dans une direction~i (1.9).
ρ∩(λ, T) = Φρ(λ, T) Φi
λ, T,~i (1.9)
Cette réflectivité directionnelle hémisphérique peut être mesurée au spectromètre IRTF ou calculée théoriquement par les relations de Fresnel à partir des indices optiques complexes des matériaux. Pour un dioptre air (na)/matériau (nm), la réflectivité normal/normal théorique est donnée par l’équation (1.10) :
ρ∩N(λ) = (nm−na)2+κ2
(nm+na)2+κ2 (1.10)
n: indice optique ; κ : indice d’absorption
Plus largement, on peut également obtenir la valeur de réflectivité directionnelle hémisphé-rique en fonction de l’angle d’incidence sur le dioptre :
ρ∩(θi) = 1 La réflectivité directionnelle hémisphérique est une grandeur intégrée sur l’angle solideΩ = 2π et ne suffit pas toujours à décrire le comportement spatial du rayonnement réfléchi. Il faut donc introduire la notion de réflectivité bi-directionnelle qui correspond à la valeur de réflectivité pour un couple (~i,~r) correspondant à une direction incidente et une direction de réflexion.
La fonction de distribution des réflectivités bi-directionnelles regroupant toutes les possibili-tés d’angles (θi, ϕi, θr, ϕr) est appelée BRDF (Bidirectional Reflectance Distribution
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1.2. Interaction du rayonnement avec la matière
Function)(Fig 1.4).
L’étude de la BRDF nous permet de distinguer plusieurs types de réflexions dont les deux cas théoriques et idéaux sont la réflexion diffuse et la réflexion spéculaire (Fig 1.5).
• Une surface idéalement diffuse réfléchit le rayonnement dans toutes les directions de l’angle solide de manière uniforme quelque soit l’angle d’incidence du flux.
• Une surface idéalementspéculaireréfléchit le rayonnement incident dans une seule di-rection qui est symétrique par rapport à la didi-rection incidente. La didi-rection de réflexion
~rest calculée selon l’expression (1.12). Il est possible de faire cette hypothèse lorsque la rugosité de la surface, σ, est faible devant la longueur d’ondeσ
λ ≪1 .
~r= 2
~i·~n
~n−~i (1.12)
• Pour une surface quelconque, le flux réfléchi est renvoyé dans un angle solide dont la largeur peut être déterminée par l’étude de la BRDF (Fig 1.5).
Figure 1.5 – Types de réflexions
1.2.2.1 BRDF
Mod `eles De nombreux travaux existent pour reconstituer les BRDF de différents maté-riaux. Les mesures de BRDF sont utilisées en photométrie ou dans le domaine de la synthèse d’images où la reconstitution de la BRDF d’un objet éclairé par une source de lumière (lampe, soleil) permet son rendu réaliste. La BRDF restitue les textures des objets : effet mat, effet métallique,etc. Ces modèles nous intéressent potentiellement pour modéliser l’énergie réfléchie par les optiques du système d’éclairage automobile. En simulation, deux principes doivent être respectés : le principe de réciprocité de Helmloltz et le principe de conservation de l’énergie.
Parmis les modèles de la littérature, nous présentons le modèle empirique de Phong [Pho75]
qui est rappelé dans l’équation (1.13). Ce modèle considère l’illumination directe d’une surface par une source ponctuelle. Pour une direction incidente normale, nous retrouvons l’ensemble des directions de réflexion~y. L’exposantmdépend de la nature du matériau. Pour un matériau Lambertien, il vaut 1. Plus, m est élevé et plus le lobe de cosinus est resserré autour de la direction spéculaire.
BRDF0,~y =ρ0,0cosm(θy) (1.13)
Comme le modèle de Phong n’est pas conservatif ce qui empêche de l’employer en simulation, il a été modifié par Lewis [Lew94].
Chapitre 1. Description des transferts thermiques dans un système d’éclairage automobile Mesures L’institut Clément Ader de l’école des Mines d’Albi dispose d’un spectromètre infrarouge à transformée de Fourier (IRTF) présenté dans l’annexeA. Cet appareil permet la mesure des BRDF dans le plan d’incidence. Notre modèle qui exploite les mesures de BRDF afin de modéliser les phénomènes de réflexion dans le système d’éclairage est détaillé dans le chapitre 3.
1.2.3 R ´efraction
Dans ce paragraphe, nous examinons le cas d’un milieu semi-transparent homogène. Une partie du rayonnement incident sur l’interface passe à travers le milieu et l’angle du rayon réfracté est calculé avec la loi de Snell-Decartes (1.14).
nisinθi=ntsinθt (1.14)
La direction du rayon transmis est donnée par l’équation (1.15).
~t= ni
Figure 1.6 – Réfraction du rayon sur un dioptre courbe
Pour les dioptres oùni > nt, il existe un angle incident limite pour lequel il n’existe plus de rayon réfracté mais une réflexion totale. Cet angle équivaut àarcsin
ni
nt
.
Le changement de direction s’accompagne d’une atténuation de l’énergie dans l’épaisseur du matériau semi-transparent. Ce point est plus amplement détaillé après l’introduction de l’équation de transfert radiatif.