Application sur un cas réel 3D
5.1 Avant Propos
Ce chapitre a pour objet d’appliquer les développements des chapitres précédents sur un produit 3D. Le réflecteur dont les paramètres thermiques et radiatifs sont connus, a donc été considéré pour une étude de faisabilité. Comme pour la plaque ABS, le flux absorbé par le réflecteur a été calculé au préalable dans EDStar, puis les températures atteintes par le réflecteur ont été déterminées. Le lecteur doit être averti sur le fait que le réflecteur ne constitue pas un cas critique. En effet, il n’est pas soumis à un flux radiatif fortement concentré. Cette étude ne permettra donc pas de démontrer l’efficacité de la méthode de Monte Carlo par rapport à la méthode des ordonnées discrètes.
Les répartitions des densités de flux, calculées dans EDStar, sont intégrées à la résolution des équations de transport de l’énergie. Notons que le mot choisi pour cette notion est « inté-gration ». Nous avons également opté pour le mot « chaînage » qui évoque la liaison établie entre les deux outils numériques EDStar et Fluent. Le terme couplage est ici impropre car le calcul radiatif est effectué une seule fois en amont de la simulation thermique, et les pa-ramètres radiatifs ne sont pas actualisés en fonction de la montée en température des surfaces.
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5.2. Généralités
5.2 G ´ en ´ eralit ´ es
5.2.1 Equation g ´en ´erale de transport
Chaque propriété du fluide notée de manière générique, Φ, obéit à l’équation générale de transport intégrée sur un volume fini (5.1). Cette équation comprend un terme instationnaire, un terme de convection, un terme de diffusion et un terme source.
Z
ΓΦ est le coefficient de diffusion et SΦ est le terme source.
L’équation (5.1) a pour sens physique de suivre l’évolution de la quantitéρDΦ
dt par unité de volume. La dérivée particulaire pour Φ s’écrivant également ρDΦ
dt = ∂(ρΦ)
∂t +div(ρΦv)1 Les équations de la masse, du mouvement et de l’énergie sont des cas particuliers de l’équation générale.
Les quantités Φ sont des propriétés du fluide comme la vitesse, l’énergie interne ou encore l’enthalpie (cf. Tableau5.1). Notons que la température est une variable fréquemment utilisée pour exprimer l’équation de la chaleur mais elle ne peut pas être considérée comme une propriété intrinsèque du fluide. La température utilisée comme variable apparaît dans une forme dérivée de l’équation de l’énergie ou de l’enthalpie, comme démontré en annexe G et plus particulièrement dans l’équation (G.22).
Nom de l’équation Variable Φ
Equation de la conservation de la masse ρ ou équation de continuité pour les milieux continus
Equation du moment vitesse :~v
Equation de bilan de l’énergie énergie interne : e ou enthalpie : h ou température : T Table5.1 – Particulatisation de l’équation générale de transport
Aux équations résolues par le solveur, s’ajoutent les conditions initiales et les conditions aux limites, celles-ci étant spécifiques à la frontière du domaine occupé par le fluide. Ces conditions sont détaillées ci-après lorsque nous nous intéressons au cas particulier du réflecteur.
Préalablement, il est proposé d’aborder brièvement la méthode DO implémentée dans Fluent.
5.2.2 La m ´ethode DO dans Fluent
Pour rappel, l’équation de transfert radiatif est résolue pour chaque direction ~s (cf. chapitre 1). L’accent est mis sur la discrétisation spatiale de l’espace et sur la manière dont sont gérés
1. Nous partons du postulat que :ρDΦ
Le terme 2 est nul en vertu de la loi de conservation de la masse, seul reste le premier terme.
Chapitre 5. Application sur un cas réel 3D
les flux radiatifs aux parois de type opaque.
5.2.2.1 Discr ´etisation de l’espace
Sur la figure 5.1, en se référant au repère R
0,~i,~j, ~k
, l’angle θ désigne l’angle polaire par rapport au vecteur direction~k etΦdésigne l’angle azimutal.
s
O
k
i
j
Figure 5.1 – Discrétisation de l’espace pour la méthode DO
Pour le rayonnement, chaque octant de l’espace des angles solides 4π est discrétisé enNθNΦ angles solides égaux, oùNθ est l’ordre de discrétisation selon θ, et NΦ est l’ordre de discré-tisation selonΦ. Cela donne un total de 8NθNΦ directions ~s. La résolution de l’équation de transfert radiatif par une méthode de type « volumes finis » suggère aussi une discrétisation spatiale du domaine.
Dans le cas présenté dans le manuscrit, la discrétisation est de type5555. Cela signifie que les divisions et les pixels selonΦetθsont au nombre de 5. Les équations sont résolues sur chaque bande spectrale pour laquelle le comportement radiatif est supposé gris, soit 200 équations au total sur chaque bande.
5.2.2.2 Conditions aux limites de type opaque
Les conditions aux limites des corps opaques et gris par bande sont traitées de la manière suivante dans Fluent. Une partie du rayonnement incident, appeléqin, est réfléchie de manière diffuse. Cette fraction réfléchie est notéefdet correspond à la grandeur définie dans le chapitre 3. Une autre part de l’énergie, fs, est renvoyée de manière spéculaire. Le reste du flux est absorbé et contribue au chauffage du matériau. Un rayonnement propre est également émis en surface.
• énergie réfléchie de manière diffuse : fd(1−εp)qin, où fd est le facteur de dif-fusion. Dans Fluent, la part du rayonnement réfléchi est scindée en deux parts, fs et fd. fs correspond à la part du flux réfléchi dans la direction spéculaire. fd est la part complémentaire répartie de manière isotrope dans l’espace.
• énergie réfléchie de manière spéculaire à la surface :(1−fd) (1−εp)qin. Page 124
5.3. Solution de chaînage entre EDStar et Fluent
• énergie absorbée à la surface :εpqin
• énergie émise en surface :εp,λ[F(0→nλ2Tp)−F(0→nλ1Tp)]n2σSBTp4.
[F(0→nλ2Tp)−F(0→nλ1Tp)] correspond à la fraction énergétique du corps noir dans la bande[λ1, λ2].
En résumé, les paramètres à renseigner dans Fluent pour les conditions aux limites des matériaux opaques sont l’émissivité, εp, et le facteur de diffusion, fd.