L’´eprouvette de type cruciforme

L’objectif de cette g´eom´etrie d’´eprouvette est d’obtenir un champ de d´eformations le plus h´et´erog`ene possible avec une grande diversit´e des chemins de d´eformations afin d’´etudier l’in- fluence du champ de d´eformation sur la convergence vers un minimum global. Pour g´en´erer un champ de d´eformation h´et´erog`ene ayant des zones dans le domaine de la bi-expansion (ε1 et ε2

positives) un essai de traction bi-axiale sur une ´eprouvette cruciforme peut ˆetre r´ealis´e. N’ayant pas eu la possibilit´e de r´ealiser cet essai, nous avons proc´ed´e comme pour la validation de la m´ethode FEMU, en g´en´erant un essai exp´erimental `a partir d’une simulation. Le couple de para- m`etre solution reste le jeu de param`etres P0 (K=800 MPa, n=0.66). Une optimisation est donc

r´ealis´ee `a partir d’un ”essai virtuel” de traction biaxiale fournissant les donn´ees exp´erimentales. La simulation ne tient pas compte de l’apparition de la striction ni de l’endommagement de la mati`ere qui se produirait lors d’un essai r´eel. Cela explique en grande partie le large spectre de d´eformation obtenu grˆace `a cet ”essai virtuel” illustr´e par la figure 5.22.

La g´eom´etrie de l’´eprouvette s’inspire des travaux de Lecompte [LEC 07] qui a travaill´e sur deux g´eom´etries d’´eprouvettes cruciformes trou´ees sollicit´ees en traction bi-axiale. L’utilisation d’une ´eprouvette trou´ee favorise la localisation de la d´eformation plastique dans la partie centrale de l’´eprouvette o`u se situent les d´eformations et les contraintes de bi-expansion, contrairement

−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Déformations principales minimales (en %)

Déformations principales

maximales (en %)

éprouvette Meuwissen éprouvette Haddadi éprouvette de traction biaxiale

Figure _{5.22 − Comparaison de la r´epartition des d´eformations g´en´er´ees lors d’essais de traction `a} partir des ´eprouvettes Meuwissen, Haddadi et cruciforme

aux branches de la croix qui sont soumis `a de la traction pure. La premi`ere g´eom´etrie lui a per- mis d’identifier le comportement ´elastique d’un mat´eriau composite renforc´e de fibres de verre (modules d’´elasticit´e et de cisaillement et cœfficient de poisson). Pour la seconde g´eom´etrie, l’´eprouvette en acier est utilis´ee pour l’identification d’un mod`ele de comportement plastique, la taille du trou de l’´eprouvette est dimensionn´ee de fa¸con `a ce que la section de l’´eprouvette soit constante. Cela permet ainsi d’´eviter la localisation des contraintes et l’apparition de la striction et de la rupture dans une zone privil´egi´ee. C’est dans cette optique que nous avons dimensionn´e notre ´eprouvette cruciforme dont la g´eom´etrie est repr´esent´ee figure 5.23.

Figure _{5.23 − G´eom´etrie de l’´eprouvette sollicit´ee en traction biaxiale}

La simulation num´erique de l’essai de traction bi-axiale est r´ealis´ee par sym´etrie sur un quart de l’´eprouvette comme l’illustre la figure 5.24 pr´esentant les champs de d´eformations principales maximales (a) et minimales (b).

La proc´edure d’identification inverse a donc ´et´e appliqu´ee `a cette g´eom´etrie. Le chargement impos´e pour cet essai permet d’obtenir des niveaux de d´eformations pour la ”derni`ere image”

5.3. INFLUENCE DE LA G´EOM´ETRIE D’´EPROUVETTE

(a) D´eformations principales maximales (b) D´eformations principales minimales Figure _{5.24 − Champs de d´eformations principales simul´es sous ABAQUS pour l’´eprouvette}

cruciforme de traction biaxiale

proches des niveaux obtenus pour l’essai de traction virtuel r´ealis´e `a partir de l’´eprouvette de type Meuwissen comme le montre la figure 5.22. L’influence du jeu de param`etres initial sur la solution finale est ´etudi´ee et les r´esultats sont pr´esent´es dans le tableau 5.8.

Initial Optimis´e

Param`etres Valeur de la fonction coˆut Param`etres Valeur de la fonction coˆut

P0 K=800 MPa 3.227 × 10−2 K=800 MPa 3.227 × 10−2

n=0.660 n=0.660

P1 K=200 MPa 10.143 × 10−2 K=801 MPa 3.226 × 10−2

n=0.200 n=0.660

P2 K=1500 MPa_n=1.000 8.235 × 10−2 K=802 MPa_n=0.660 3.227 × 10−2

Tableau _{5.8 − Influence du jeu de param`etres initial sur le calcul de la fonction coˆut pour} l’´eprouvette de biexpansion simul´ee

Contrairement au cas de l’´eprouvette Meuwissen utilisant une solution exp´erimentale calcu- l´ee, les r´esultats des optimisations fournissent toujours le mˆeme couple K=800 MPa et n=0.66 bien que seul un champ de d´eplacements soit consid´er´e (l’image finale cf. figure 5.24). L’augmen- tation de la diversit´e des chemins de d´eformations semble donc favoriser la convergence vers une solution unique. La carte de sensibilit´e de l’´eprouvette cruciforme (φ(K, n) en fonction de K et n) est pr´esent´ee sur la figure 5.25. Contrairement `a la ”vall´ee” et `a ses multiples minimas locaux rencontr´es dans le cas de l’´eprouvette de type Meuwissen (cf.figure 5.9), cette carte de sensibilit´e montre la pr´esence d’un puit autour du minimum global (ici autour du jeu de param`etre : K=800 MPa, n=0.66). Ces r´esultats montrent que des d´eformations plus h´et´erog`enes et une plus grande diversit´e de chemins de d´eformations favorisent la convergence vers un minimum global.

N’ayant pu r´ealiser un tel essai dans le cadre de notre ´etude, cette analyse ne sera pas approfondie davantage. La g´eom´etrie d´evelopp´ee par Haddadi sera donc utilis´ee dans la suite de l’´etude.

L’objectif de la premi`ere partie de ce chapitre ´etait dans un premier temps de valider la m´ethode de recalage de mod`ele ´el´ements finis utilis´ee (fonction coˆut sur les d´eplacements, condi- tions limites en d´eplacements, ...) puis d’´etudier l’influence du champ de d´eplacement, du nombre d’images et du jeu de param`etres initial sur la solution finale identifi´ee. L’enjeu maintenant est

0.71 1.03 2.17 2.1 0.246 0.211 0.175 0.139 0.0679 0.104 0.71 1.03 2.17 2.1 0.246 0.211 0.175 0.139 0.0679 0.104 0.104 0.0679 0.139 0.175 0.211 0.246 2.1 2.17 1.03 0.71 n K (MPa) 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 0.5 1 1.5 2 2.5 P2 P0 P1

Figure _{5.25 − Carte de sensibilit´e de l’´eprouvette de biexpansion (φ(P) vs. (K, n))}

d’utiliser cette proc´edure afin d’identifier des param`etres de mod`eles de comportement.