Identification ` a partir des r´esultats exp´erimentaux provenant de l’´eprou-

Un essai de traction sur l’´eprouvette de type Meuwissen est r´ealis´e sur la machine d’essais ´electrom´ecanique INSTRON pr´ec´edemment pr´esent´ee. La st´er´eo-corr´elation a ´et´e utilis´ee afin d’obtenir un certain nombre de champs de d´eplacements entre l’´etat initial et la rupture de l’´eprouvette. La g´eom´etrie d´evelopp´ee par Meuwissen pr´esente bien un champ de d´eformations h´et´erog`enes comme l’illustre la figure 5.10.

Figure _{5.10 − Cartographie des d´eformations principales maximales mesur´ees par Vic-3D}® pour l’´eprouvette Meuwissen

D´esormais, la proc´edure permettant de calculer pour chaque nœud du maillage EF un vecteur d´eplacement exp´erimental est utilis´e. Les conditions limites impos´ees sur les bords sup´erieurs et inf´erieurs de l’´eprouvette (cf. figure 5.11 (a)) sont directement les d´eplacements mesur´es exp´eri- mentalement par Vic-3D®_{. Cela permet de prendre en compte le d´eplacement de solide rigide}

comme d´emontr´e pr´ec´edemment.

Concernant le choix des images, il est important de noter que l’utilisation d’images prises apr`es striction n’est pas pertinente pour calculer la fonction coˆut. En effet, le mod`ele de com- portement ne prend pas en compte ce ph´enom`ene et il est donc primordial d’utiliser des donn´ees exp´erimentales obtenues avant l’apparition de la striction.

La figure 5.11 pr´esente les champs de d´eplacements selon l’axe de traction (simul´e (a) et exp´erimental (b)) obtenus `a partir d’ABAQUS (taille moyenne des ´el´ements finis 1 mm2_{) et}

Vic-3D®.

Ces cartographies proviennent d’une image que l’on nommera image finale, obtenue avant l’apparition de la striction. Les champs de d´eplacements simul´e et exp´erimental pr´esent´es sur la figure 5.11 sont relativement similaires ce qui permet de valider la proc´edure permettant d’im- poser les d´eplacements exp´erimentaux comme conditions limites pour la simulation num´erique. A chaque champ de d´eplacements est associ´e un champ de d´eformations. Chaque image couvre donc un certain niveau de d´eformations. La figure 5.12 pr´esente pour chaque image obtenue par corr´elation d’images, son niveau de d´eformations maximales par rapport `a la courbe contrainte- d´eformation obtenue `a partir d’un essai de traction standard dans la direction 90° pr´esent´es dans le chapitre 4.

L’influence du jeu de param`etres initial sur l’identification est ´egalement ´etudi´ee. Le tableau 5.3 pr´esente les r´esultats d’optimisation obtenus en partant de trois jeux de param`etres initiaux diff´erents (P0, P1 et P2) et en utilisant l’image finale dans le calcul de la fonction objectif.

Les r´esultats montrent que les trois jeux de param`etres ne convergent pas vers un minimum global, comme dans le cas de l’´eprouvette de type Meuwissen simul´ee pr´esent´ee pr´ec´edemment. L’optimisation `a partir de donn´ees provenant d’une seule image est donc fortement sensible au jeu de param`etres initial utilis´e. La partie suivante discute du choix du nombre d’images `a consid´erer

Figure _{5.11 − Cartographie des champs de d´eplacements selon l’axe de traction simul´ee (a) et} exp´erimentale (b) pour l’´eprouvette Meuwissen

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

Déformations principales maximales

Contraintes vraies (en MPa)

courbe de traction contrainte−déformation série de 5 images

série de 10 images série de 20 images

image finale

Figure _{5.12 − Niveau de d´eformations maximales atteintes pour chaque image dans le cas de} l’´eprouvette Meuwissen, superpos´e `a la courbe de traction simple

5.2. MISE EN ŒUVRE DE LA M´ETHODE FEMU POUR L’IDENTIFICATION DE LOIS D’´ECROUISSAGE

Initial Optimis´e

Param`etres Valeur de la fonction coˆut Param`etres Valeur de la fonction coˆut P0 K=800 MPa_n=0.660 8.021 × 10−2 K=982 MPa_n=0.509 1.171 × 10−2

P1 K=200 MPa_n=0.200 41.63 × 10−2 K=608 MPa_n=0.713 0.789 × 10−2

P2 K=1500 MPa 119.481 × 10−2 K=5610 MPa 4.834 × 10−2

n=1.000 n=1.372

Tableau _{5.3 − Influence du jeu de param`etres initial sur le calcul de la fonction coˆut pour} l’´eprouvette Meuwissen : utilisation de l’image finale uniquement

5.2.2.1 Sensibilit´e relative au nombre d’images

Plusieurs optimisations ont ´et´e r´ealis´ees en modifiant uniquement le nombre d’images utilis´ees. Trois s´eries sont donc consid´er´ees : 5, 10 ou 20 images. Les niveaux de d´eformations maximales des images utilis´ees dans ces s´eries sont pr´esent´es sur la figure 5.12.

Le tableau 5.4 compare les jeux de param`etres optimis´es obtenus en partant de P0 (K=800

MPa et n=0.66) pour diff´erents choix du nombre d’images `a utiliser. Optimis´e

Param`etres Valeur de la fonction coˆut

image finale K=982 MPa _{1.171 × 10}−2

n=0.509 5 images K=949 MPa _{1.379 × 10}−2 n=0.492 10 images K=1016 MPa _{1.212 × 10}−2 n=0.510 20 images K=967 MPa _{1.515 × 10}−2 n=0.495

Tableau _{5.4 − Influence du nombre des images sur le calcul de la fonction coˆut pour l’´eprouvette} Meuwissen : jeu initial P0 (K=800 MPa et n=0.66)

D’apr`es les r´esultats du tableau 5.4, modifier le nombre d’images modifie un peu le jeu de param`etres optimis´e. Cependant, le jeu de param`etres obtenu dans les quatre cas semble conver- ger vers une valeur que l’on peut estimer par la moyenne des quatre optimisations pr´ec´edentes : K=965.4 MPa (´ecart-type de 38.25 MPa) et n=0.494 (´ecart-type de 0.011). Cette analyse ne tient ´evidemment pas compte de l’influence du jeu de param`etres initial sur la convergence des r´esultats, abord´e dans la partie suivante.

5.2.2.2 Sensibilit´e relative au choix des param`etres initiaux pour une s´equence de dix images

L’optimisation est maintenant bas´ee sur les r´esultats extraits d’une s´erie de 10 images obte- nues avant striction. Le tableau 5.5 montre qu’une optimisation `a partir de 10 images dans le cadre de l’´eprouvette de type Meuwissen n’est pas perturb´ee par le choix du jeu de param`etres initial.

La figure 5.13 pr´esente la carte de sensibilit´e des param`etres K et n pour l’´eprouvette Meu- wissen pour une optimisation `a partir de 10 images (φ(K, n) en fonction de K et n). Dans les trois cas, l’optimisation converge vers un mˆeme jeu de param`etres : K=1016 MPa et n=0.51. Tout comme la carte de sensibilit´e de l’´eprouvette Meuwissen simul´ee, il n’existe pas cependant

Initial Optimis´e

Param`etres Valeur de la fonction coˆut Param`etres Valeur de la fonction coˆut P0 K=800 MPa_n=0.660 5.951 × 10−2 K=1016 MPa_n=0.510 1.212 × 10−2

P1 K=200 MPa_n=0.200 5.951 × 10−2 K=1016 MPa_n=0.510 1.212 × 10−2

P2 K=1500 MPa 8.327 × 10−2 K=1017 MPa 1.212 × 10−2

n=1.000 n=0.510

Tableau _{5.5 − Influence du jeu de param`etres initial sur le calcul de la fonction coˆut pour} l’´eprouvette Meuwissen pour 10 images

X= 0.26 Y= 200 Level= 0.049961 K (MPa) n X= 0.66 Y= 800 Level= 0.060308 X= 0.96 Y= 1500 Level= 0.079903 0.2 0.4 0.6 0.8 1 200 400 600 800 1000 1200 1400 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 P2 K=1016 n=0.51 P1 P0

Figure _{5.13 − Carte de sensibilit´e de l’´eprouvette Meuwissen pour une optimisation `a partir de dix} images φ(K, n) en fonction de K et n

de point de convergence mais plutˆot une ”vall´ee” constitu´ee de plusieurs minimas locaux. N´ean- moins, l’optimisation `a partir de plusieurs images favorise la convergence des solutions vers un minimum global situ´e dans cette ”vall´ee”.

La figure 5.14 montre la r´epartition des d´eformations principales maximales calcul´ees par ABAQUS sur l’´eprouvette de type Meuwissen pour l’image finale.

L’histogramme repr´esente le nombre d’´el´ements par classe de niveau de d´eformations. On ob- serve que la plupart des ´el´ements pr´esentent de petites d´eformations. L’augmentation du nombre d’images favorise une densification des donn´ees dans la zone des petites d´eformations (zone de transition ´elasto-plastique, d´eformations inf´erieures `a 2%) au d´etriment des grandes d´eforma- tions. Le jeu de param`etres optimis´e n’est donc peut ˆetre valable que dans le cas des petites d´eformations. L’objectif serait donc d’augmenter l’importance du ratio petites/grandes d´eforma- tions en faveur des grandes d´eformations de fa¸con `a avoir une ´equi-r´epartition des niveaux de d´eformations sur l’image.

Pour cela, un choix judicieux de la zone utile de l’´eprouvette permettrait de limiter l’impor- tance des petites d´eformations sur le calcul de la fonction coˆut. En effet des zones de grandes

5.3. INFLUENCE DE LA G´EOM´ETRIE D’´EPROUVETTE