Introduire les effets de l'hétérogénéité des pluies dans un modèle global : le cas des modèles de la famille GR

Présentation et description de la base de données

3.5. Introduire les effets de l'hétérogénéité des pluies dans un modèle global : le cas des modèles de la famille GR

Afin de tester l'introduction de notre indice d'hétérogénéité des pluies dans la modélisation globale, nous avons choisi le modèle GR4J (Génie Rural à 4 paramètres au pas de temps Journalier) du fait de la grande connaissance qu'en a l'équipe Hydrologie du Cemagref. Une structure similaire de ce modèle adaptée au pas de temps horaire a également été utilisée pour les tests à ce pas de temps. Ce modèle est dénommé GR4H (Mathevet, 2005). Au pas de temps journalier, Perrin (2000) a démontré sur un échantillon de 429 bassins versants que le modèle GR4J faisait partie des bons modèles de la littérature hydrologique actuelle. Au pas de temps horaire, Mathevet (2005) a démontré que GR4H était aussi un modèle robuste dans sa catégorie.

La fiabilité de ces structures permet de minimiser les niveaux d'erreurs dues au modèle dans le cadre de notre étude. Cependant, l'approche proposée ici aurait pu être adaptée à d'autres modèles du même type.

3.5.1 Présentation des modèles

3.5.1.1 GR4J : version globale initiale (Perrin et al., 2003)

Le modèle GR4J est un modèle pluie-débit de type global à réservoirs fonctionnant au pas de temps journalier. Pour une classification des différents types de modèles pluie-débit existants et ainsi savoir à quel niveau se situe GR4J, on se reportera à la classification proposée par Nascimento (1995). Ce modèle a été développé au cours de thèses successives encadrées au Cemagref et à l’ENPC (Edijatno, 1991; Makhlouf, 1994; Nascimento, 1995; Perrin, 2000) dans l'état d'esprit de son précurseur (Michel 1983) pour des applications à l’échelle du bassin versant. Ce modèle fait partie d'une famille de modèles GR fonctionnant à plusieurs pas de temps depuis l'annuel jusqu'à l'horaire (Mouelhi, 2003; Mathevet, 2005). Nous donnons ici une description succincte du modèle GR4J (voir (Perrin et al., 2003) pour une description complète). Ce modèle, dont un schéma est donné en Figure 3.6, fonctionne grâce à deux réservoirs, un de production et un de routage, deux hydrogrammes unitaires et une

fonction d'échange souterrain. Ces éléments font intervenir quatre paramètres optimisés pour chaque bassin en minimisant l'écart des débits simulés par le modèle aux débits observés.

Figure 3.6 Structure de GR4J et emplacement des réservoirs et de ses quatre paramètres (le détail des équations et la signification des variables sont disponibles en Annexe.5

Ces quatre paramètres de GR4J sont:

• la capacité du réservoir de production, X1 (mm) : ce réservoir contrôle la production des pluies efficaces à partir des entrées de précipitations, ainsi que les pertes par évapotranspiration.

• le coefficient d’échanges souterrains, X2 (mm) : il peut être soit positif dans le cas d’apports souterrains, soit négatif s’il y a des pertes d’eau, soit égal à zéro s’il n’y a pas d’échange. Il contrôle les échanges souterrains inter-bassins et varie en fonction du taux de remplissage du réservoir de routage. A défaut d'avoir une interprétation physique validée de cette fonction, il est probable qu'elle joue un rôle sur d’autres compartiments du bilan en eau. Des recherches sont en cours sur ce sujet (voir (Le Moine et al., 2007), thèse en cours au Cemagref)

• la capacité à un jour du réservoir de routage, X3 (mm) : ce réservoir non linéaire assure l'essentiel du transfert de l'eau et contrôle les phases de récession.

• le temps de base de l’hydrogramme unitaire HU1, X4 (jour) : deux hydrogrammes unitaires (HU1 et HU2) sont utilisés dans le modèle. Ils répartissent dans le temps les précipitations efficaces, et simulent le délai entre les pluies et les pics des crues. Les deux hydrogrammes unitaires dépendent du même paramètre de temps X4, exprimé en jours.

Le modèle GR4J a été testé dans plusieurs pays et a montré de bons résultats en comparaison à d’autres modèles pluie-débit (Perrin et al., 2003). Il peut facilement être appliqué sur des bassins différents, dès lors que l’on dispose des données nécessaires en entrée (pluie et ETP). Toutes les quantités d’eau (entrée, sortie, variables internes) sont exprimées en mm, c'est-à-dire en lames d’eau en divisant les volumes d’eau par la superficie du bassin versant quand cela est nécessaire.

3.5.1.2 GR4H : version globale initiale (Mathevet, 2005)

La structure de ce modèle fonctionnant au pas de temps horaire est quasi identique à celle fonctionnant au pas de temps journalier à la différence que cette version utilise un seul hydrogramme unitaire de type HU2 en amont des deux branches séparant le transfert et que certains des paramètres fixes sont modifiés au niveau de la fonction de percolation et de la fonction d'échanges pour être adaptés au pas de temps horaire. Les équations régissant ces modèles sont présentées en détail en Annexe 5.

3.5.2 Où introduire les modifications pour tester l'hypothèse dite Pic ? 3.5.2.1 Principe d'introduction

On rappelle que l'hypothèse Pic (voir 3.2) est basée sur le fait que la variabilité spatiale des précipitations génèrerait plus d'écoulements dits "directs" mais sans changement du bilan en eau par rapport à une précipitation homogène de même lame d'eau.

Bien que certaines hypothèses sur l’effet de l’hétérogénéité spatiale des précipitations sur les écoulements soient justifiées par la physique des processus (par exemple, ruissellement hortonien), il est difficile de dire a priori sur quels composants du modèle on doit faire agir l’indice d'hétérogénéité défini préalablement.

Nous allons introduire l’indice à plusieurs endroits dans la structure du modèle (notés de A à E par la suite) :

• au niveau de la pluie nette (approche A). Selon certaines thèses, la variabilité spatiale des pluies produit plus d'écoulement qu'une même lame d'eau moyenne homogène.

Ainsi, l'indice pourrait agir directement sur la quantité de pluie en entrée.

• au niveau de la fonction de production (B). Par analogie avec les processus hydrologiques sensibles à la variabilité spatiale des précipitations, on peut penser que la variabilité spatiale de précipitations peut agir sur la répartition des écoulements au niveau du réservoir de production en modulant son taux de remplissage et donc le rendement d’une pluie.

• au niveau de la fonction de transfert (C). Les écoulements, après la production sont séparés en une branche dite directe allant vers l'exutoire après convolution par l'hydrogramme HU2 et une branche passant par le réservoir de routage après convolution par l'hydrogramme HU1. La séparation de ces deux branches est considérée comme fixe (répartition établie empiriquement à 10 % de l'eau vers la branche rapide et 90 % vers la branche passant par le réservoir de routage). La variabilité spatiale des pluies et leur positionnement sur le bassin pourraient modifier la répartition entre les deux branches d’écoulement, amenant par exemple plus d'eau vers la branche directe qui peut être assimilée aux écoulements rapides.

• au niveau du temps de transfert (approche D). La variabilité spatiale des pluies et leur positionnement sur le bassin pourraient produire une part plus importante d'écoulements de surface plus rapides et ainsi agir sur le temps de réponse du bassin.

Au sein du modèle, l'indice pourrait agir directement sur le temps de transfert de la pluie gouverné par les hydrogrammes unitaires et le paramètres X4 assimilé au temps de réponse du bassin.

• au niveau des échanges (approche E). Les valeurs du coefficient d'échange souterrain pourraient servir de coefficients correcteurs des pluies d'entrée et par la même occasion pourraient être utiles pour prendre en compte l'hétérogénéité des pluies. Au sein du modèle, l'indice pourrait agir directement sur la valeur de ce coefficient d'échanges et ainsi faire rentrer ou sortir plus ou moins d'eau suivant l'hétérogénéité des pluies.

Les emplacements des approches A, B, C, D et E au sein du modèle GR sont illustrés en Figure 3.7

Figure 3.7 Emplacement des modifications A, B, C, D et E au sein de la structure du modèle GR4J

Dans chaque cas, on va considérer deux hypothèses inverses sur l’effet de l’hétérogénéité des pluies, à savoir :

• Hypothèse dite de Base : la forte hétérogénéité spatiale de la pluie va avoir tendance à augmenter le rendement (augmentation de la pluie efficace) ou à favoriser les écoulements directs de surface. Au contraire, une pluie très homogène dans l'espace favorisera la stockage. Cette hypothèse correspond à ce qui est généralement admis dans la littérature ;

• Hypothèse dite Inverse : inversement, la forte hétérogénéité spatiale de la pluie va avoir tendance à limiter la production de pluie efficace et favoriser l’infiltration (donc des écoulements plus lents). Les pluies réparties de façon homogène dans l'espace auront sous cette hypothèse tendance à provoquer des écoulements plus rapides.

Ces hypothèses sont valables pour le fonctionnent des deux types d'indice : statistique (IND) ou de Localisation (IND_L). Une pluie dite hétérogène peut être soit extrêmement variable statistiquement et/ou concentrée sur une partie plus ou moins distante de l'exutoire du bassin versant.

3.5.2.2 Formulation mathématique des introductions de l'indice au sein du modèle

L’introduction d’un indice, qui va modifier temporairement le fonctionnement du modèle, doit être faite de manière à ne pas déstabiliser complètement celui-ci. En effet, le modèle calé avec des pluies globales sur le bassin donne une première idée du fonctionnement hydrologique du bassin versant, et c’est sur cette base que le fonctionnement du modèle doit être modifié pour obtenir une représentation améliorée du bassin. L’introduction de l’indice devrait permettre au modèle de s’écarter temporairement de son fonctionnement de base, tout en restant sur le long terme proche de son fonctionnement moyen. En effet, nous voulons agir uniquement quand la structure des pluies du pas de temps considéré s'écarte de la position médiane de ces pluies. Cette position médiane est celle qui est globalement prise en compte au sein du modèle via les paramètres qui s'adaptent à ce fonctionnement moyen.

Par exemple, le fonctionnement moyen d'un bassin peut être celui d'une hétérogénéité systématique des pluies entre l'amont et l'aval dans le cas d'un régime de précipitations dominé par des pluies orographiques. C'est lors de l'occurrence d'événements de structures différentes, plus ou moins renforcés, que l'indice va intervenir.

Pour cela, nous avons choisi de faire correspondre le fonctionnement moyen du bassin à la valeur médiane de l’indice d’hétérogénéité des pluies observé sur le bassin. Lorsque l’indice sera égal à cette valeur médiane, le fonctionnement de base du modèle restera inchangé.

Lorsqu’il sera plus fort ou plus faible que cette médiane, le fonctionnement sera modifié dans des sens opposés.

Ce mode d’introduction doit, a priori, moins déstabiliser le modèle qu'une introduction brutale qui consisterait à faire agir l’indice de manière univoque en partant d’une situation d’hétérogénéité ou d’homogénéité maximale, par exemple en considérant que l’écoulement est augmenté dès que la pluie n’est plus homogène et ce d’autant plus que la pluie est hétérogène. En effet, une introduction brutale pourrait introduire des modifications du bilan en eau qui pourraient se révéler préjudiciables pour le modèle.

Nous choisissons donc d’utiliser ici un indice centré autour de la valeur médiane de l’indice d’hétérogénéité. Cet état d’hétérogénéité médian des pluies d’entrée sera désormais considéré comme le cas de neutralité par rapport au modèle initial. Et, on considérera des modifications opposées l’une de l’autre sur le fonctionnement du modèle, suivant que l’indice aura une valeur plus ou moins élevée que la médiane qui représente donc une valeur pivot.

On détaillera les approches les plus délicates à interpréter et à mettre en œuvre comme les approches B et C, les trois autres approches seront présentées de façon synthétique dans le Tableau 3.1 pourIND; pour l'indice IND_L ces trois approches sont présentées dans le Tableau 3.2.

Approche B : Affaiblir ou augmenter les écoulements vers le réservoir de production

Il s'agit ici de travailler sur la détermination de la pluie efficace Pr qui alimente l’écoulement et de sa partie complémentaire Ps qui alimente le réservoir de production. Ces deux quantités sont issues de la séparation de la pluie nette Pn opérée par la fonction de rendement, qui est une fonction du taux de remplissage du réservoir de production. L’idée est ici d’utiliser l’indice pour diminuer ou augmenter la pluie efficace, et symétriquement augmenter ou diminuer la partie complémentaire Ps.

Dans la suite, on désignera par IND (respectivementIND_L), l’indice d’hétérogénéité de la pluie pour un jour donné et par IND~

(respectivementIND~_L

), sa valeur médiane pour les pluies de la période de données disponible. Cette valeur médiane est utilisée comme valeur centrale synonyme de neutralité de l’action de l’indice.

Hypothèse de Base

Cette hypothèse consiste à dire que si la pluie est plus hétérogène que la valeur de l'hétérogénéité médiane sur toute la chronique de pluie (ou pour IND_L: la pluie est plus à l'amont que la distance médiane des pluies par rapport à l'exutoire), on diminue la pluie efficace Pr et donc on augmente Ps.⁸ Elle peut s'écrire de la façon suivante :

SiIND IND~

> , alors

)

~)(

(

* Ps K IND IND Pn Ps

Ps = + − −

et Pr*= Pn−Ps*

Eq. 12

SiIND IND~

≤ , alors

Ps IND D IN K Ps

Ps ~ )

(

*= − −

et Pr*= Pn−Ps*

Eq. 13

où Pr* et Ps* sont respectivement la nouvelle pluie efficace et sa partie complémentaire après introduction de l’indice d’hétérogénéité des pluies, et K est un coefficient multiplicateur appartenant à [0;1] (à déterminer par essais successifs) permettant de moduler et ainsi d'adapter le degré d’influence de l'indice sur les fonctions concernées.

Lorsque K vaut 0, on retombe sur la formulation du modèle initial.

Ces formulations permettent d’assurer la continuité des quantités d’eau présentes, la somme de Pr* et Ps* restant bien égale à Pn.

Cependant, les cas où l'on augmente la valeur de Ps sont soumis à condition. En effet, cette quantité peut devenir supérieure au déficit de saturation du réservoir de production. La valeur Ps* doit donc être majorée par la valeur de ce déficit, tout surplus rejoignant la quantité Pr.

8 Les emplacements de ces quantités ainsi que les équations régissant le modèle GR4 sont décrites en Annexe C.5 (Présentations des modèles utilisés).

Hypothèse Inverse

Cette hypothèse consiste à dire que si la pluie est plus hétérogène que la pluie médiane (ou pour IND_L: la pluie est plus à l'amont que la distance médiane des pluies par rapport à l'exutoire), on augmente la pluie efficace et donc on diminue Ps :

SiIND IND~

Approche C : Modification du coefficient séparateur des écoulements

Il s'agit ici de travailler sur la séparation des composantes d’écoulement dans le modèle.

Initialement, cette séparation est fixe et correspond à 90% de la pluie efficace routée par l’hydrogramme unitaire HU1 et le réservoir de routage, et à 10% de la quantité routée par l’hydrogramme unitaire HU2.

Partant de l’hypothèse que l’hétérogénéité de la pluie peut avoir un impact sur le mode de transfert des écoulements jusqu’à l’exutoire, nous avons voulu voir ici l’effet de l’introduction de l’indice sur le taux de séparation des écoulements.

Hypothèse de Base

Cette hypothèse consiste à dire que si la pluie est plus hétérogène/ou plus à l'amont que la pluie médiane, on diminue la part d'écoulement allant vers HU2 (

τ

²) et donc on augmente la partie complémentaire allant vers HU1 puis le réservoir de routage (

τ

¹^{) :}

SiIND IND~

≤ , alors

τ τ

τ

²^*⁼ ²⁺^K⁽^IN^D^~⁻^IND⁾ ¹

τ

₁*⁼

τ

₁⁻

τ

₂*

Eq. 17

où

τ

₂*^et

τ

¹^* sont respectivement les nouveaux taux de séparation des composantes d'écoulement vers l'hydrogramme HU2 et vers l'hydrogramme HU1 après introduction de l’indice d’hétérogénéité des pluies, et K est un coefficient multiplicateur appartenant à [0;1]

ayant le même rôle que dans l'approche A.

Ces formulations permettent d’assurer la continuité des quantités d’eau présentes, la somme

τ

^{et de}

τ

¹^*restant bien égales à 1.

Hypothèse Inverse

Cette hypothèse consiste à dire que si la pluie est plus hétérogène ou plus à l'amont que la pluie médiane, on augmente la part d'écoulement allant vers HU2 (

τ

²) et donc on diminue la partie complémentaire allant vers HU1 (

τ

¹^{) :}

SiIND IND~

> , alors

τ τ

τ

²^*⁼ ²⁺^K⁽^IND⁻^IN^D^~⁾ ¹

τ

₁*⁼

τ

₁⁻

τ

₂*

Eq. 18

SiIND IND~

≤ , alors

τ τ

τ

²^*⁼ ²⁻^K⁽^IN^D^~⁻^IND⁾ ²

τ

₁*⁼

τ

₁⁻

τ

₂*

Eq. 19

Tableau 3.1. Récapitulatif des approches de modifications effectuées au sein du modèle avec l'indiceIND et sa valeur médiane IND~

sur la chronique des pluies

Approche Hypothèse On rappelle que les sens de modification dépend du signe

de ~)

(IND−IND

Signification des variables

DE BASE on augmente la pluie nette d'entrée.

INVERSE on diminue la pluie nette d'entrée.

INVERSE on augmente le temps

de réponse ~ ) 4

9 Cette valeur dépend de la valeur du paramètre d'échange et du taux de remplissage du réservoir de routage.

Les sens de modification vont aussi dépendre du signe du paramètre d'échange.

Tableau 3.2. Récapitulatif des essais de modifications effectuées au sein de modèle avec

On rappelle que les sens de modification dépend du

INVERSE on diminue la pluie nette

d'entrée. P P K IND_L IND~_L)P

INVERSE on augmente le temps de

réponse ~ ) 4

10 Cette valeur dépend de la valeur du paramètre d'échange et du taux de remplissage du réservoir de routage.

Les sens de modification vont aussi dépendre du signe du paramètre d'échange.

3.5.3 Où introduire les modifications pour tester l'hypothèse Volume ?

3.5.3.1 Principe d'introduction

On rappelle que l'hypothèse dite Volume (voir 3.2) est basée sur le fait que la variabilité spatiale des précipitations modifierait la quantité en entrée du système avec par exemple une mauvaise quantification de l'ETP ou une sous-estimation de la pluie de bassin en raison d'un réseau trop lâche (événements de pluie évitant une partie du réseau au sol).

L'idée est d'utiliser l'indice d'hétérogénéité comme coefficient correcteur variable des pluies.

Nous avons comparé l'effet de ce coefficient correcteur, calculé à chaque pas de temps sur les pluies en fonction de leur répartition spatiale, à l'effet d'un coefficient correcteur systématique (constant) qui permettrait de retrouver globalement les mêmes quantités de pluies en entrée du modèle sur la période. En effet, les vecteurs de paramètres s'adaptent aux quantités en entrée des modèles, notamment à l'aide de leur fonction de production. En conséquence, si on augmente les quantités totales d'eau en entrée, les paramètres vont s'adapter et il sera difficile de comparer les performances de la version modifiée et la version globale qui servait de référence. De plus, les modèles accueillent généralement favorablement en terme de performances le fait d'augmenter les quantités d'eau brute en entrée (Oudin et al., 2006b)¹¹. Pour cette raison, il est important de comparer les performances de modèles recevant des quantités d'eau comparables en entrée, afin de ne pas introduire un biais qui conduirait à une mauvaise interprétation des résultats. L'objectif est donc bien d'évaluer l'intérêt d'un coefficient correcteur des pluies variable, dépendant de leur hétérogénéité par rapport à un coefficient correcteur fixe conduisant globalement aux mêmes volumes de pluies en entrée du modèle. Ce coefficient correcteur va donc être dépendant de la valeur de l'indice d'hétérogénéité statistique des précipitations d'entrée.

La philosophie d'introduction d'indice est différente par rapport à l'hypothèse dite Pic car ici on va augmenter dans un seul sens les quantités d'eau totales alors que pour l'autre hypothèse on se basait sur un équilibre des quantités d'eau autour d'une situation médiane.

On ne fera donc plus référence à IND~

définissant la situation médiane du bassin en termes d'indice

11 Un modèle a beaucoup plus de facilité à se débarrasser d'eau excédentaire via par exemple sa fonction d'échange que de faire venir de l'eau en cas de déficit

Pour tester l'hypothèse dite Volume, on va continuer comme dans l'hypothèse précédente (Pic) à considérer deux hypothèses inverses sur l’effet de l’hétérogénéité des pluies, à savoir :

• Hypothèse dite de Base : l’hétérogénéité de la pluie provoquerait une sous-estimation de la pluie de bassin. Cette hypothèse, qui correspond à ce qui est généralement admis dans la littérature, constitue ce que nous appellerons dans la suite l’hypothèse de Base.

• Hypothèse dite Inverse : inversement, l’hétérogénéité de la pluie va avoir tendance à provoquer une surestimation de la pluie de bassin (ou plutôt on aura tendance à sous-évaluer les pluies en cas d'hétérogénéité : par exemple le réseau voit les intensités maximales d'une pluie qu'on extrapole à tous les bassins alors qu'il a moins

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