Chapitre 5 L'alignement géométrique des données
3.3 L'interpolation de Shannon apodisée
Cette méthode consiste à tronquer la fonction d'échantillonnage sinc(x) sur l'intervalle [-N,N]. Nous avons vu qu'une simple troncature entraînait des artefacts radiométriques (effets de Gibbs). Pour éviter ces phénomènes de rebond, il est possible d'utiliser une fenêtre d'apodisation définie sur l'intervalle [-N, N]. Cette fenêtre d'apodisation a pour effet de diminuer les rebondissements radiométriques avec, en contrepartie, une augmentation de la taille de transition entre la bande passante et celle d'annulation qui se traduit par une relative perte de la sélectivité du filtre passe-bas. Il existe plusieurs méthodes d'apodisation dont les caractéristiques d'annulation des rebonds et d'augmentation de la taille de transition sont sensiblement différentes. La fenêtre de pondération de Hamming (Delmas, 1991) semble un bon compromis entre ces deux caractéristiques :
h(x,N) = 0,54 + 0,46cosπNx1I
[-N,N](x) [B-38]
De manière plus générale, on définit la fenêtre de pondération : h(x,α,N) = α + (1-α)cosπNx1I
[-N,N](x) [B-39]
Cette notation paramétrique en fonction de α a l'avantage de pouvoir modéliser une apodisation de Hamming lorsque α est égal à 0,54, une apodisation de Hanning lorsque α est égal à 0,5 et enfin aucune apodisation du tout (fenêtre rectangulaire) lorsque α est égal à 1.
On définit alors la fonction interpolatrice sN,shaα par :
3.3.1 Etude du biais
La fonction interpolatrice ne respecte a priori pas la condition [B-11]. Les valeurs de ΣN,shaα sont obtenues par la relation :
∀ε∈ [0,1[ ∑N,shaα(ε) =
∑
k=-NN-1
h(ε+k,α,N sinc() ε+k) [B-41]
Pour assurer cette condition, il faut ajouter un terme de correction qui correspond à la répartition de l'écart de ΣN,shaα(ε) à 1 sur l'ensemble des valeurs de sN,shaα. On obtient alors la définition finale de l'interpolation de Shannon apodisée :
sN,shaα(x) = h(x,α,N)sinc(x) + 1 2N 1-
∑
k=-N N-1h(x-En[x]+k,α,N sinc() x-En[x]+k) [B-42]
3.3.2 Etude des écarts de SN,shaα(ν) par rapport au filtre passe-bas
Pour évaluer l'impact du choix de la taille de la troncature N, nous avons évalué la variation des positions des bandes du gabarit en fonction de ce paramètre (figure B-9).
ν1
ν2
ν3 = ν2
ν0 = ν2
Largeur de la transition
Figure B-9. Représentation des paramètres du gabarit de SN, 0,54sha (ν) pour N∈[2, 12].
Cette figure permet de vérifier que la qualité du gabarit augmente bien avec la taille de la troncature. Cependant, le gain d'une augmentation de N, quoique toujours positif, diminue sensiblement à chaque incrément de N. Compte tenu de la complexité qu'entraîne une augmentation de la taille de la troncature, choisir N = 10 nous semble un bon compromis.
Figure B-10. (a). Représentation de |S10, 0,54sha (ν)| ainsi que de son gabarit(ε1 = ε2 = 0,02).
Le gabarit de |S10, 0,54sha (ν)|, figure B-10, montre que la fonction d'interpolation s 10, 0,54 sha (ν) présente une excellente bande passante ([0, 0,43Fe]) tout en ayant très forte atténuation (quasi-totale) au delà 0,57Fe sans problème d'apparition de maxima dans l'une ou l'autre des deux bandes : le filtrage assuré par l'interpolation de Shannon apodisée présente des caractéristiques fréquentielles bien meilleures que celle de l'interpolation cubique.
3.3.3 Etude de l'erreur lors de l'application d'une translation sub-pixellaire
Figure B-11. Représentation de l'amplitude maximale A10, 0,54sha (ν) de l'erreur de translation en
fonction de la fréquence normalisée ν.
La figure B-11, présentant l'amplitude maximale de l'erreur de translation (pour N = 10), montre que cette erreur est extrêmement faible pour une plage très grande de fréquence : sur la bande passante du filtre, l'erreur ne dépasse pas 15.10-4R. Il est à noter que l'erreur de
translation n'est pas strictement nulle au voisinage de la fréquence nulle : elle est de l'ordre de 4.10-4R. L'interpolation de Shannon induit donc une très légère modification imperceptible du centre de masse du signal interpolé.
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Conclusion
Procéder au rééchantillonnage d'un signal — ou d'une image — dégrade immanquablement et irrémédiablement l'information contenue dans ce dernier. Même si la quantification exacte est difficile car très variable en fonction du signal lui-même, cette dégradation est liée à l'écart du filtre sous-jacent de la méthode d'interpolation au filtre passe-bas parfait prévu dans le théorème de reconstruction de Shannon. Pour qualifier cet écart, nous avons proposé un gabarit ainsi que des paramètres permettant sa description et sa comparaison avec d'autres méthodes.
Nous avons de plus identifié un autre type d'erreur plus insidieuse et généralement moins prise en compte : l'écart entre le champ de rééchantillonnage désiré pour la correction géométrique et le champ de rééchantillonnage effectif après rééchantillonnage. Nous avons montré qu'il est possible d'obtenir, moyennant certaines hypothèses, une expression analytique permettant une bonne approximation de cette erreur dans le cas d'un champ de rééchantillonnage de type translation. Même si cette estimation est obtenue dans le cas simple de translation, nous pensons qu'elle demeure caractéristique du comportement des méthodes d'interpolation dans le cas de champs de disparité plus complexes. Cette erreur dépendant à la fois de la fréquence et de la translation injectée lors du rééchantillonnage, son interprétation physique est difficile. Il est cependant possible d'évaluer l'amplitude maximale de cette erreur en fonction uniquement de la fréquence. Cette évaluation permet d'une part d'estimer le biais introduit par la méthode d'interpolation sur le centre de masse du signal après rééchantillonnage en évaluant l'amplitude maximale sur un voisinage proche de la fréquence nulle. Elle permet d'autre part d'évaluer l'erreur maximale sur la bande passante du filtrage. Cette valeur maximale de l'erreur pourra donc être comparée à celles d'autres méthodes ou encore à des seuils de tolérance qui peuvent être spécifiés par ailleurs.
Pour un même nombre d'éléments pris en compte lors de l'interpolation d'une valeur (4 ou 16 selon que la dimension du signal est de un ou deux), l'interpolation cubique est sûrement la plus indiquée tant sur le plan de la qualité du rééchantillonnage que sur le plan de la complexité et du temps de calcul. Il est à noter que cette méthode dispose d'un paramètre a dont le choix et les diverses implications sont discutés au paragraphe 3.2.4.
Cependant avec les moyens informatiques croissants, l'argument de la rapidité d'exécution n'est plus, sauf cas particulier, réellement primordial. Le gain de qualité dès que le nombre d'éléments dépasse 6 (N = 3) de l'interpolation de Shannon apodisée justifie pleinement son emploi. Il semble toutefois que le rapport entre le gain de qualité et le temps de calcul décroît avec l'augmentation de N : nous proposons comme compromis la valeur N = 10 qui permet d'obtenir d'excellents résultats.
Pour diminuer la complexité des calculs de l'interpolation de Shannon apodisée sur [-N,N], nous avons étudié la possibilité d'approcher la fonction interpolatrice de Shannon par une fonction de type C1 définie par 2N polynômes de degré trois sur les 2N intervalles
{
[k, k+1]}
k∈[-N, N-1]. Cette approche est une sorte de généralisation de l'interpolation cubique à un intervalle plus grand que [-2, 2]. Sans entrer dans les détails, on peut montrer que l'interpolation correspondant à cette approche ne modifie pas la moyenne du signal après interpolation uniquement si la fonction interpolatrice définie par morceaux présente une dérivé nulle au point N. En particulier, cette condition est atteinte lorsque la fenêtre d'apodisation de l'interpolation de Shannon servant de modèle est celle de Hanning mais ne l'est pas si l'on choisit celle de Hamming. Il est intéressant de noter que l'interpolation cubique, avec comme valeur de paramètre -0,5, correspond exactement à l'approximation de l'interpolation de Shannon apodisée par la fenêtre de Hanning d'extension [-2, 2]. Jusqu'à N = 6, la qualité de cette méthode d'interpolation est sensiblement comparable à la méthode d'interpolation de Shannon apodisée. Cependant, au delà N = 6, la qualité de cette l'interpolation stagne et son utilisation à la place de l'interpolation de Shannon apodisée n'est plus réellement justifiée.Nous conclurons sur deux remarques concernant non pas une méthode d'interpolation particulière mais plutôt l'emploi d'un rééchantillonnage en général. Tout d'abord, quelle que soit la méthode choisie, l'acte du rééchantillonnage dégrade l'information (à des degrés et des niveaux différents). Il est donc recommandé d'en minimiser le nombre en ayant recours à la composition de champs de rééchantillonnage.
Enfin, à moins de modifier la méthode d'interpolation comme nous le préconisons au paragraphe 2.4, un rééchantillonnage de l'image suivant un champ de disparité conduisant à un sous-échantillonnage (par exemple, diminution de la taille de l'image) introduit généralement des phénomènes de repliement de spectre qui peuvent être extrêmement préjudiciables à l'information contenue dans l'image.
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