Conclusion sur la qualité de l'estimateur

Nous avons tout d'abord mis en évidence un biais systématique de l'estimateur dépendant de manière sinusoïdale de la partie fractionnaire de la translation que l'on cherche à évaluer.

Plusieurs pistes sont envisageables pour éliminer ou atténuer ce biais systématique. La première piste consiste à évaluer a priori ce biais et à le retrancher au résultat de l'estimation. La relation [C-19] nécessite la connaissance du signal θh avant échantillonnage pour pouvoir évaluer le repliement de spectre et le terme d'erreur d'invariance par translation Z. Cette connaissance n'est généralement pas disponible. Cependant, il pourrait être envisageable d'entreprendre une étude de sensibilité de ce biais systématique au paysage observé (signal θ). De cette étude pourrait alors émerger des profils types de biais systématique qui pourraient être choisis par exemple en fonction du type du paysage observé (forêt, zone urbaine ou périurbaine, etc.) et des paramètres du moyen d'observation considéré (FTM, pas d'échantillonnage, etc.).

La deuxième piste consiste en l'élimination du repliement de spectre dans les images acquises. Cette élimination peut être effectuée au moyen de filtres passe-bas éliminant la partie du spectre proche de la demi-fréquence d'échantillonnage la plus susceptible d'être "touchée" par des problèmes de repliement de spectre. Le choix de la fréquence de coupure de ces filtres est généralement délicat car le repliement de spectre dépend localement du signal en provenance du paysage que nous ne connaissons pas. Une autre possibilité, finalement équivalente mais plus simple, consiste en la modification du noyau de convolution utilisé pour l'interpolation de la fonction de corrélation discrète. Ainsi, une dilatation de facteur α (α > 1) de ce noyau permet non plus un filtrage passe-bas entre -Fe/2 et Fe/2 — correspondant à une interpolation normale — mais à un filtrage passe-bas de bande passante réduite correspondant à l'intervalle [-Fe/2α, Fe/2α]. Cette dilatation permet donc d'éliminer simplement du calcul de la fonction de corrélation interpolée les composantes hautes fréquences près de Fe/2. Là aussi, le choix du facteur de dilatation — et donc la fréquence de coupure — est délicat.

On aboutit ainsi à une conclusion peu intuitive, déjà énoncée par Alexander et Ng (1991) dans le cadre de l'estimation de la position d'un objet simple (cylindre) dans une image : le biais systématique de l'estimateur, essentiellement dû à la présence de repliement de spectre, est d'autant plus faible que les images choisies pour l'estimation sont floues.

Cependant, le biais n'est qu'une composante de la précision de l'estimateur, pouvant être quantifiée par l'erreur quadratique moyenne (EQM) : il faut donc aussi considérer l'autre composante que constitue l'écart type de l'estimateur.

Nous avons vu que cet écart type est inversement proportionnel à l'écart type du gradient ainsi qu'à la racine carrée du rapport signal sur bruit des images. L'écart type est donc d'autant plus grand que l'image est floue. Il y a donc un compromis à trouver entre une réduction du biais et une augmentation de l'écart type pour, en définitive, obtenir une erreur quadratique moyenne la plus faible possible. Le choix de ce compromis dépend, bien sûr, aussi du niveau de bruit dans les deux images considérées.

Pour illustrer ce propos, nous avons évalué, par simulation, l'erreur quadratique moyenne de l'estimateur pour cinq niveaux de bruit (-∞, -29 dB, -23 dB, -20 dB et -17 dB) et sept niveaux de FTM0,5 de 0,1 à 0,4, par pas de 0,5. Les différentes FTM modélisées correspondantes permettent de simuler différents niveaux de flou et donc, aussi, différents degrés de repliement. Les cinq courbes, définies pour chaque niveaux de bruit, de l'erreur quadratique moyenne mesurée en fonction de FMT0,5 sont représentées sur la figure C-7. Par souci de simplicité, nous avons uniquement évalué la moyenne de l'EQM suivant sur une période complète de translation. 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

FTM du capteur à la demi-fréquence d'échantillonnage

A m pli tude m o y e n n e d e l 'E Q M de l 'e s ti mat e u r RSB = -∞ RSB = -29 dB RSB = -23 dB RSB = -20 dB RSB = -17 dB

Figure C-7. Courbes de l'erreur quadratique moyenne de l'estimateur évaluées par simulation pour différents niveaux de bruits, en fonction du niveau de la FTM à la demi-fréquence d'échantillonnage.

On note que pour les trois plus forts rapports signal sur bruit, l'EQM de l'estimateur est d'autant meilleure que la FTM simulée est floue (FTM0,5 faible). En effet, dans ce cas, la part du biais systématique dans l'EQM est plus importante que celle de l'écart type : la valeur de FTM0,5 optimale vis-à-vis de l'EQM est alors plus faible que 0,1, la plus petite valeur de FTM0,5 simulée.

Pour les deux plus faibles rapport signal sur bruit (-20 dB et -17 dB), l'EQM présente un minimum pour une valeur approximative de FTM0,5 respectivement de 0,15 et 0,25. En effet, lorsque le niveau de bruit augmente, la part de l'écart type dans l'EQM devient de plus en plus importante : le compromis biais / écart type est alors atteint pour des FTM de moins en moins floues.

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COMMUNICATION AU SYMPOSIUM

COMMISSION II D'ISPRS

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Introduction

ISPRS (International Society for Photogrammetry and Remote Sensing) est une organisation non gouvernementale qui a pour but de favoriser la coopération internationale pour le développement de la photogrammétrie et de la télédétection et de leurs applications.

ISPRS est composée de sept commissions techniques. Chacune de ces commissions organise chaque année une conférence. En particulier, la commission II, dont le centre d'intérêt concerne les systèmes pour le traitement, l'analyse et la représentation des données, a organisé sa conférence annuelle la semaine du 13 au 17 juillet 1998 à Cambridge. Cette conférence a réuni environ 200 personnes pour 15 nationalités pour plus de cinquante présentations techniques. Ces présentations sont organisées en huit groupes de travail correspondant à des thèmes particuliers :

II/1 : real time mapping technologies

II/2 : software and modelling aspects for integrated GIS II/3 : spatial data handling technologies

II/4 : systems for processing SAR data

II/5 : systems for integrated geoinformation production

II/6 : integrations of image understanding into cartographic systems II/7 : practical and implementation issues in digital mapping

II/8 : digital systems for image analysis

La communication présentée à ce symposium correspondait au groupe de travail II/8.

Dans la communication (Blanc et al., 1998), nous avons montré principalement l'importance de la qualité du recalage pour les méthodes de fusion "pixel à pixel" et, par extension, pour les applications de détection des changements nécessitant une comparaison à l'échelle du pixel des images. L'objectif de cette communication est d'une part de mieux présenter la méthode de recalage géométrique développée dans le cadre de la thèse et d'autre part de présenter un protocole de validation général pour évaluer la qualité d'une méthode de rectification géométrique. Ce protocole a été appliqué à la méthode présentée ainsi que, par comparaison, à une méthode classique (prise manuelle de points de contrôle et déformation polynomiale adaptée aux points de contrôle par une minimisation aux moindres carrés). D'après cette

validation, la méthode présentée permet une correction très fine des décalages géométriques, meilleure que celles généralement obtenues par la méthode de mise en correspondance classique. En conclusion, cette méthode semble apporter une réponse au besoin de recalage de très grande qualité pour des prétraitements aux applications de fusion de données ou de détection des changements.