L'intégrale de Choquet

15 20

(a) Les nouveaux candidats, avec le point idéal et le point Nadir

P D N I 0.25 0.75 1 0.25 0.75 1 0.5 0.5

(b) Changement d'échelle dans la norme de Tchebyche

Figure 1.4  Exemple d'application de la norme de Tchebyche succession de calculs est représentée dans le tableau suivant :

Notes Transformation Distance max

p7, 13q p1, 0q 1 p10, 10q p5{8, 1{3q 5{8 p8, 7q p7{8, 2{3q 7{8 p11, 6q p1{2, 7{9q 7{9 p13, 8q p1{4, 5{9q 5{9 p15, 4q p0, 1q 1 p14, 1q p1{8, 4{3q 4{3 p12, 9q p3{8, 4{9q 4{9

Il ne reste plus qu'à maximiser l'opposé des distances maximales, c'est-à-dire à déter-miner le minimum des distances maximales. La solution agrégée optimale au sens de la norme de Tchebyche est donc celle dont la distance maximale est 4

9. Il s'agit du candidat ayant obtenu pour résultats scolaires p12, 9q.

Wierzbicki (1986) a étudié les propriétés de la norme de Tchebyche dans sa formu-lation générale. En utilisant la dénition avec un point idéal et un point Nadir, cette norme vérie la compatibilité avec la dominance faible de Pareto.

Propriété 11 La norme de Tchebyche est compatible avec la dominance faible de Pa-reto :

@v P U @v1 P U v ÁP v1 ùñ Tchebypvq ¥ Tchebypv1q.

1.4.3 L'intégrale de Choquet

L'intégrale de Choquet est un agrégateur appartenant à la catégorie des intégrales oues (Sugeno, 1974) et permettant de quantier l'importance des critères d'un décideur.

Les quantications sont souvent vues comme des pondérations, mais les pondérations ne permettent pas d'exprimer des importances conjointes entre les critères (par exemple, un décideur peut avoir peu d'intérêt pour les critères 1 et 2 pris individuellement, mais avoir un fort intérêt lorsque ces deux critères ont coinjointement de grandes valeurs). L'intégrale de Choquet remplace les pondérations par une notion plus générale : les capacités (Choquet, 1953).

Dénition 26 (Capacité) Soit E un ensemble et 2E l'ensemble des parties de E. Une capacité sur E est une fonction µ : 2E Ñ r0, 1s vériant :

 µpHq  0  µpEq  1

 @F P 2E @F1P 2E F „ F1 ùñ µpF q ¤ µpF1q.

Dans le cadre qui nous intéresse, on aura E  t1, . . . , mu. Donc une capacité prendra en argument un sous-ensemble de l'espace des critères, et renverra un nombre correspon-dant à l'intérêt que l'on peut éprouver du point de vue de l'ensemble conjoint des critères passés en argument, ce qui permet de quantier la notion de synergie entre critères (Gra-bisch, 1996). Une intégrale de Choquet se calcule de la façon suivante (Murofushi et Sugeno, 1991) :

Dénition 27 (Intégrale de Choquet) Soit X un espace d'alternatives, u : X Ñ Rm

une fonction d'utilité multicritère engendrant l'espace des critères U, et µ une capacité de t1, . . . , mu. L'intégrale de Choquet selon µ est une fonction Choquetµ: U Ñ R dénie par : Choquetµpv1, . . . , v^mq  m ¸ j1 pT pjq
T pj 1qqvpjq vp1q ¸^m j2 pvpjq
vpj
1qqT pjq Avec p.q un opérateur de classement (on aura donc vp1q¤ . . . ¤ vpmq) et T pjq l'ensemble des m
j 1 indices des meilleurs critères pour v : T pjq  µptpjq, . . . , pmquq. On aura donc T pm 1q  µpHq  0 et T p1q  µpt1, . . . , muq  1.

L'intégrale de Choquet possède donc deux formulations équivalentes. La deuxième écriture de la dénition est la plus simple à interpréter : supposons que l'on ait v  p5, 1, 10q, l'intégrale de Choquet s'écrira donc 1µpt1, 2, 3uq p5
1qµpt1, 3uq p10
5qµpt3uq. On est sûr d'avoir une valeur d'au moins 1 sur tous les critères, puis nous sommes sûrs, si l'on excepte le critère 2 que cette valeur minimale soit augmentée de 5
1. On pondère donc cette augmentation par l'importance des critères 1 et 3 pris conjointement, et nalement, nous sommes sûrs de gagner au moins 10
5 sur le critère 3, et on pondère de nouveau ce gain pour l'intérêt porté au troisième critère. D'une façon générale, cette formule peut donc être vue comme une somme de gains en utilité (représentée par la diérence d'utilités classées) pondérée par l'importance conjointe des critères restant (représentée par la capacité).

La forme de la capacité possède des propriétés intéressantes en représentation des préférences (voir la dénition 28). Ainsi, une capacité convexe donnera une plus forte valeur aux combinaisons de critères par rapport à une somme de sous-combinaisons et permet de représenter des décideurs préférant des solutions de compromis entre les cri-tères, tandis qu'une capacité concave représentera plus d'attachement aux critères pris

individuellement qu'à leur regroupement, et correspondra plutôt à des décideurs préférant des solutions spécialistes.

Dénition 28 (Capacités particulières) Une capacité µ : 2E Ñ r0, 1s est dite convexe (ou supermodulaire) si, et seulement si, @A P 2E @B P 2E µpA Y Bq µpA X Bq ¥ µpAq µpBq.

Une capacité µ : 2E Ñ r0, 1s est dite concave (ou sousmodulaire) si, et seulement si, @A P 2E @B P 2E µpA Y Bq µpA X Bq ¤ µpAq µpBq.

Une capacité µ : 2E Ñ r0, 1s est dite additive si, et seulement si, elle est à la fois convexe et concave, soit : @A P 2E @B P 2E µpA Y Bq µpA X Bq  µpAq µpBq.

Une capacité µ : 2E Ñ r0, 1s est dite symétrique si, et seulement si, @A P 2E @B P 2^E |A|  |B| ô µpAq  µpBq.

Soit µ : 2E Ñ r0, 1s une capacité, la capacité duale de µ est une capacité ¯µ : 2E Ñ r0, 1s vériant @A P 2E µ¯pAq  1
µpEzAq.

Propriété 12 Une capacité µ : 2E Ñ r0, 1s est additive si, et seulement si, @A P 2^E µpAq ^°_ePAµpteuq.

Une capacité additive permet une représentation moins coûteuse en mémoire des capacités, car la propriété 12 permet de dénir la valeur de la capacité d'un ensemble en fonction des singletons contenus dans l'ensemble. Toutefois, calculer une intégrale de Choquet en utilisant une capacité additive revient en réalité à calculer une somme pondérée, étant donné que^°m

j1pT pjq
T pj 1qqvpjq^°m

j1pµptpjq, . . . , pmquq
µptpj 1q, . . . , pmquqqvpjq^°m

j1^µptpjquqvpjq^°m

j1^µptjuqvj.

Remarque 3 Dans le domaine de la représentation de l'incertain, une capacité additive correspond à une probabilité. E est l'univers, 2E les évènements et les singletons sont les évènements élémentaires.

Une propriété intéressante des intégrales de Choquet est qu'elles généralisent les agré-gateurs OWA : Prenons une capacité symétrique, alors la valeur de la capacité d'un ensemble A ne dépendra pas du contenu de A mais du nombre de critères contenus dans A. Posons µj  µpAq
µpBq avec |A|  j et |B|  j
1. Par dénition, on a Tpjq  µptpjq, . . . , pmquq, donc T pjq est une valeur de capacité d'un ensemble à m
j 1 éléments, et donc T pjq
T pj 1q  µm
j 1. Il est donc possible de réécrire l'expression de l'intégrale de Choquet : ^°m

j1pT pjq
T pj 1qqvpjq  ^°m

j1^µm
j 1^vpjq, ce qui est exactement l'expression d'un OWA.

Chapitre 2

Décision avec le modèle GAI

Résumé. Ce chapitre introduit le modèle autour duquel gravite cette thèse : les réseaux GAI. Nous étudierons dans un premier temps (section 2.1) l'intérêt d'une telle repré-sentation, aussi bien du point de vue de l'expressivité que de la compacité mémorielle. Puis, nous présenterons l'algorithmique associée aux réseaux GAI dans la littérature : La section 2.2 sera centrée sur l'algorithmique liée à la représentation des préférences par des réseaux GAI (triangulation, intégration de contraintes et élicitation des pré-férences). La section 2.3 présentera deux problèmes monocritères et leur algorithme de résolution associé : la détermination du choix optimal (alternative préférée d'un décideur) et du rangement optimal (k meilleures alternatives selon les préférences du décideur). La section 2.4 abordera l'utilisation des réseaux GAI en décision multicritère et présentera une façon de résoudre la détermination de la solution agrégée optimale sous l'hypothèse de l'existence d'une borne supérieure additivement décomposable pour l'agrégateur choisi.

Dans le chapitre précédent, nous avons présenté des problématiques liées à la présence de multiples attributs ou de multiples critères. Nous avons pu nous rendre compte de la nécessité de choisir un modèle qui puisse à la fois réduire le nombre de questions à poser au décideur durant la phase d'élicitation, qui soit compact en mémoire, qui soit également capable de représenter une grande diversité de comportements et pouvant être exploité ecacement dans un but d'aide à la décision. Ce chapitre présente le modèle qui a été choisi pour les travaux que nous avons menés et l'algorithmique qui lui est associé.

La section 2.1 présentera la GAI-décomposabilité puis eectuera des rappels de théo-rie des graphes qui seront par la suite utilisés pour dénir un modèle exploitant cette décomposition : les réseaux GAI. La section 2.2 abordera l'utilisation des réseaux GAI pour représenter des préférences. Bien que cette thèse ne porte pas sur l'élicitation des préférences, on ne peut songer à exploiter le modèle sans une élicitation préalable. Nous présenterons donc l'idée générale des algorithmes d'élicitation en 2.2.1, ainsi que des ré-férences vers les articles détaillant ces algorithmes, pour avoir une vision complète du processus décisionel. Des travaux ayant déjà été menés sur l'exploitation des préférences dans le modèle GAI seront exposés en 2.3 an de pouvoir étudier leurs limites, et propo-ser par la suite une nouvelle approche pour résoudre les problèmes algorithmiques qui se posent. Finalement, la section 2.4 abordera l'utilisation des réseaux GAI pour déterminer (sous certaines conditions) l'alternative engendrant la solution agrégée optimale pour des problèmes multicritères.

2.1 Le modèle GAI