Conclusion

Nous avons pu voir dans ce chapitre comment utiliser les réseaux GAI vectoriels pour déterminer la frontière exacte ou approchée de Pareto (et les alternatives engendrant cette frontière). Ces algorithmes donnent des temps de réponse satisfaisants théoriquement et expérimentalement, même sur des instances pathologiques.

On peut toutefois faire une remarque : nous avons choisi de nous baser sur la notion d'pǫ, wq-dominance pour construire la frontière approchée de Pareto, et nous avons posé une valeur wi  1{|C| associée à la clique Ci. Toutefois, on peut se demander si la modication de ces valeurs peuvent améliorer l'algorithme, une condition susante sur les wi pour que l'algorithme reste valide étant que wi ¥ 0 et ^°_CiPCwi  1 (de manière à garantir l'ǫ-couverture à la sortie de l'algorithme).

Chapitre 5

Approche laire pour les réseaux

GAI vectoriels

¹

Résumé. Ce chapitre a pour but d'élaborer un algorithme général reposant sur un concept proche de A*. Il est général dans le sens où le même principe résoudra à la fois :

 La détermination de la frontière de Pareto,  La détermination de la frontière de Lorenz,

 La détermination de la solution agrégée optimale (pour des agrégateurs P-monotones).

Cet algorithme reposera sur des heuristiques majorantes directement liées aux réseaux GAI vectoriels : Dans une approche de type collecte dans un arbre de jonction, l'heu-ristique permettra d'obtenir sur chaque séparateur un vecteur qui sera une estimation majorante du gain qu'une solution potentielle peut obtenir en poursuivant sa phase de collecte. Il en résultera un algorithme propageant localement des solutions potentielles entre les cliques et capable de déterminer des situations dans lesquelles il n'est plus nécessaire de poursuivre la propagation d'une solution jusqu'à la racine de la collecte. Il est à noter qu'un algorithme de génération d'heuristique sera fourni et servira en tant que pré-traitement pour l'algorithme d'inférence.

1. Travaux publiés dans Dubus et al. (2009b) et à paraître dans Articial Intelligence Journal

Ce chapitre a pour but de présenter une nouvelle approche pour la résolution de pro-blèmes multicritères. Dans les chapitres précédents, nous avons présenté un algorithme de l'état de l'art pour déterminer les solutions agrégées optimales (chapitre 2). Nous avons étendu cet algorithme aux cas des réseaux GAI de forte treewidth (chapitre 3), et nous avons présenté un algorithme exact et un algorithme approché avec garantie de perfor-mance pour déterminer la frontière de Pareto (chapitre 4). Toutefois deux problèmes ont été laissés de côté :

 Comment déterminer ecacement la frontière de Lorenz d'un problème multicri-tère ?

 Comment déterminer ecacement la solution agrégée optimale sans posséder une borne supérieure linéairement décomposable de l'agrégateur choisi ? (par exemple, lorsque nous avons une intégrale de Choquet avec une capacité non convexe, ou un OWA avec un jeu de poids non décroissant).

Nous allons présenter une nouvelle approche qui sera à la fois exacte et générale pour résoudre ces problèmes : elle permettra de déterminer les frontières de Pareto, de Lorenz, et les solutions agrégées par n'importe quel type d'agrégateur P-monotone. Pour ce faire, nous allons nous baser sur une heuristique et formuler un algorithme proche de A* mais adapté aux réseaux GAI. Dans le chapitre 4, nous avions introduit un calcul exact basé sur une phase de collecte, les messages transitant le long de la structure d'arbre GAI étant des ensembles contenant des instanciations partielles des attributs et des vecteurs d'utilité. Les diérents messages étaient combinés par un opérateur `, et épurés par un opérateur de non-dominance. L'algorithme que nous allons présenter dière de l'algorithme précédent sur deux points :

 Les associations entre instanciation et vecteur d'utilité ne transitent plus par  pa-quets  le long de l'arbre de jonction, mais les vecteurs d'utilité de n'importe quelle instanciation peuvent être envoyés d'une clique vers une autre indépendamment les uns des autres (en respectant l'ordre de collecte). Ainsi, des associations n'ayant pas atteint la clique racine de l'arbre de jonction seront des  ouverts  au sens de A*, c'est-à-dire qu'elles devront continuer à parcourir l'arbre pour que l'instanciation partielle des attributs devienne l'instanciation de tous les attributs.

 Au fur et à mesure de l'exécution de l'algorithme, certaines instanciations vont atteindre la clique racine avant les autres et composer une frontière de Pareto tem-poraire. L'algorithme dispose d'une heuristique sur chaque séparateur du réseau. Cette heuristique est une estimation majorante du gain sur les valeurs d'uti-lité que pourrait prendre un vecteur si on continue à le faire transiter le long de l'arbre de jonction. En procédant ainsi, si une association n'a pas ni de parcourir le réseau, mais que la somme (vectorielle) de son vecteur d'utilité et de son heu-ristique est dominée par un vecteur d'utilité ayant déjà achevé son parcours, nous pouvons déduire qu'il sera inutile de la faire transiter plus loin car elle aboutira nécessairement à une solution dominée. Elle pourra donc être supprimée à ce stade de l'agorithme.

La section 5.1 présentera ce que sont des heuristiques dans le contexte des réseaux GAI et founira un algorithme générant automatiquement ces heuristiques. La section 5.2 présentera une première version de l'algorithme pour résoudre le problème de la détermi-nation de la frontière de Pareto. Ce premier algorithme doit être vu comme le socle sur lequel s'appuie cette nouvelle approche. En eet, la section 5.3.1 présentera une

adapta-5. Approche laire pour les réseaux GAI vectoriels 127 tion de l'algorithme pour déterminer la frontière de Lorenz, tandis que la section 5.3.2 fera de même pour déterminer la solution agrégée optimale. Finalement, la section 5.4 présentera les résultats obtenus expérimentalement sur des adaptations de problèmes concrets, ainsi que sur des jeux d'essais aléatoires.

5.1 Fonctions heuristiques pour un réseau GAI vectoriel

Quel que soit le problème auquel nous nous intéresserons dans ce chapitre, nous aurons besoin d'une heuristique majorante dénie sur les séparateurs du réseau GAI vectoriel. À la diérence de l'algorithme A*, il semble dicile de demander au décideur une heuristique majorante sur ses préférences. Nous allons présenter dans cette section un algorithme pour générer automatiquement une telle heuristique. Celui-ci doit être vu comme un prétraitement du réseau GAI vectoriel, exécuté avant les diérents algorithmes que nous présenterons par la suite.