Bases de théorie des graphes

Un graphe est constitué de deux ensembles, l'ensemble des sommets (ou n÷uds), et un ensemble modélisant une relation entre ces sommets (les arêtes si la relation est symétrique, les arcs dans le cas contraire). Les graphes disposent d'une représentation schématique facilitant la compréhension de certains problèmes pour un humain. Cette thèse ne se situe pas dans le domaine de la théorie des graphes, mais l'utilise comme un outil pour résoudre certains problèmes, donc nous n'introduirons que les dénitions et propriétés qui sont exploitées dans cette thèse.

Dénition 31 (Graphe non orienté) On dit que G  pV, Eq est un graphe non orienté si, et seulement si, E „ P2pV q (P2pV q étant l'ensemble des parties à deux éléments de V). Les éléments de V sont appelés sommets ou n÷uds, et les élements de E sont les arêtes.

Dénition 32 (Graphe orienté) On dit que G  pV, Aq est un graphe orienté si, et seulement si, A „ V  V et @px, yq P A x  y. Les éléments de V sont appelés sommets ou n÷uds, et les élements de A sont les arcs.

Remarque 7 Pour des raisons de simplicité, les dénitions introduites sont en réalité les dénitions des graphes simples orientés et non orientés (pas plus d'une arête entre deux sommets, pas de boucles, . . . ).

La représentation schématique des graphes correspond à dessiner la totalité des élé-ments de V , puis à tracer un lien entre deux éleélé-ments x et y si tx, yu P E dans le cas non orienté, ou une èche de x vers y si px, yq P A dans le cas orienté.

Exemple 14 On considère le graphe non orienté G1  pt1, 2, 3, 4, 5u, tt1, 2u, t2, 3u, t3, 1u, t2, 4uuq et le graphe orienté G2  pt1, 2, 3, 4, 5u, tp1, 2q, p3, 2q, p3, 4q, p4, 1q, p1, 4q, p3, 5quq. Leur représentation schématique respective correspond aux gures 2.1(a) et 2.1(b).

Aux graphes sont associés des dénitions intuitives quand on considère une représen-tation schématique. On peut s'intéresser à la possibilité de parcourir le graphe de manière à aller d'un sommet à un autre en ne passant que par des arêtes (ou arcs) du graphe. Il est à noter que les dénitions introduites dans le cadre des graphes non orientés sont valides pour les graphes orientés en considérant que tous les arcs sont des arêtes (on perd ainsi la notion d'orientation).

2. Décision avec le modèle GAI 39

1

3

2 4 5

(a) Le graphe non orienté G1

1 2

5

4 3

(b) Le graphe orienté G2

Figure 2.1  Exemple de graphes

Dénition 33 (Chaîne) Soit G  pV, Eq un graphe non orienté, et ps1, . . . , s_pq une famille de sommets de V . On dit que ps1, . . . , s_pq est une chaîne de longueur p si, et seulement si, @i P t1, . . . , p
1u tsi, si 1u P E.

L'ensemble des arêtes tsi, s_{i 1}u sera nommé ensemble des arêtes parcourues par ps1, . . . , s_pq. Dénition 34 (Chemin) Soit G  pV, Aq un graphe orienté, et ps1, . . . , s_pq une famille de sommets de V . On dit que ps1, . . . , spq est un chemin de longueur p si, et seulement si, @i P t1, . . . , p
1u psi, s_{i 1}q P A.

L'ensemble des arcs psi, s_{i 1}q sera nommé ensemble des arcs parcourus par ps1, . . . , s_pq. Dénition 35 (Cycle) Soit G  pV, Eq un graphe non orienté, et ps1, . . . , spq une chaîne de G, on dit que ps1, . . . , s_pq est un cycle si, et seulement si, s1  sp.

Dénition 36 (Circuit) Soit G  pV, Aq un graphe orienté, et ps1, . . . , s_pq un chemin de G, on dit que ps1, . . . , spq est un circuit si, et seulement si, s1  sp.

Exemple 15 Sur les graphes G1 et G2 de la gure 2.1, p1, 2, 3q est une chaîne de G1

mais n'est pas un chemin de G2 car il n'existe pas d'arc p2, 3q. Par transposition de la dénition de chaîne dans le cadre des graphes orientés, p1, 2, 3q est une chaîne de G2. p1, 2, 3, 1q est un cycle de G1 et p1, 4, 1q est un circuit de G2.

Dénition 37 (Corde) Soit G  pV, Eq un graphe non orienté, et C un cycle de G, on dit que l'arête tsi, sju P E est une corde de C si, et seulement si, si et sj sont des sommets du cycle C et tsi, s_ju n'appartient pas à l'ensemble des arêtes parcourues par C. En considérant que l'ensemble des arêtes ou des arcs correspond à une mise en relation de paires de sommets, les dénitions de chaîne et de chemin permettent d'exprimer des successions de mises en relation, et les cycles et circuits correspondront à des successions revenant à l'élément de départ. La notion de corde peut être vue comme l'existence d'un  raccourci  coupant un cycle. En reprenant la notion de chaîne, on peut mettre en évidence des familles de sommets : les composantes connexes. Ainsi, les sommets appartenant à une même composante connexe sont en relation directe ou indirecte entre eux (il existe un chemin ou une chaîne les reliant).

Dénition 38 (Connexité) Soit G  pV, Eq un graphe non orienté. On dénit la re-lation de connexité comme étant une rere-lation binaire R sur V telle que pour tout couple de sommets px, yq, on a xRy si, et seulement si, il existe une chaîne reliant x et y. Un graphe tel qu'il existe au moins une chaîne reliant chaque couple de sommets est dit connexe.

Propriété 14 La relation de connexité dans un graphe est une relation d'équivalence. Dénition 39 (Composantes connexes) Soit G  pV, Eq un graphe non orienté, et R la relation de connexité. On dénit les composantes connexes d'un graphe comme étant les classes d'équivalence de la relation de connexité.

Les dénitions données précédemment caractérisent des familles de sommets ou d'arêtes. Nous allons maintenant nous intéresser à des formes particulières de graphe. Ces topo-logies peuvent être intéressantes que ce soit dans un sous-graphe ou dans la globalité du graphe. Il convient de dénir tout d'abord ce qu'est un sous-graphe.

Dénition 40 (Sous-graphe partiel) Soit G  pV, Eq un graphe non orienté, et E1 „ E. Le graphe G1est dit sous-graphe partiel de G selon E1 si, et seulement si, G1  pV, E1q. Dénition 41 (Sous-graphe induit) Soit G  pV, Eq un graphe non orienté, et V1 „ V. Le graphe G1 est dit sous-graphe de G induit par V1 si, et seulement si, G1  pV1_{, E}1q et E1  ttsi, sju P E{si P V1_{, sj} P V1u.

Dénition 42 (Sous-graphe) Soit G  pV, Eq et G1  pV1_{, E}1q deux graphes non orientés. On dit que G1 est un sous-graphe de G si, et seulement si, G1 est le sous-graphe partiel selon E1 du sous-graphe de G induit par V1.

Une première topologie intéressante est celle d'une clique, il s'agit d'un sous-graphe dont tous les sommets sont interconnectés. Identier les cliques d'un graphe permet d'avoir une idée des sommets qui sont fortement en relation entre eux et donne une idée de la structure interne d'une relation au sein de l'ensemble des sommets.

Dénition 43 (Graphe complet) Soit G  pV, Eq un graphe non orienté. On dit que G est un graphe complet si, et seulement si, @psi, sjq P V  V tsi, sju P E.

Dénition 44 (Clique) Soit G  pV, Eq un graphe non orienté, et G1  pV1_{, E}1q un sous-graphe de G. On dit que G1 est une clique si, et seulement si, G1 est un sous-graphe complet de G et il n'existe pas de graphe G2  pV2_{, E}2q tel que G2 soit un sous-graphe complet de G et V1€ V2.

Une autre topologie intéressante correspond aux forêts. Ce sont des graphes tels que, pour tout couple de sommets, soit il existe une unique chaîne les reliant, soit il n'en existe pas. Les sommets reliés par une chaîne forment une composante connexe, et chaque composante sera nommée arbre.

Dénition 45 (Acyclicité) Soit G  pV, Eq un graphe non orienté. On dit que G est acyclique si, et seulement si, il n'existe pas de cycle au sein de G.

Dénition 46 (Forêt) Soit G un graphe non orienté. On dit que G est une forêt si, et seulement si, G est acyclique.

Dénition 47 (Arbre) Un arbre est une forêt connexe.

2. Décision avec le modèle GAI 41 Propriété 16 Soit G  pV, Eq un arbre, alors pour tout couple ps, s1q P V  V de sommets, il existe une unique chaîne reliant ces deux sommets.

Dans le cadre de cette thèse, nous nous intéresserons à une dernière topologie impor-tante : les graphes cordaux qui établissent un pont entre les graphes non orientés et les hypergraphes que nous allons introduire ensuite.

Dénition 48 (Graphe cordal) Un graphe non orienté G est dit cordal si, et seule-ment si, tout cycle contenant au moins 4 arêtes possède au moins une corde.

1

5 2

4 3

(a) Une clique à 5 sommets

5 2 3 4 1 (b) Un graphe cordal 1 2 3 6 9 8 7 5 4

(c) Une forêt contenant 3 arbres (maximaux) Figure 2.2  Topologies particulières de graphe

Exemple 16 Les gures 2.2 donnent des exemples de topologies de graphe : une clique à 5 sommets sur la gure 2.2(a), et n'importe lequel de ses sous-graphes induits corres-pondra lui-même à un sous-graphe complet. La gure 2.2(b) présente un graphe cordal : conformément aux propriétés des graphes cordaux, tout cycle de longueur strictement supérieure à trois possède une corde. Par exemple, le cycle p1, 2, 3, 5, 4, 1q a pour corde t5, 2u, et le cycle p1, 2, 5, 4, 1q a pour corde t2, 4u. La gure 2.2(c) correspond à une forêt : il n'existe donc pas de cycle au sein de ce graphe. Il contient trois composantes connexes : t1, 4, 5, 7, 8u, t2, 6, 9u et t3u qui sont des arbres (voir la propriété 15). Chaque couple de sommets de chaque arbre est bien relié par une unique chaîne. Par exemple, les sommets 1 et 8 sont reliés par la chaîne p1, 5, 8q (voir la propriété 16).

Un graphe est un outil permettant de modéliser et de raisonner sur une relation binaire. Les graphes (simples) ont été par la suite généralisés aux relations n-aires, ce qui a donné naissance aux hypergraphes. Nous allons présenter succinctement ce qu'est un hypergraphe, puis nous montrerons quelques modélisations des hypergraphes utilisant des graphes.

Dénition 49 (Hypergraphe) Soit V un ensemble de sommets. On dit que G  pV, Sq est un hypergraphe si, et seulement si, @Si P S Si„ V et Si  H.

Les ensembles contenus dans S sont nommés hyperarêtes.

La seule diérence entre un hypergraphe et un graphe non orienté vient donc des hyperarêtes qui ne lient plus deux sommets entre eux, mais une quantité variable de sommets. Une représentation schématique des hyperarêtes est plus dicile à obtenir, et est moins lisible : les hyperarêtes deviennent des zones du schéma (voir la gure 2.3(a)). En pratique, les graphes étant des structures faciles à manipuler, il est courant d'utiliser des graphes non orientés pour modéliser un hypergraphe. Les deux modélisations les plus répandues sont le graphe primal et le graphe dual d'un hypergraphe.

Dénition 50 (Graphe primal d'un hypergraphe) Soit GH  pV, Sq un hypergraphe et G  pV, Eq un graphe non orienté. On dit que G est le graphe primal de l'hypergraphe G_H si, et seulement si, G est le plus petit graphe (selon le nombre d'arêtes) vériant @tsi, sju P E DSkP S tsi, sju „ Sk.

Dénition 51 (Graphe dual d'un hypergraphe) Soit GH  pV, Sq un hypergraphe et G  pS, Eq un graphe non orienté. On dit que G est le graphe dual de l'hypergraphe GH si, et seulement si, E  ttSi, Sju{SiP S, Sj P S, SiX Sj  Hu.

Exemple 17 Considérons l'hypergraphe GH  pt1, . . . , 8u, tS1, S2, S3, S4uq avec S1  t1, 2, 3u, S2  t1, 7, 8u, S3  t4, 5, 6, 7u et S4  t3, 4, 5u. La représentation schématique de GH correspond à la gure 2.3(a). Le graphe primal de GH se déduit facilement en gardant l'ensemble des sommets, et en générant des arêtes de façon à ce que chaque hy-perarête corresponde à un sous-graphe complet dans le graphe dual. On obtiendra donc le graphe de la gure 2.3(b). Le graphe dual contiendra un sommet par hyperarête (on représentera les sommets par des ellipses contenant l'hyperarête), et en connectant deux à deux les sommets ainsi obtenus par une arête si l'intersection des hyperarêtes qu'ils repré-sentent est non vide. Dans la gure 2.3(c), l'intersection des hyperarêtes est représentée par un rectangle sur l'arête contenant cette intersection.