Algorithme de détermination des heuristiques majorantes

Avant de présenter l'algorithme de génération automatique d'heuristique, nous allons dans un premier temps dénir ce qu'est une heuristique dans le sens où nous allons l'exploiter.

Dénition 81 (Fonction heuristique) Soit X  ^±n

i1^Xi, u une fonction vectorielle GAI-décomposable selon C  tC1, . . . , Cqu, en upxq ^°q

j1^ujpxCjq. Soit XS un sépara-teur du réseau GAI vectoriel représentant u, partitionnant l'ensemble des cliques en C1 et C₂ (cliques de part et d'autre du séparateur). Soit D  ^”_CiPC1C_i et E  ^”_cjPC2C_j, on aura donc D Y E  t1, . . . , nu et D X E  S. On dit que H est une fonction heuristique majorante dénie sur XS et estimant XE si, et seulement si, on a :

 H : XS Ñ Rm.

 @xE P XE HppxEqSq ¥^°CjPC:Cj„E^ujppxEqCjq.

L'intérêt de cette dénition est d'exploiter directement la GAI-décomposabilité (voir gure 5.1) : Si on considère l'ensemble des sous-fonctions d'utilité, la dénition parti-tionne cet ensemble en deux parties : Chaque sous-fonction est dénie sur un ensemble d'attributs dont les indices appartiennent soit à E soit à D, S étant l'ensemble des indices en commun entre E et D. D'un point de vue graphique, on peut interpréter S comme un séparateur, et E et D comme deux parties de l'arbre de jonction. Une fonction heuristique est donc une fonction qui à chaque instanciation du séparateur renverra une estimation majorante de l'utilité vectorielle qu'il est possible d'obtenir sur n'importe quelle instan-ciation de XE à valeur de XSxée. Une conséquence directe de cette dénition est donnée par la proposition 15.

Proposition 15 (Majoration de l'utilité globale) Soit X  ^±n

i1^Xi, u une fonc-tion d'utilité vectorielle sur X GAI-décomposable selon C  tC1, . . . , C_qu. Considérons un séparateur XS du réseau GAI représentant u, et partitionnant l'ensemble des cliques en C1 et C2 (de la même façon que dans la dénition 81). Posons D  ^”_CiPC1Ci et E  ^”_CjPC2C_j. Soit H une fonction heuristique dénie sur XS et estimant XE et w^°_CjPC1u_j. On a :

S

E ^D

Figure 5.1  Exemple de positionnement des ensembles D, E et S

Preuve. Le partitionnement de l'ensemble C en C1 et C2 induit un partitionnement de l'ensemble des sous-fonctions d'utilité en

@x P X upxq  ^¸ CiPC u_ipxCiq  ^¸ CiPC1 u_ipxCiq ^¸ CjPC2 u_jpxCjq  wpxDq ^¸ CjPC2 u_jpxCjq. Par dénition de la fonction heuristique (deuxième tiret), on aura donc bien wpxDq

HpxSq ¥ upxq. 

Cette proposition introduit donc le fait qu'au fur et à mesure d'une collecte vectorielle, si, sur chaque séparateur, il existe une fonction heuristique estimant les parties non parcourues sur réseau, il sera possible à chaque étape de calculer une borne supérieure de l'utilité qui sera obtenue en n de collecte. Cette borne pourra donc être exploitée pour supprimer les solutions partielles qui, combinées à l'heuristique, fourniraient des solutions dominées à la racine de la collecte.

Nous allons maintenant nous intéresser à la génération de fonctions heuristiques sur chaque séparateur d'un réseau GAI. Une telle génération sera basée sur un algorithme de type collecte/diusion.

Lors de la phase de collecte sur un réseau GAI vectoriel, le but sera d'obtenir sur la clique collectant les derniers messages (nommée clique racine de la collecte, nous la noterons Croot), les vecteurs d'utilité dont chaque composante correspondra à la plus forte valeur d'utilité qu'il est possible d'obtenir dans le réseau. Ce problème est donc très proche de la phase de collecte de l'algorithme de choix optimal, à la diérence que la somme sera une somme vectorielle, et que la maximisation devra se faire composante par composante sur les vecteurs. De la même façon que les algorithmes de collecte dénis auparavant, nous noterons φi,j le message transitant sur le séparateur reliant la clique Ci

à la clique Cj. Nous noterons ψi la sommation de la fonction d'utilité ui avec l'ensemble des messages reçus dans la collecte (voir algorithme 18).

Remarque 24 De manière à lever toute ambiguïté, on notera maxparcomp la maximisa-tion vectorielle (composante par composante), par exemple, maxparcomptp1, 42q, p3, 14qu  p3, 42q. De la même manière que pour la maximisation scalaire, nous utiliserons la possi-bilité d'eectuer les maximisations directement sur une table. Ainsi, si on pose u : X1

5. Approche laire pour les réseaux GAI vectoriels 129 X₂Ñ R2, avec X1  tx11, x₁₂u et X2  tx21, x₂₂u, et upx11, x₂₁q  p10, 0q, upx11, x₂₂q  p0, 10q, upx12, x₂₁q  p8, 9q, upx12, x₂₂q  p15, 1q. Alors, v  maxparcompX2u est une fonction dénie sur X1 et vériant vpx11q  maxparcomptp10, 0q, p0, 10qu  p10, 10q et vpx12q  maxparcomptp8, 9q, p15, 1qu  p15, 9q.

Algorithme 18 : CollecteHeuristique Entrées :

act : indice de la clique actuelle succ : indice de la clique appelante ψactÐ uact;

1

pour chaque clique Cj voisine de Cact faire

2

si j  succ alors

3

φ_j,act Ð CollecteHeuristique(j, act);

4

ψactÐ ψact φj,act;

5

n

6

n

7

si act  succ alors

8

retourner φact,succÐ maxparcompCactzSact,succψ_act;

9 n 10 H_5,3 H_3,2 H_3,4 H_3,1 φ2,3 φ_4,5 φ_3,5 φ_1,3 ψ₂ ψ₃ ψ₅ ψ4 ψ₁ C1 C₂ C₄ C₅ C₃ S₃₅ S13 S₃₄ S₂₃

Figure 5.2  Représentation des variables de l'algorithme de détermination des fonctions heuristiques (Croot C5)

La phase de diusion aura pour but de déterminer les valeurs heuristiques associées à chaque valeur des séparateurs. Le réseau sera parcouru en sens inverse de la collecte. Nous noterons Hj,i l'heuristique obtenue ainsi. Etant donné que les heuristiques transiteront en sens inverse de la collecte, nous aurons donc en n de phase de diusion, pour chaque message φi,j une heuristique Hj,i. La première fonction heuristique déterminée sera celle portant sur le séparateur conduisant à la clique racine, il sura de maximiser sur les attributs du séparateur le contenu de ψroot. Ensuite, pour chaque clique Cj recevant une

heuristique Hz,j, on pourra armer que ψj H_z,j sera une estimation majorante des plus fortes valeurs d'utilité vectorielle qu'il est possible d'obtenir. Donc, la fonction heuristique H_j,i se déduira facilement en maximisant ψj H_j,i
φi,j. La gure 5.2 symbolise les diérentes variables utilisées dans l'algorithme, l'algorithme de diusion correspond à l'algorithme 19.

Algorithme 19 : DiusionHeuristique

pour chaque clique Cact voisine de Croot faire

1

H_root,act Ð maxparcompCrootzSroot,actpψroot
φact,rootq;

2

n

3

pour chaque clique Cact Croot en ordre inverse de la collecte faire

4

succÐ Succ(act);

5

pour chaque clique Cj voisine de Cact faire

6

si j  succ alors

7

H_act,j Ð maxparcompCactzSact,jpψact H_succ,act
φj,actq;

8 n 9 n 10 n 11

Exemple 34 Considérons le réseau GAI vectoriel représenté par la gure 5.3, et eec-tuons un calcul des fonctions heuristiques en considérant une collecte/diusion dont la clique racine sera X3X₅X₆ (C4  Croot). On aura donc comme ordre de collecte possible : X₁X₂pC1q, X3X₄pC2q, X1X₃X₅pC3q, X5X₇pC5q, X3X₅X₆pC4q. La phase de collecte est initiée par l'appel de la fonction CollecteHeuristique(4, 4). Les premières tables à être générées seront ψ1  u1 servant à produire le message φ1,3  maxparcompx2PX2ψ₁. La maximisation se faisant composante de vecteur par composante de vecteur, on aura donc φ1,3px1q  pv1, v²q, v1  maxx2PX2ψ1px1, x2q1 et v2  maxx2PX2ψ1px1, x2q2. La fonction φ_1,3 ainsi obtenue est représentée au sein de la gure 5.4(a). De la même façon, on aura ψ₂ u2 et φ2,3 maxparcompx4PX4ψ₂ (représentée par la gure 5.4(b)).

Les messages φ1,3 et φ2,3 transitent le long de leur séparateur pour atteindre la clique C₃. Ils sont ensuite additionnés avec la sous-fonction d'utilité vectorielle u3 pour former ψ₃  u3 φ_1,3 φ_2,3, qui est décrit sur la gure 5.4(c). Cette nouvelle fonction va ensuite être réduite en φ3,4  maxparcompx1PX1ψ3 (voir gure 5.4(d)). Pour la feuille correspondant à la clique C5, on aura ψ4 u4 et φ5,4 maxparcompx7PX7ψ₅. La dernière opération eectuée par l'algorithme correspondra donc à traiter les messages au niveau de la clique racine : ψ4  u4 φ3,4 φ5,4 (gure 5.4(f)), ψ4 correspond donc à une majoration des vecteurs d'utilité possibles sur X .

Il ne reste plus qu'à eectuer la phase de diusion pour déterminer les fonctions heuristiques associées à chaque séparateur. La première étape consiste à déterminer les heuristiques à proximité de la clique racine. Étant donné que ψ4 contient une estimation majorante des vecteurs d'utilité qu'il est possible d'obtenir dans le réseau GAI, ψ4
φ3,4

correspondra donc à u4 φ_5,4, c'est-à-dire à une estimation majorante du vecteur d'utilité qu'il est possible d'obtenir dans le sous-réseau GAI composé de C4 et C5 (u4 u₅). Donc, H_4,3 maxparcompx6PX6pψ4
φ3,4q restera une estimation majorante de ce sous-réseau, sous forme d'une fonction portant sur le produit cartésien des attributs en commun entre

5. Approche laire pour les réseaux GAI vectoriels 131 X1X2 X3X4 X1X3X5 X1 X3 X3X5X6 X3X5 X5 X5X7 C1 C2 C3 C4 C5 φ5,4 φ3_,4 φ1_,3 φ2,3

(a) Arbre de jonction X₁ X₂ x₁₁ x₁₂ x₂₁ p1, 5q p2, 3q x₂₂ p8, 2q p3, 4q x23 p7, 1q p6, 2q (b) u1px1, x2q X₃ X₄ x₃₁ x₃₂ x₄₁ p2, 9q p5, 2q x₄₂ p2, 2q p4, 9q x43 p4, 1q p5, 3q (c) u2px3, x4q X3 x₃₁ x₃₂ X₁ X₁ X5 x11 x12 x11 x12 x51 p3, 3q p5, 3q p1, 2q p4, 4q x₅₂ p2, 4q p1, 4q p6, 2q p2, 5q (d) u3px1, x3, x5q X7 X₅ x₇₁ x₇₂ x₅₁ p1, 0q p1, 1q x₅₂ p1, 1q p2, 1q (e) u5px5, x7q X₃ x31 x32 X₆ X₆ X₅ x₆₁ x₆₂ x₆₁ x₆₂ x₅₁ p8, 1q p5, 6q p2, 1q p1, 5q x52 p7, 0q p8, 6q p1, 1q p0, 5q (f) u4px3, x5, x6q Figure 5.3  Réseau GAI vectoriel de l'exemple 34

le sous-réseau et le reste du réseau. Cette table est représentée sur la gure 5.5(c). De la même façon, on aura H4,5 maxparcomp_px3,x6qPX3X6pψ4
φ5,4q (voir la gure 5.5(d)). Il ne reste plus qu'à parcourir les cliques dans l'ordre inverse de la collecte : C5

étant une feuille, aucune nouvelle opération ne sera eectuée. Pour C3, ψ3 H_4,5 cor-respondra à une estimation majorante de u (sur les attributs formant la clique). Donc, ψ₃ H_4,5
φ1,3 sera une estimation majorante de u2 u₃ u₄ u₅. On calcule donc H_3,1  maxparcomp_px3,x5qPX3X5pψ3 H_4,5
φ1,3q (gure 5.5(a)). De la même façon, ψ3 H_4,5
φ2,3 sera une estimation majorante de u1 u3 u4 u5, d'où H3,2  maxparcomp_px1,x5qPX1X5ψ₃ H_4,5
φ2,3 (gure 5.5(b)). Les cliques C2 et C1 étant des feuilles, aucune nouvelle opération ne sera eectuée, et l'algorithme se termine.