6.4 Effet du confinement sur les collisions
6.4.5 Inhibition de la thermalisation pour une temp´erature faible
On s’int´eresse ici au cas limite o`u l’´energie des atomes est tr`es inf´erieure `a la fr´equence d’oscillation. La temp´erature v´erifie donc
kBT ≪ ¯hωosc. (6.39)
Le seul traitement rigoureux des collisions est ici celui effectu´e par D. Petrov et G. Shlyapnikov, pr´esent´e dans le paragraphe 6.4.2, dans lequel le mouvement est quantifi´e dans la direction verticale.
Cependant, dans ce paragraphe, je propose de retrouver l’expression 6.14 avec un raisonnement peu rigoureux. Dans ce calcul “avec les mains”, les collisions sont trait´ees
comme des collisions `a trois dimensions et on utilise la propri´et´e de r´esonance de diffusion 6.3.
Le temps de thermalisation est li´e au taux de collision. Si l’on suppose que les collisions sont des collisions `a trois dimensions avec une section efficace de diffusion v´erifiant 6.3, on a
Γcoll ∝ nvσ, (6.40)
o`u n est la densit´e `a trois dimensions typique, v la vitesse typique des atomes et σ la section efficace typique. Pour des temp´eratures tr`es inf´erieures `a ¯hωosc, l’extension du nuage d’atomes dans la direction verticale est la taille l de l’´etat fondamental du mouvement et la densit´e s’´ecrit
n = n2D
1
l, (6.41)
o`u n2Dest la densit´e `a deux dimensions. D’autre part, la vitesse horizontale des atomes est inf´erieure `a leur vitesse typique verticale lorsque kBT ≪ ¯hωosc. Donc, dans 6.40 v peut ˆetre remplac´ee par la largeur en vitesse de l’´etat fondamental ¯h/(ml) et σ, donn´ee par 6.3, peut ˆetre calcul´ee pour cette mˆeme vitesse. Ainsi, 6.40 donne
Γcoll ∝ n2Dl ml¯h 8πl2 ∝ ¯hnm2D. (6.42) Ce taux de collision ne d´epend pas de la temp´erature. Cet effet est bien pr´edit par la th´eorie quantique de D. Petrov et G. Shlyapnikov pour des temp´eratures inf´erieures `a ¯hωoscmais pas trop faibles. En effet, le taux de collision est donn´e par une moyenne sur la distribution en ´energie des paires d’atomes de ¯h|f00(E)|2n2D/m. Or |f00(E)|2 est `a peu pr`es constante pour des ´energies inf´erieures `a 2¯hωosc, comme pr´esent´e sur le graphe 6.16. Donc le taux de collision est constant. Il vaut, d’apr`es le graphe 6.16, 14¯hn2D/m. En fait, pour des temp´eratures tr`es faibles, la th´eorie quantique des collisions pr´evoit une chute du taux de collisions. La chute de |f00(E)|2 correspondante n’intervient qu’aux ´energies tr`es faibles15. C’est pourquoi elle n’est pas visible sur le graphe. Nous reviendrons sur ce point au paragraphe suivant.
Le taux de collision 6.42 serait sans doute un bon ordre de grandeur de l’inverse du temps de thermalisation entre diff´erentes directions horizontales. Cependant, le temps de thermalisation entre les degr´es de libert´e horizontaux et le mouvement vertical est en fait beaucoup plus petit. En effet, les niveaux d’´energie dans la direction verticale sont quantifi´es. Pour peupler un ´etat vibrationnel excit´e, il faut fournir une ´energie multiple de la fr´equence d’oscillation. La variation d’´energie dans la direction verticale `a l’issue d’une collision est en fait un nombre pair de fois la fr´equence d’oscillation. En effet, comme expliqu´e au paragraphe 6.4.2, seul l’´etat du mouvement relatif entre les deux atomes peut ˆetre modifi´e lors d’une collision et le changement de niveau vibrationnel
15
Cette d´ecroissance n’apparaˆıt que pour 2a ln(¯hωosc/(πkBT ))/(l√π)
≫ 1[70]. Dans notre
cas, cela correspond `a kBT ≪ 0.3¯hωosc. Pour ces faibles ´energies, |f00|2
est proportionnelle `a
1/(ln(¯hωosc/(πE)))2
. Ainsi, la diminution du taux de collision est tr`es lente (d´ependance logarith-mique)
de la particule fictive est un nombre pair. Ainsi, seules les paires d’atomes ayant une ´energie cin´etique du mouvement horizontal sup´erieure `a 2¯hωosc peuvent induire un transfert d’´energie du mouvement horizontal au mouvement vertical. Donc, pour une temp´erature tr`es inf´erieure `a ¯hωosc, seule une petite partie des atomes contribuent au transfert d’´energie entre le mouvement horizontal et vertical.
On s’int´eresse au cas o`u initialement tous les atomes sont dans l’´etat fondamental du mouvement vertical. Si la distribution de vitesse horizontale suit une loi de Boltzmann avec une temp´erature kBT , la probabilit´e pour qu’un atome ait une ´energie suffisante pour, `a l’issue d’une collision, peupler les niveaux vibrationnels excit´es est (voir note 4)
Nc = e−2¯hωosckB T . (6.43) On n´eglige ici l’´energie de l’autre atome prenant part `a la collision. Le nombre de collisions par seconde et par atome transf´erant de l’´energie au mouvement vertical est donc de l’ordre de
Γ′coll ≃ Γcolle−2¯hωosckB T ≃ ¯hn2D m e
−2¯hωosckB T (6.44) Parmi les atomes ayant une ´energie sup´erieure `a 2¯hωosc, seul un nombre exponentielle-ment faible ont une ´energie suffisante pour peupler les ´etats |n = 4i , |n = 6i , ... On peut donc les n´egliger et ne consid´erer que les collisions transf´erant une ´energie ´egale `a 2¯hωosc au mouvement vertical. Ainsi, la variation de l’´energie du mouvement vertical par atome est de l’ordre de
d
dtEz ≃ 2¯hωoscΓ′coll ≃ 2¯hωosc
¯hn2D
m e
−2¯hωosckBT (6.45) Or la variation d’´energie du mouvement vertical par atome n´ecessaire pour atteindre l’´equilibre thermodynamique est, en n´egligeant la variation relative de la temp´erature horizontale,
∆Ez = Ezeq − ¯hω2osc ≃ ¯hωosce−¯hωosckBT . (6.46) Le temps de thermalisation v´erifie alors,
1 τtherm ≃ ∆E1 z d dtEz ∼ 1 ¯hωosce−¯hωosckB T0 ¯hn2D m 2¯hωosce −2¯kBT0hωosc ∼ n2Dm¯he−¯hωosckBT0. (6.47) Ainsi, la thermalisation devient tr`es lente lorsque kBT ≪ ¯hωosc. On retrouve l’expression 6.14, dans la limite o`u l ≪ a. Cette condition est coh´erente avec le fait que l’on ait utilis´e, pour d´eriver 6.47, l’expression de la section efficace 6.3. Ainsi, l’inhibition de la thermalisation entre les degr´es de libert´es horizontaux et vertical aux temp´eratures faibles s’explique uniquement par la quantification des niveaux d’´energie dans la direc-tion verticale et par la conservadirec-tion de la parit´e du mouvement relatif lors des collisions. Aucune modification de la nature microscopique des collisions n’est mise en ´evidence.
N´eanmoins, cette inhibition de la thermalisation serait int´eressante `a observer. Mais une thermalisation dans la limite o`u kBT ≪ ¯hωosc est tr`es difficile `a observer exp´erimentalement. En effet, la population transf´er´ee dans le niveau vibrationnel n = 1, p1 = e−¯hωosc/θ0, est tr`es faible. De mˆeme la variation d’´energie dans la di-rection horizontale, ∆Eρ = −∆Ez = −¯hωosce−¯hωosc/θ0, est tr`es petite devant devant l’´energie initiale. En effet,
∆Eρ Eρ = ¯hωosc 4θi e−¯hωosc/θ0 < ¯hωosc 4θi e−¯hωosc/θi ≪ 1 (6.48) Par exemple, consid´erons le cas o`u la temp´erature initiale est de 0.5¯hωosc (largeur de la distribution en vitesse dans la direction horizontale ´egale `a celle de l’´etat fonda-mental) qui est `a la limite de validit´e du calcul. On a alors, `a la fin de la thermalisation p1 = 0.13. La variation relative d’´energie du mouvement horizontal n’est que de 7%.
6.4.6 Caract`ere bi-dimensionnel des collisions `a tr`es faible
´
energie
Les exp´eriences de thermalisations entre les mouvements horizontaux et vertical peu-vent s’interpr´eter, comme montr´e aux deux paragraphes pr´ec´edents, en consid´erant que les collisions sont tri-dimensionnelles et ont les mˆemes propri´et´es qu’entre atomes libres.
Cependant, les collisions ne peuvent plus ˆetre consid´er´ees comme des collisions tri-dimensionnelles `a tr`es faible ´energie. En effet, le calcul quantique des collisions effectu´e par D. Petrov et G. Shlyapnikov[70, 82], pr´evoit `a tr`es faible ´energie un taux de collision
|f00(E = ¯h 2 q2 m )|2 ∝ 1 ln√1 2πql 2 (6.49)
Ce comportement est `a peine visible sur le graphe 6.16 car il n’apparaˆıt qu’`a tr`es faible ´energie (voir note 15). Cette d´ecroissance du taux de collision est une modification de la nature microscopique des collisions dˆu au confinement.
Pour voir cette modification des propri´et´es collisionnelles, il faut que la temp´erature du gaz soit tr`es faible devant l’´energie d’oscillation. Des exp´eriences de thermali-sations entre les degr´es de libert´e horizontaux peuvent alors pr´esenter le caract`ere bi-dimensionnel. Ce r´egime est cependant tr`es difficile `a atteindre. Le plus simple con-siste peut ˆetre `a transf´erer un condensat de Bose-Einstein dans un pi`ege suffisamment confinant pour que l’´energie des atomes du condensat soit tr`es inf´erieure `a la fr´equence d’oscillation du confinement. On peut alors mesurer la d´ependance de l’´energie de champ moyen avec la raideur du confinement.