1ca+ V2∗cb. (A.3)
L’approximation s´eculaire consiste `a ne consid´erer que les fr´equences petites devant ∆. Le terme de gauche de A.3 est alors n´egligeable devant le terme ∆ce et A.3 devient
0 = ∆ce+ V1∗ca+ V2∗cb. (A.4) L’ ´equation A.2 projet´ee sur ca et cb donne alors
( idca dt =−V1∆1 (V∗ 1ca+ V∗ 2cb) idcb dt = δcb− V2∆1 (V∗ 1ca+ V∗ 2cb) (A.5)
Ceci correspond `a une ´evolution sous l’effet d’un hamiltonien effectif Hef f = −|V1|2 ∆ −V1V∗ 2 ∆ −V2V∗ 12 ∆ δ− |V2|2 ∆ ! (A.6) Les termes diagonaux repr´esentent un d´ecalage en ´energie des ´etats. Les termes non diagonaux repr´esentent le couplage effectif entre ces deux ´etats fondamentaux. Ce couplage est inversement proportionel au d´esaccord et proportionel `a √
I1I2 o`u I1 et I2
sont les intensit´es des composantes du champ laser reponsable des couplages V1 et V2. L’analyse faite ci-dessus est valide tant que la population de l’´etat interm´ediaire reste tr`es faible. Ceci est v´erifi´e si
∆≫ V1, V2. (A.7)
De plus, pour que l’approximation s´eculaire soit valable, il faut que les fr´equences apparaissant dans A.6 soient tr`es petites devant ∆. Donc, il faut que
δ≪ ∆. (A.8)
A.2 Cas d’absorption et d’´emission `a des fr´equences
diff´erentes.
Les sous-niveaux hyperfins F = 3 et F = 4 de 6S1/2 sont s´epar´es en ´energie de ωHF = 9.19.. GHz. Avec une telle s´eparation en ´energie, un transfert `a deux pho-tons de mˆeme fr´equence efficace de l’un `a l’autre n´ecessiterait une intensit´e lumineuse ´enorme. D’autre part, on souhaite que l’intensit´e du couplage soit suffisemmant faible pour pouvoir ˆetre selectif en ´energie.
F = 4 F = 3 |N1, N2, ai |N1− 1, N2, ei |N1 − 1, N2+ 1, bi V1 V2 |ai |bi |ei ωHF δ δ ∆ ∆
Figure A.2: Couplage `a deux photons entre deux ´etats d’´energie tr`es diff´erentes utilisant deux fr´equences diff´erentes. Sur le dessin de gauche, les ´energies des ´etats de l’atome et les fr´equences des lasers sont repr´esent´ees. Le dessin de droite donne les ´energies des ´etats habill´es.
Pour surmonter ce probl`eme, on utilise deux lasers dont la diff´erence de fr´equence ωb − ωr est proche de ωHF de sorte qu’une transition `a deux photons est presque `a r´esonance comme pr´esent´ee sur la figure A.2.
Consid´erons un ´etats de F = 3 not´e |ai et un ´etat de F = 4 not´e |bi coupl´es par une transition `a deux photons. Il existe donc un ´etat excit´e |ei coupl´e `a |ai par le laser de plus haute fr´equence (laser 1) et coupl´e `a |bi par le laser de plus basse fr´equence (laser 2). On note V1 et V2 les couplages correspondant aux transitions |ai −→ |ei et |bi −→ |ei. On suppose, comme pr´ec´edemment, que l’´etat initial du champ pour chaque fr´equences est un ´etat de Fock, l’´etat global ´etant |N1, N2i. L’´etat |ˆai = |N1, N2, ai est coupl´e `a l’´etat |ˆei = |N1 − 1, N2, ai lui-mˆeme coupl´e `a
ˆbE = |N1 − 1, N2+ 1, bi3. En prenant pour r´ef´erence des ´enegies, l’´energie de l’´etat |ˆai, l’´energie de l’´etat
ˆbE est δ et celle de |ˆei est ∆, comme pr´esent´e figure A.2. On se place dans le cas o`u δ ≪ ∆. Le hamiltonien, dans la base (|ˆai = |N1, N2, ai, ˆbE=|N1− 1, N2 + 1, bi, |ˆei = |N1− 1, N2, ei) est 0 0 V1 0 δ V2 V∗ 1 V∗ 2 ∆ (A.9) 3
De mˆeme que pr´ec´edemment, on se place dans le cas o`u ∆≪ ωat de sorte que le processus dans
On retrouve le mˆeme hamiltonien que pr´ec´edemment (´equation A.1). Donc, une ap-proximation s´eculaire donne le mˆeme un hamiltonien effectif A.6 dans la base (|ˆai ,
ˆbE).
Le couplage effectif est donc
Vef f =−V1∆V2. (A.10)
Les conditions de validit´e sont toujours A.7 etA.8. Le d´esaccord ∆ n’est pas n´ecessairement grand devant ωHF puisque la fr´equence ωHF n’apparaˆıt plus dans les ´etats habill´es.
Transferts Raman par passage
adiabatique
Le transferts Raman d’atomes entre les sous-niveaux hyperfins F = 3 et F = 4 de l’´etat fondamental du C´esium peuvent ˆetre effectu´es de plusieures fa¸cons. La premi`ere m´ethode consiste `a utiliser des lasers Raman dont le d´esaccord est ajust´e pour ˆetre `a r´esonance avec la transition que l’on veut effectuer. Lors de l’impulsion, le d´esaccord ne varie pas : ces impulsions sont applel´ees impulsions monochromatiques. Cependant, de telles impulsions ne sont pas toujours adapt´ees aux situations exp´erimentales. Un autre type d’impulsion, transf´erant les atomes dans F = 4 par passage adiabatique peut ˆetre utilis´e. Le spectre d’excitation d’une telle impulsion peut se rapprocher d’une forme rectangulaire. De plus, l’efficacit´e de transfert est proche de 1 et ne d´epend pas, dans certaines limites1, de la valeur du couplage Raman. Un tel profil est utile `a plusieurs reprises dans l’exp´erience : nettoyage des fr´equences d’oscillation (voir paragraphe 4.2.3), refroidissement (voir paragraphe 4.2.4) et production des niveaux vibrationnels excit´es (voir 5.1).
Apr`es un rappel des propri´et´es des impulsions monochromatiques, le principe des impulsions balay´es est d´ecrit.
B.1 Impulsions monochromatiques carr´ees
Lors d’une impulsion monochromatique `a r´esonance, les atomes effectuent des oscil-lations de Rabi : la population de l’´etat F = 4 oscille avec une p´eriode 2π/Ω, o`u Ω est la fr´equence de Rabi du couplage Raman2. En effectuant une impulsion de dur´ee Tπ = π/ω (impusion π) les atomes sont transf´er´es dans F = 4 avec une probabilit´e de 1.
Lorsque tous les atomes n’ont pas la mˆeme fr´equence de transition, l’impulsion
1
La suite de cet appendice pr´ecise la zone de validit´e
2
Ω = 2V o`u V est le couplage
δb ∆ δ/(2pi) (kHz) NF = 4 /N 0 100 80 60 40 20 0 -20 1.2 0.8 0.4 0 δT NF = 4 /N 0 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 1.2 0.8 0.4 0
Figure B.1: spectre d’excitation d’une impulsion monochromatique (a) et d’un impul-sion balay´ee (b). T est la dur´ee de l’impulimpul-sion. La puissance de l’impulimpul-sion en (a) a ´et´e choisie de fa¸con `a r´ealiser une impulsion π pour les atomes `a r´esonance. Le spec-tre (b) est calcul´e num´eriquement en int´egrant l’´equation de Shr¨odinger. La dur´ee de l’impulsion est de 1 ms, la fr´equence de Rabi du couplage est de 2π× 10 kHz et la plage de balayage du d´esaccord des faisceaux est de 2π× 60 kHz. Le profil de l’impulsion est donn´e figure B.3. Cette impulsion correspond `a l’impulsion utilis´ee pour le refroidisse-ment Raman d´ecrit au paragraphe 4.2.4
n’est pas `a r´esonance avec tous les atomes. Pour trans´erer efficacement une grande partie des atomes, la largeur du profil d’excitation de l’impulsion doit ˆetre plus grande que la dispersion des fr´equences d’oscillation. La largeur spectrale d’une impulsion monochromatique π, donn´ee figure B.1, est de l’ordre de 1/Tπ. Ainsi, pour tranf´erer efficacement un ensemble d’atomes ayant une dispersion de fr´equence de transition ∆, une impulsion de dur´ee inf´erieure `a 1/∆ est n´ecessaire.
Cependant, la forme du spectre d’excitation d’une impulsion monochromatique ne convient pas toujours. Par exemple, pour refroidir les atomes (voir paragraphe 4.2.4) on veut transf´erer les atomes dans F = 4 en diminuant leur niveau vibrationnel de 1 tout en respectant la condition des bandes r´esolues. Or la dispersion des fr´equences d’oscillation des atomes, donc des fr´equences de transition, est importante (environ 25% de la fr´equence d’oscillation centrale). L’utilisation d’une impulsion monochromatique suffisamment courte pour s’adresser `a tous les atomes ne respecterait alors pas la condition des bandes r´esolues n´ecessaire lors du refroidissement.
En fait, le profil d’excitation souhait´e pour le refroidissement des atomes est un profil comme celui repr´esent´e figure B.1 (b) : il est suffisamment large pour recouvrir la dispersion des fr´equences d’oscillation mais ses bords sont suffisamment raides pour respecter la condition des bandes r´esolues.
Un tel spectre d’excitation peut ˆetre r´ealis´e `a l’aide d’une succession d’impulsions monochromatiques suffisamment longues pour reproduire les bords raides du spectre d’excitation d´esir´e et centr´ees `a des fr´equences diff´erentes de fa¸ccon `a recouvrir la
largeur du profil d´esir´e. Cependant, un tel spectre d’excitation peut ˆetre produit beaucoup plus simplement `a l’aide d’une impulsion unique dont le d´esaccord est balay´e au court du temps. Le transfert des atomes de F = 3 `a F = 4 est alors effectu´e par passage adiabatique.
Les impulsions balay´ees pr´esentent un autre avantage par rapport aux impulsions monochromatiques : elles peuvent transf´erer efficacement dans F = 4 des atomes subissant des couplages Raman tr`es diff´erents. Ceci n’est pas le cas d’une impulsion monochromatique pour laquelle la condition π n’est v´erifi´ee que pour un couplage Raman donn´e. Dans le cas du transfert dans F = 4 avec diminution du niveau vibra-tionnel, cette propri´et´e des impulsions balay´ees est tr`es int´eressante puisque le couplage Raman, proportionnel `a √
n + 1, peut pr´esenter une grande dispersion. Ainsi, avec la temp´erature initiale de l’ordre de 8¯hωosc, la distribution des couplages Ramans du transfert diminuant le niveau vibrationnel de 1 s’´etale typiquement entre Ω0 et 3Ω0.