Couplage Raman

Transitions `a deux photons

Le couplage entre les deux niveaux hyperfins F = 3 et F = 4 est obtenu `a l’aide de deux faisceaux, appel´es faisceaux Raman, dont la diff´erence de fr´equence, proche de la fr´equence correspondant `a la transition |F = 3i → |F = 4i est ajustable et pr´ecise `a la dizaine de Hertz pr`es. La stabilit´e de la diff´erence de fr´equence entre les deux lasers est obtenue grˆace `a un asservissement en phase du battement entre les lasers[50]. Pour cela, le signal d´elivr´e par une photodiode observant le battement entre les deux lasers est lui-mˆeme m´elang´e avec une r´ef´erence ´electronique provenant d’un oscillateur

6Le potentiel dipolaire de l’´etat excit´e n’a pas ´et´e calcul´e. En plus du terme anti-pi´egant dˆu au

couplage avec l’´etat fondamental, des couplages vers des ´etats excit´es peuvent introduire un terme pi´egeant. Dans tous les cas, le potentiel est modul´e dans la direction verticale comme celui de l’´etat fondamental et le fond des puits du potentiel de l’´etat fondamental coincide avec un extremum du potentiel de l’´etat excit´e. Ainsi les atomes amen´es dans l’´etat excit´e sont proches d’un extremum du potentiel et l’´echelle de temps de leur ´evolution est donc donn´ee par la courbure du potentiel pr`es d’un extremum (´evolution en cos(ωt), sin(ωt) si potentiel pi´egeant et ´evolution en Ch(ωt), Sh(ωt) si potentiel anti-pi´egeant).

n = 2 n = 0 n = 3 n = 4 n = 5 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 1 n = 0 ωHF |F = 3i ∆ = 30 GHz |F = 4i 6P3/2

Figure 4.3: Refroidissement utilisant |F = 3i et |F = 4i. Les faisceaux Ramans ac-cord´es sur la transition |F = 3, ni −→ |F = 4, n − 1i transf`erent des atomes de F = 3 `a F = 4 en diminuant leur niveau vibrationnel de 1. L’impulsion choisie est suffisam-ment pr´ecise en ´energie pour que les transferts hors r´esonance soient n´egligeables. Un laser repompeur couple ensuite l’´etat F = 4 `a l’´etat excit´e 6P3/2, F′ = 4. A l’issue de l’´emission de quelques photons spontan´es, les atomes pr´ec´edemment transf´er´es dans F = 4 retombent ainsi dans F = 3. La condition de Lamb Dicke ´etant satisfaite, en r´ep´etant de tels cycles, on accumule les atomes dans l’´etat quasi-noir |F = 3, n = 0i.

`a quartz. Le signal de basse fr´equence obtenu, proportionnel `a la phase relative entre la r´ef´erence ´electronique et le signal de la photodiode est asservi `a une valeur constante. On app`ele laser Raman bleu le laser de plus haute fr´equence et laser Raman rouge celui de plus basse fr´equence. Le d´esaccord Raman ∆ est le d´esaccord du laser Raman bleu par rapport `a la transition F = 3 −→ 6P3/2. C’est aussi le d´esaccord du laser Raman rouge par rapport `a la transition F = 4−→ 6P3/2(voir figure 4.4). L’appendice A pr´esente le calcul du couplage Raman. Si on note Ω_b la fr´equence de Rabi7 du couplage dipolaire entre un ´etat de F = 3 et un ´etat de 6P3/2 dˆu `a la pr´esence du laser Raman bleu et Ωr celle du couplage entre un ´etat de F = 4 et le mˆeme ´etat excit´e dˆu au laser Raman rouge, alors la fr´equence de Rabi du couplage effectif entre ces deux

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´etats de F = 3 et F = 4 est

Ω_{ef f} = ^Ω1Ω2

2∆ ^{. (4.10)}

Les transitions entre F = 3 et F = 4 que ce couplage peut induire correspondent `a une absorption dans un faisceau suivie d’une ´emission stimul´ee dans l’autre faisceau. Les atomes dans F = 3 et F = 4 sont aussi susceptibles d’absorber un photon dans l’un des faisceaux puis d’´emettre un photon spontan´e. Pour estimer l’effet de ce processus, on suppose que les fr´equences de Rabi Ω1 et Ω2 sont ´egales, ce qui est `a peu pr`es le cas dans l’exp´erience. On note alors Ω = Ω₁ = Ω₂ les fr´equences de Rabi. Le taux de photons spontan´es est, pour un d´esaccord ∆ beaucoup plus grand que Ω et plus grand que la s´eparation entre F = 3 et F = 4,

Γ_spont ≃ 2^Γ 2

Ω2/2

∆2 . (4.11)

Or le temps n´ecessaire pour effectuer une transition de F = 3 `a F = 4 est de l’ordre de Ttrans = ¹

Ωef f

= _Ω¹2

2∆

. (4.12)

Le nombre de photons spontan´es ´emis lors d’un transfert Raman est donc de l’ordre de

Nspont ≃ ΓspontTtrans ≃ _4∆^Γ (4.13) Donc, si ∆≫ Γ, le nombre de photons spontan´es ´emis durant une transition entre F = 3 et F = 4 est n´egligeable. C’est le cas dans nos exp´eriences o`u ∆ = 30 GHz≃ 6000Γ. En fait, comme pr´esent´e dans la section 4.2.4, la dur´ee de l’impulsion Raman utilis´ee pour le refroidissement est plus grande que Ttrans. Cependant, le nombre de photons spontan´es ´emis reste n´egligeable.

Dans le cas du C´esium, l’´etat excit´e et les ´etats F = 3 et F = 4 sont eux-mˆemes compos´es de plusieurs sous niveaux. Plusieurs sous-niveaux de l’´etat excit´e peuvent servir d’´etat interm´ediaire `a une transition Raman. Le couplage entre deux sous-niveaux |F = 3, mi et |F = 4, m′i donn´es de F = 3 et F = 4 est alors donn´e par la somme sur les ´etats excit´es

Ωef f 2 ⁼ X |ei hF = 4, m′| Vr|ei he| Vb|F = 3, mi ¯h²∆e , (4.14)

o`uVb et Vr sont les couplages induits par les lasers Raman respectivement bleu et rouge et ∆e le d´esaccord Raman pour chaque ´etat excit´e |ei. Le d´esaccord des faisceaux Raman par rapport `a la transition 6S1/2 → 6P1/2 est tr`es sup´erieur au d´esaccord par rapport `a la transition 6S1/2 → 6P3/2. La contribution des niveaux de 6P1/2`a la somme 4.14 est donc n´egligeable.

|F = 3i |F = 4i ∆ = 30 GHz ωHF= 9, 19.. GHz δ ωb Ω1 Ω2 6P3/2 ω_r Ωeff

Figure 4.4: Fr´equences des deux faisceaux Ramans par rapport aux transitions du c´esium. La diff´erence de fr´equence entre les faisceaux Ramans, de l’ordre de 9 GHz, est asservie par un asservissement en phase de leur battement. Un modulateur acousto-optique permet ensuite d’ajuster le d´esaccord δ. Les transitions `a un photon vers l’´etat excit´e sont d´esaccord´ees de 20 et 30 GHz environ. L’´emission de photon spontan´e lors d’un transfert Raman est alors n´egligeable.

Polarisation des faisceaux Raman

Le couplage Raman entre diff´erents sous-niveaux de F = 3 et de F = 4 d´epend de la polarisation des faisceaux Raman. En particulier, le couplage Raman est quasiment nul pour certaines polarisations. Le choix de la polarisation des faisceaux Ramans est donc important. L’analyse suivante du couplage Raman permet de montrer simplement les propri´et´es importantes du couplage Raman.

Comme le d´esaccord Raman ∆ est tr`es sup´erieur `a l’´ecart en ´energie des niveaux hyperfins de 6P_3/2, on peut mettre 1/∆ en facteur dans la somme 4.14. Il est alors possible de choisir la base de 6P3/2 utilis´ee pour le calcul et le plus simple est de prendre la base fine. Pour calculer le couplage Raman entre deux ´etats |F = 3, mi et |F = 4, m′i, on d´ecompose alors ceux-ci dans la base fine |mJ =±1/2i de l’´etat 6S1/2. On est ensuite formellement amen´e `a calculer les ´el´ements de matrices

Um′ J,mJ = ¹ ∆ X |mJei D 6S1/2, m^′_J Vr   6P3/2, mJe E D 6P3/2, mJe   Vb   6S1/2, mJ E . (4.15) Ces ´el´ements de matrices n’ont un sens que lorsque l’on s’en sert pour calculer le cou-plage entre un niveau de F = 3 et un niveau de F = 4. Des propri´et´es int´eressantes d´ecoulent du calcul du couplage Raman en passant par la base fine. Par exemple, si la polarisation des deux faisceaux Raman est circulaire de sens oppos´es (σ+ et σ₋), le couplage Raman est nul. En effet une absorption dans le laser Raman bleu suivi d’une ´emission dans le laser Raman rouge modifierait le moment cin´etique de l’atome de 2¯h.

L’´etat fondamental ´etant de moment cin´etique 1/2, ceci est imposible.8 De mˆeme, le couplage Raman est nul si les polarisations des faisceaux Raman sont lin´eaires et par-all`eles. En effet, dans ces conditions les ´etats 

6S_1/2, m_J =−1/2^E et

6S_1/2, m_J = 1/2^E ne sont pas coupl´es et la sym´etrie des coefficients de Clebsch-Gordan donne

U_{−1/2,−1/2} = U1/2,1/2. (4.16) U correspond alors `a un d´ecalage global en ´energie : il n’y a pas de couplage Raman entre F = 3 et F = 4.

Dans le cas g´en´eral, comme U est une matrice 2x2, elle est identique au “hamil-tonien” correspondant `a un d´ecalage global en plus une int´eraction avec un champ magn´etique fictif9. Seul le champ magn´etique fictif introduit un couplage entre F = 3 et F = 4. Or son “hamiltonien” est un op´erateur vectoriel. Les couplages Raman entre des niveaux de F = 3 et ceux de F = 4 sont donc, pour une polarisation donn´ee mc du champ magn´etique fictif, proportionnels aux coefficients de Clebsch-Gordan hF = 4, m′| |F = 3, m; 1, mci.

Pour des faisceaux Raman se propageant suivant le mˆeme axe, le couplage Raman est maximum pour des polarisations circulaires identiques ou pour des polarisations lin´eaires orthogonales. Nous avons choisi dans l’exp´erience la polarisation des faisceaux Raman lin´eaire et orthogonale comme pr´esent´e figure4.5.

~ z0

ω_b ωr

Figure 4.5: Direction et polarisation des faisceaux Raman.

Couplage entre niveaux vibrationnels

Dans l’´equation 4.14, seul l’´etat interne apparaˆıt. Or le couplage induit par chacun des deux lasers agit aussi sur l’´etat externe de l’atome pour assurer la conservation de la

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Ceci n’est vrai que dans la limite o`u le d´esaccord Raman est tr`es grand devant l’´ecart en ´energie

des niveaux hyperfins de 6P3/2.

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Comme U n’est pas `a priori hermitique le champ magn´etique fictif peut avoir une polarisation

complexe, par exemple σ+

quantit´e de mouvement lors de l’absorption ou de l’´emission d’un photon. Le couplage induit par le laser bleu s’´ecrit

V_beikb.r (4.17)

et le couplage induit par le laser rouge s’´ecrit

Vre^ikr.r, (4.18)

o`u V_r et V_b n’agissent que sur l’´etat interne de l’atome. kr et kb sont les vecteurs d’onde des deux lasers et r est l’op´erateur position du centre de masse de l’atome. Le couplage Raman entre un ´etat de F = 3 et un ´etat de F = 4 agit donc lui aussi sur la fonction d’onde du centre de masse de l’atome. Il s’´ecrit

Vinte^i(kb−kr).r, (4.19)

o`uVint n’agit que sur l’´etat interne de l’atome. Comme seul le mouvement des atomes dans la direction verticale nous int´eresse, les deux faisceaux sont dispos´es verticalement de fa¸con `a ce que le couplage Raman n’agisse que sur le mouvement vertical des atomes. Si les deux faisceaux se propagent dans la mˆeme direction, alors le couplage Raman s’´ecrit

V_intei(kb−kr)z. (4.20)

¯h∆k = ¯h(kb− kr) ≃ ¯h200 m −1 ≃ ¯h2π/(3 cm) est la variation de la quantit´e de mou-vement d’un atome `a l’issue du transfert Raman. Cette quantit´e de moumou-vement est tr`es inf´erieure aux quantit´es de mouvement typique des atomes (p₀ = ^q¯hmω_osc/2 ≃ ¯h2π/(260 nm)) et peut ˆetre n´eglig´ee. Ainsi, la modification de la fonction d’onde du centre de masse de l’atome lors du transfert Raman est n´egligeable et le couplage s’´ecrit simplement

Vint. (4.21)

Aucun changement de l’´etat de l’´etat externe des atomes n’a lieu lors d’un transfert Raman.

Si, au contraire, les deux faisceaux se propagent en sens inverse, alors le couplage Raman est, en approximant kb+ kr par 2k,

Vinte^2ikz. (4.22)

Dans ce cas, le changement de quantit´e de mouvement (∆p = 2¯hk) est beaucoup plus important et des ´etats du centre de masse diff´erents peuvent ˆetre coupl´es. Le couplage entre un ´etat vibrationnel |ni et un autre ´etat vibrationnel |n′i est

V_n→n′ = Vinthn^′| e^i2kz|ni . (4.23) En d´evelopant l’exponentielle, cette ´equation s’´ecrit

V_n→n′ = V_int hn^′|ni + hn^′| 2ikz |ni + hn^′|^(2ikz)

2

2 |ni + ... !

Si n n’est pas trop ´elev´e, l’´etalement spatial de la fonction d’onde de |ni est de l’ordre de la taille de l’´etat fondamental z0 =^q¯h/(2mωosc). Or, dans l’exp´erience, kz0 = η ≃ 0.15. Donc les ´el´ements de matrice de 2kz sont petits. Ainsi, on peut, dans l’´equation 4.24, ne retenir que le terme d’ordre 1 en kz. On obtient

V_n→n′ = V_inthn^′| Id + i2kz |ni . (4.25) En ´ecrivant z = z0(a + a+), on a

V_n→n′ = Vinthn′| Id + 2iη(a + a+)|ni . (4.26) A cet ordre, un niveau vibrationnel n’est coupl´e qu’`a ses premiers voisins. Les couplages entre le niveau vibrationnel |ni de F = 3 et les niveaux |ni, |n − 1i et |n + 1i de F = 4

v´erifient _                   V_n→n = V_int V_n→n−1= 2iη√ n Vint ≃ 0.3Vint√ n V_n→n+1= 2iη√ n + 1 Vint ≃ 0.3Vint√ n + 1