Indices optiques

En optique, l’anisotropie donne lieu à la biréfringence. Ce phénomène fut d’abord iden-tifié par l’observation des cristaux : un faisceau optique incident de lumière naturelle (non polarisé) se divise en deux faisceaux optiques ayant des polarisations orthogonales, comme illustré Figure 2.10.

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Figure 2.10 : Propagation optiques dans les matériaux isotrope et anisotrope

Ce phénomène est utilisé dans la mise en œuvre certains composant optiques notam-ment des polariseurs, des lames à retard ou encore des diviseurs de faisceaux.

La paratellurite est un cristal qui est aussi anisotrope pour les ondes optiques.

b) Tenseur des permittivités diélectriques

Dans un milieu isotrope, on considère qu’il n’y a qu’un indice optique pour l’ensemble de la structure, quelle que soit la direction considérée. Par ailleurs, pour un milieu anisotrope, l’indice optique dépend de la direction considérée.

A l’échelle microscopique, ceci s’explique par la structure particulière de l’arrangement des atomes dans le cristal.

A l’échelle macroscopique, le tenseur des permittivités diélectriques donnant les valeurs des indices optiques est obtenu à partir des équations de Maxwell et de la loi de la conserva-tion d’énergie.

On considère ici le champ électrique 𝐸⃗ tel que :

𝐸⃗ (𝑟 , 𝑡 ) = 𝐸₀cos(𝑘⃗ . 𝑟 − 𝜔𝑡) (2.15)

𝐸₀ peut être complexe, 𝑘⃗ vecteur d’onde (direction de propagation de l’onde), 𝜔 fré-quence de l’onde.

Le champ électrique induit de 𝐷⃗⃗ (dit aussi excitation électrique ou encore déplacement électrique) est obtenu par la relation constitutive suivante :

𝐷⃗⃗ = 𝜀₀𝐸⃗ + 𝑃⃗ ^(2.16)

Avec 𝜀₀ la permittivité diélectrique dans le vide et 𝑃⃗ la polarisation électrique induite qui est liée au champ électrique, telle que 𝑃⃗⃗ _{= 𝜀0𝜒𝐸}⃗⃗ , 𝜒 étant le tenseur de susceptibilité électrique du milieu quand 𝐸⃗ est faible.

On peut alors écrire (2.18) ainsi :

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Le tenseur de permittivité relative dans le milieu [𝜀_𝑟 ] est symétrique et réel, il est donc diagonalisable, dans le repère principal :

[𝜀_𝑟] = (

𝑛₁2 . .

. 𝑛₂2 .

. . 𝑛₃2

) (2.18)

Avec 𝑛_𝑖les indices propres.

Il peut donc y avoir jusqu’à 3 indices propres pour chaque cristal. Selon la nature du cristal il y a plusieurs cas :

• 𝑛1= 𝑛2= 𝑛3 → Le milieu est isotrope et𝐸₁⊥ 𝐸₂ ⊥ 𝐸₃ et Les trois vecteurs 𝐸⃗⃗⃗⃗ /‖𝐸𝑖 𝑖‖

forment une base orthogonale.

• 𝑛₁= 𝑛₂≠ 𝑛₃ → Le milieu est uniaxe et 𝐸₁⊥ (𝐸₂, 𝐸₃).

• 𝑛₁≠ 𝑛₂≠ 𝑛₃ → Le milieu est biaxe.

La paratellurite est un cristal uniaxe, elle possède donc deux indices différents, que l’on appelle ordinaire et extraordinaire, 𝜀₁ = 𝜀₂ ≠ 𝜀₃ . Ces indices sont notés : 𝑛𝑜 et 𝑛_𝑒, pour or-dinaire ou extraoror-dinaire. Les cristaux anisotropes uniaxes se divisent en deux catégories, dont sont donnés deux exemples sur la Figure 2.11 :

• Le cristal est dit positif si 𝑛_𝑒 > 𝑛_𝑜 : par exemple le TeO2. • Le cristal est dit négatif si 𝑛_𝑒 < 𝑛_𝑜 : par exemple le LiNbO3. Dans tous les cas 𝑛_𝑜 forme un cercle.

Figure 2.11 : Exemples de surface des indices dans deux cristaux uniaxes emblématiques.

c) Polarisations ordinaires et extraordinaires

La différenciation de l’indice optique dans le cristal rend compte de la réfraction qui est différente selon la polarisation. On a deux ondes optiques se propageant à des vitesses diffé-rentes, correspondant aux deux polarisations dans le cristal. Les deux vitesses sont les sui-vantes :

• 𝑐 _𝑛

𝑜

- 51 - • _𝑛

𝑒(𝜃)

⁄ vitesse qui varie selon la direction de propagation repérée par l’angle 𝜃, avec

𝑛𝑜≤ 𝑛𝑒(𝜃) ≤ 𝑛_𝑒

Avec 𝑐 la célérité de la lumière dans le vide.

La direction de propagation des faisceaux lumineux est donnée par le vecteur de Poyn-ting, 𝑃^⃗⃗⃗ _𝑜. Ce vecteur est colinéaire au vecteur d’onde dans un milieu isotrope, ce n’est plus le cas dans un milieu anisotrope.

Le vecteur de Poynting est le résultat du produit vectoriel entre le champ électrique 𝐸⃗ et le champ magnétique 𝐵⃗⃗ .

𝑃_𝑜

⃗⃗⃗ = ^{𝐸⃗ ∧ 𝐵⃗}

𝜇₀ ^(2.19)

Avec 𝜇₀ la permittivité magnétique du vide.

Figure 2.12 : Vecteurs 𝐸⃗⃗ et 𝐷⃗⃗⃗ pour les deux types de polarisation dans un cristal anisotrope uniaxe.

La Figure 2.12 illustre la différence entre la polarisation ordinaire et extraordinaire. Le vecteur 𝐷⃗⃗⃗⃗ de l’onde polarisée ordinairement est perpendiculaire au plan formé par le vecteur _𝑜 d’onde ordinaire et l’axe optique, tandis que le vecteur 𝐷⃗⃗⃗⃗ de l’onde polarisée extraordinaire-_𝑒 ment est perpendiculaire au plan formé du vecteur d’onde extraordinaire et de 𝐷⃗⃗⃗⃗ . _𝑜

Un angle apparait entre le vecteur du champ électrique 𝐸⃗ et 𝐷⃗⃗ dans le cas extraordinaire, tandis que pour le cas ordinaire ils restent colinéaires.

a) Biréfringence et dispersion

La biréfringence est l’expression de la différence des indices ordinaire et extraordinaire, sa valeur est tout simplement : Δ𝑛 = 𝑛_𝑒− 𝑛_𝑜.

Les valeurs des indices optiques ordinaire 𝑛_𝑜 et extraordinaire 𝑛_𝑒 dépendent de la lon-gueur d’onde 𝜆, dans le cas de milieu dispersif. Les expressions des indices selon les formules dites de Sellmeier, sont déduites des valeurs déterminées expérimentalement. A titre d’exemple, nous donnons ici un jeu de formules valables pour la paratellurite [139] :

- 52 - 𝑛_𝑜 = √1 + ^{2.5844 𝜆} 2 𝜆2 − 0.13422 + ^{1.1557 𝜆} 2 𝜆2 – 0.26382 𝑛_𝑒 = √1 + ^{2.8525 𝜆} 2 𝜆2 – 0.13422+ ^{1.5141 𝜆} 2 𝜆2 – 0.26312 (2.20)

Dans l’équation (2.20) la longueur d’onde doit être exprimée en μm. D’autres jeux de valeurs existent pour s’adapter à la diversité liée aux différentes sources de matériaux, des exemples sont donnés en Annexe A.

La Figure 2.13 présente l’évolution des indices ordinaires et extraordinaires de la Para-tellurite ainsi que sa biréfringence en fonction de la longueur d’onde.

Figure 2.13 : Evolution des indices ordinaires et extraordinaires et de la biréfringence en fonction de la longueur d’onde, pour la paratellurite

On remarque que les indices de réfraction de la paratellurite varient fortement pour les basses longueurs d’onde et peu par la suite. La biréfringence suit cette tendance : on remarque qu’elle est plus forte pour les faibles longueurs d’ondes et son évolution n’est pas linéaire. A noter que la biréfringence de la paratellurite est forte comparée à d’autres matériaux.

d) Ellipsoïde des indices

Nous venons de voir l’existence possible de deux faisceaux polarisés orthogonalement et se propageant à des vitesses différentes. Les directions des propagations électriques (pola-risations) de ces faisceaux sont celles des vecteurs 𝐷^⃗⃗ comme mentionné précédemment. Dans le cas de la paratellurite, on les note 𝐷^⃗⃗⃗⃗ _𝑜 pour la polarisation ordinaire et 𝐷^⃗⃗⃗⃗ _𝑒 pour la polarisation extraordinaire.

Pour retrouver la direction des vecteurs 𝐷⃗⃗ il faut passer par l’ellipsoïde des indices. En effet, ces vecteurs sont déterminés par l’intersection de l’ellipsoïde des indices avec le plan perpendiculaire à 𝑘⃗ : les directions des vecteurs 𝐷⃗⃗ suivent les axes de l’ellipse alors obtenue.

- 53 - 𝑥² 𝑛_𝑥2+ ^𝑦 2 𝑛_𝑦2+ ^𝑧 2 𝑛_𝑧2 = 1 (2.21)

Dans le cas d’un cristal uniaxe on a alors : 𝑥² + 𝑦²

𝑛_𝑜2 + ^𝑧

2

𝑛_𝑒2 = 1 (2.22)

Une représentation de l’ellipsoïde est donnée Figure 2.14.

Figure 2.14 : Schéma représentant l’ellipsoïde des indices dans un cristal uniaxe

Sur la seconde partie de la figure on peut voir l’intersection entre le plan d’onde et l’el-lipsoïde des indices ainsi que les vecteurs 𝐷⃗⃗ . Il est important de rappeler qu’ils sont orthogo-naux entre eux et orthogoorthogo-naux à 𝑘⃗ . L’axe 𝑧 sur le schéma est aussi l’axe optique, un faisceau se propageant selon la direction de l’axe optique aura les mêmes propriétés que s’il était dans un milieu isotrope, il ne voit qu’un indice et n’est pas polarisé. On note aussi la présence des indices 𝑛₁et 𝑛₂, 𝑛₁ étant toujours égal à 𝑛_𝑜 puisqu’étant dans le plan 𝑥𝑦. Cependant 𝑛₂ n’est pas forcement égal à 𝑛_𝑒.

e) Surface des indices

La surface des indices se représente dans l’espace des vecteurs d’onde : on trace une longueur proportionnelle aux indices optiques dans cet espace. La surface créée de cette fa-çon est similaire à la surface des lenteurs en acoustique. En effet l’indice est inversement proportionnel à la vitesse de l’onde optique dans le milieu.

Pour notre cristal elle contient deux surfaces, deux nappes, correspondant aux deux po-larisations comme visible Figure 2.15. L’onde ordinaire se propageant à vitesse constante, la surface est une sphère. L’onde extraordinaire ayant une vitesse non constante, la surface des indices correspondants est donc une ellipsoïde, tangente à la surface des indices ordinaires sur l’axe optique.

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Figure 2.15 : Surface des indices dans un cristal uniaxe positif.

Dans la paratellurite il n’y a théoriquement qu’un indice optique (𝑛_𝑜) pour les ondes optiques se propageant selon la direction [001], c’est l’axe optique de ce cristal. Cependant, ce n’est pas tout à fait le cas : près de l’axe optique, une différence d’indice optique pour les deux polarisations peut être décelée, ce phénomène est dû à la gyrotropie.

Sur la Figure 2.15, les surfaces indiquées en vert sont celles pour les faisceaux extraordi-naires. Dans le plan (1̅₁₀₎, 𝑛𝑒(𝜃_𝑖) varie entre 𝑛_𝑒 et 𝑛_𝑜 :

1 𝑛_𝑒²(𝜃_𝑖)⁼ cos²𝜃_𝑖 𝑛_𝑜² ⁺ sin² 𝜃_𝑖 𝑛_𝑒² (2.23)

La surface des indices permet une visualisation simple des conditions d’interaction acousto-optique car elle est homothétique au lieu des vecteurs d’onde. Cette représentation graphique permet de tracer le diagramme des vecteurs d’onde, très utile pour déterminer les conditions d’interaction acousto-optique par construction géométrique.