Impl´ementation du SEEK avec OPA surface libre

d’ordre pose des probl`emes de fiabilit´e des faibles covariances, et donc en particulier,

des covariances `a tr`es grande distance. En effet, tel que nous l’avons introduit ci-dessus,

le filtre SEEK utilise des modes d’erreurs que l’on qualifiera de “globaux”, issus d’une

d´ecomposition EOFs classique d’une s´erie temporelle d’´etats du mod`ele. On parle de modes

d’erreurs globaux parce qu’ils sont d´efinis sur l’ensemble du domaine d’´etude. On voit

alors que l’utilisation de tels modes multivari´es globaux va se traduire par la propagation

de l’information d’une seule observation `a tout le domaine ´etudi´e. Ce comportement se

d´eduit facilement des ´equations du SEEK. L’utilisation de modes d’erreurs globaux n’est

pas `a remettre en cause fondamentalement, dans la mesure o`u dans le cas d’un espace

d’erreur en rang complet et parfaitement sp´ecifi´e, la combinaison de tous les modes dans

l’espace d’´etape conduirait `a annuler les covariances `a grande distance quand ces derni`eres

sont nulles dans la r´ealit´e. En revanche, la troncature du sous-espace d’erreurs en un

nombre limit´e de modes empˆeche l’annulation de ces covariances et introduit donc des

effets ind´esirables `a grande distance.

Afin de corriger ce probl`eme, Testut (2000) a d´evelopp´e une variante, dite locale, du

SEEK. Cette approche consiste `a annuler explicitement les corr´elations `a grande distance

par le biais d’une param´etrisation locale de l’erreur d’´ebauche. Cette param´etrisation

consiste `a introduire a priori l’´echelle maximale de corr´elation horizontale des erreurs lors

de l’analyse. On d´efinit donc des bulles d’influence au-del`a desquelles toutes les corr´elations

sont impos´ees `a z´ero. Au final, on utilise donc toujours des modes multi-vari´es globaux

mais avec une influence locale afin de s’affranchir des probl`emes `a grande distance r´esultant

de la r´eduction d’ordre.

Dans notre r´egion d’int´erˆet qu’est le Pacifique Tropical, la dynamique est

essentiel-lement zonale et s’exerce `a tr`es grande ´echelle. La correction globale peut donc a priori

paraˆıtre bien adapt´ee pour des exp´eriences d’assimilation r´ealistes dans cette r´egion. Le

SEEK global a d’ailleurs ´et´e utilis´e pour de pr´ec´edentes ´etudes dans cette r´egion par

Pa-rent (2000) etDurand (2003). Cependant, pour les raisons invoqu´ees ci-dessus, j’ai pr´ef´er´e

utiliser l’approche locale que je viens d’introduire. Les zones d’influences utilis´ees sont, en

revanche, anisotrope et de grande taille, afin de respecter les sp´ecificit´es de la dynamique

locale.

4.5 Impl´ementation du SEEK avec OPA surface libre

4.5.1 Le logiciel SESAM

Malgr´e l’apparente simplicit´e de l’algorithme SEEK (cf tableau 4.1), dans les faits, les

difficult´es pratiques inh´erentes `a la mise en place d’un syst`eme d’assimilation s´equentielle

bas´e sur le SEEK sont importantes. Le programme SESAM

7

(System of Sequential

Assi-milation Modules) a ´et´e d´evelopp´e au sein de l’´equipe MEOM par J-M. Brankart, C-E.

Testut et L. Parent (Testut, 2000) afin de fournir `a l’assimilateur un code permettant

la mise en œuvre du SEEK dans diff´erentes configurations. Le fait d’avoir SESAM `a ma

disposition, a grandement facilit´e la phase impl´ementation du SEEK avec le mod`ele OPA

dans sa version utilisant une surface libre.

Le code est constitu´e de diff´erents modules, ´ecrits en Fortran 90. A titre d’exemple,

SESAM repr´esente un code d’environ 80000 lignes, ce qui est ´equivalent au volume du code

7

de circulation g´en´erale de l’oc´ean OPA. SESAM g`ere la phase d’analyse du SEEK, mais

´egalement un grand nombre d’autres tˆaches relatives `a l’assimilation de donn´ees comme

la gestion des donn´ees d’observation du syst`eme, le calcul d’´ecart RMS par rapport aux

observations, ou encore l’estimation de param`etres statistiques et le calcul de bases EOFs.

Un des gros avantages de SESAM est qu’il n’est pas li´e `a une configuration ou `a un mod`ele

particulier. Ainsi, pr´ealablement `a ce travail de th`ese, il a ´et´e utilis´e dans des contextes

aussi vari´es que l’assimilation de SSH et de SST dans un mod`ele de l’Atlantique Nord `a

haute r´esolution (Testut et al., 2003), l’assimilation de SSH dans un mod`ele du Pacifique

Tropical (Parent et al., 2003), l’assimilation de SSH et de SST dans un mod`ele `a couche

isopycnes de l’Atlantique Nord (Brankart et al., 2003) ou hybride (Birol et al., 2004),

et plus r´ecemment, pour l’assimilation de SSH et SST dans un mod`ele coupl´e

physique-biog´eochimie de l’Atlantique Nord (Berline, 2005). Cette liste est loin d’ˆetre exhaustive.

Pour permettre une telle diversit´e d’applications, le module d’assimilation et le mod`ele

sont compl`etement ind´ependants. Le mod`ele s’arrˆete `a l’instant d’analyse t

_i

. Le vecteur

d’´etat x

_i

est alors transmis `a la chaˆıne d’assimilation. Le module SESAM se charge de

calculer l’´etat analys´e `a l’instant t

i

, ce dernier est `a son tour transmis au mod`ele sous

forme d’une condition initiale que l’on fait ´evoluer par la dynamique du mod`ele jusqu’`a

l’instant d’analyse suivantt

_i+1

. Le vecteur d’´etatx

_i

est transmis sous la forme d’un fichier

Netcdf et l’ensemble de l’exp´erience d’assimilation est g´er´e par un m´eta-script sp´ecifique

`

a chaque exp´erience d’assimilation et qui est donc en grande partie cod´e par l’utilisateur.

4.5.2 La r´einitialisation du mod`ele : le sch´ema IAU

Le red´emarrage du mod`ele est toujours une ´etape probl´ematique lorsque l’on fait de

l’assimilation s´equentielle. Dans un cadre de mod´elisation, le mod`ele num´erique d’oc´ean

red´emarre en utilisant un fichier “restart”. Ce fichier contient l’ensemble des informations

n´ecessaires afin de permettre au mod`ele de red´emarrer comme s’il ne s’´etait pas arrˆet´e.

Le mod`ele OPA utilise un sch´ema Leap-frog (cf ´equation 3.8) pour l’int´egration

tempo-relle. Ceci n´ecessite donc la connaissance de l’´etat mod`ele `a deux pas de temps successifs,

les champs “before” (`a l’instantt−∆t) et “now” (`a l’instantt). Or, compte tenu des

ap-proximations faites lors de l’analyse statistique, il n’est pas raisonnable de penser estimer

la tendance `a l’instanttavec suffisamment de pr´ecision pour pouvoir l’utiliser dans le cadre

du red´emarrage du mod`ele. Ce que l’on fait classiquement pour contourner ce probl`eme

et de forcer le mod`ele `a red´emarrer selon un sch´ema temporel d’Euler (cf ´equation 4.49).

Ce dernier ne n´ecessite que la connaissance de l’´etat “now” :

u

^t+∆t

=u

^t

+ ∆t RHS

^t

(4.49)

Au red´emarrage du mod`ele, apr`es une analyse, on remplace donc les champs “before” et

“now” par le champs analys´ex

_a

et on impose un pas de temps en Euler pour l’int´egration

temporelle. Cette m´ethode bien qu’efficace, n’est pas sans poser un certain nombre de

probl`emes (on pourra consulterParent et al.(2003) pour plus de d´etail), et, notamment,

il n’est plus ´equivalent de faire 10 simulations de 5 jours et une simulation de 50 jours

avec un tel mode de red´emarrage.

Dans le cadre de cette th`ese, j’ai donc pr´ef´er´e opter pour une m´ethode incr´ementale,

l’IAU (pour Incremental Analysis Updating) pour la r´einitialisation du mod`ele apr`es

l’ana-lyse SEEK. Cette m´ethode, comme la plupart des d´eveloppements m´ethodologiques en

assimilation de donn´ees provient de la m´et´eorologie. Elle a ´et´e introduite parBloom et al.

4.5. Impl´ementation du SEEK avec OPA surface libre 79

Fig.4.4 –Sch´ema de l’assimilation s´equentielle classique.

(1996). Le principe de base de l’IAU est d’incorporer directement l’incr´ement d’analyse

δ=x

a

−x

f

dans les ´equations pronostiques du mod`ele sous la forme d’un terme de for¸cage.

En plus de r´esoudre le probl`eme du red´emarrage du mod`ele apr`es l’analyse, cette m´ethode

agit comme une m´ethode d’assimilation s´equentielle continue, ce qui conduit `a obtenir

une trajectoire assimil´ee continue. La discontinuit´e entre la pr´evision x

^f

et l’analyse x

^a

est un des inconv´enients majeurs des m´ethodes s´equentielles : `a cause de la suboptimalit´e

de l’analyse statistique (en raison des approximations consenties et pas toujours v´erifi´ees),

cette discontinuit´e peut engendrer des chocs dans le mod`ele au moment du red´emarrage,

entraˆınant des oscillations erron´ees `a haute fr´equence, et un ph´enom`ene de rejet de

l’in-formation assimil´ee. Ces ondes transitoires introduites par l’´etape d’analyse peuvent ˆetre

consid´er´ees comme le r´esultat d’une correction imparfaite du vecteur d’´etat de l’oc´ean,

due `a des covariances d’erreur mal ´evalu´ees. L’IAU est reconnu pour efficacement limiter

ces probl`emes.

Dans cette section, nous pr´esenterons bri`evement la m´ethode IAU mise en place au

cours de cette th`ese. Pour plus d’information sur le sujet et pour une ´etude d’impact

d´etaill´ee, le lecteur pourra se r´ef´erer `a Ourmi`eres et al. (2006). Dans une s´equence

d’as-similation classique, telle que celle du SEEK (voir figure 4.4), l’incr´ement d’analyse est

appliqu´e en une seule fois, au moment de l’analyse afin de corriger la pr´evision mod`ele

en tenant compte de l’information fournie par les observations disponibles. Il en r´esulte

une trajectoire discontinue avec des sauts `a chaque ´etape d’analyse. Comme nous l’avons

d´ej`a dit, ces discontinuit´es dans la trajectoire assimil´ee peuvent introduire des

oscilla-tions `a hautes fr´equences qui peuvent conduire `a un ph´enom`ene de rejet de l’information

assimil´ee.

Dans le cadre de l’algorithme IAU, en revanche, l’incr´ement d’analyse δ = x

a

−x

f

est appliqu´e en continu directement dans les ´equations pronostiques du mod`ele sous la

forme d’un terme de for¸cage. En plus des avantages pr´ec´edemment ´evoqu´es, cette

tech-nique pr´esente donc ´egalement l’int´erˆet d’ˆetre simple `a impl´ementer. Pour une variable

pronostiqueV donn´ee, l’´equation d’´evolution devient :

∂V

∂t ^{=M +γ(t)(V}

a

−V

^f

) (4.50)

avecMles membres de l’´equation d’´evolution de la variableV etγla fonction de r´epartition

temporelle de l’incr´ement telle que

Z

∆t

0

γ(t)dt= 1 (4.51)

∆t´etant la dur´ee de la fenˆetre temporelle d’assimilation.

Le lecteur notera les diff´erences entre l’´equation 4.50 et le nudging (´equation 4.52) qui

sera ´evoqu´e dans la section traitant de l’initialisation du filtre SEEK.

∂V

∂t ^=M+γ(t)(V

obs

−V) (4.52)

Dans l’´equation 4.52, le terme de correction varie dans le temps, en fonction de l’´etat

instantan´e de la variable et ne tient absolument pas compte des erreurs respectives des

observations et du mod`ele. Dans l’´equation 4.50, en revanche, l’incr´ementV

a

−V

f

reste

constant (temporellement) sur toute la fenˆetre d’assimilation. De plus, la m´ethode

d’ob-tention de l’incr´ement est beaucoup plus sophistiqu´ee dans la mesure ou l’incr´ement est

issu d’une analyse SEEK. Il prend donc en compte les erreurs relatives du mod`ele et des

observations.

Les applications de l’IAU sont r´epandues pour l’assimilation dans les mod`eles de

cir-culation atmosph´erique (Bloom et al., 1996;DeWeaver et Nigam, 1997; Zhu et al., 2003).

Elle sont par contre beaucoup plus restreintes, mais ´egalement plus r´ecentes, pour les

ap-plications oc´eaniques (Carton et al., 2000;Huang et al., 2002;Alves et al., 2004;Ourmi`eres

et al., 2006). L’ensemble de ces auteurs mettent en avant les propri´et´es de filtre passe-bas

pour les ondes d’ajustement ainsi que le caract`ere continu de la solution analys´ee qu’offre

l’utilisation de l’IAU.

On trouve de nombreuses variantes de la m´ethode IAU dans la litt´erature. Elles

diff`erent essentiellement par l’instant auquel est calcul´e l’incr´ement d’analyse et la fenˆetre

temporelle d’application de cet incr´ement. La m´ethode originale utilis´ee ici est une variante

de celle propos´ee parBloom et al.(1996). La figure 4.5 illustre la s´equence incr´ementale

uti-lis´ee. Dans un premier temps, on fait une pr´evision par int´egration du mod`ele de l’instant

t

i

`a l’instant t

i+1

exactement comme dans le cadre de l’algorithme SEEK classique. Une

analyse SEEK `a l’instantt

_i+1

est alors r´ealis´ee. On en d´eduit un incr´ementδ=x

^a

−x

^f

pour

les variables pronostiques du mod`ele, soit la temp´erature, la salinit´e et les vitesses zonale et

m´eridienne. La fonction de r´epartitionγ(t) est choisie constante, soitγ(t) = 1/∆t. On

re-fait alors une int´egration mod`ele de l’instantt

_i

`a l’instantt

_i+1

en utilisant ces incr´ements

sous la forme de termes de for¸cage additionnels dans les ´equations pronostiques de la

temp´erature, de la salinit´e et de la vitesse horizontale :

∂T

∂t ⁼ − ∇ ·(~u T) +D

^T

+ ¹

∆t^(T

a

−T

^f

) (4.53)

∂S

∂t ⁼ − ∇ ·(~u S) +D

^S

+ ¹

∆t^(S

a

−S

^f

) (4.54)

4.5. Impl´ementation du SEEK avec OPA surface libre 81

Fig. 4.5 –Sch´ema IAU.

∂~u

_h

∂t ⁼ −

½

(∇ ×~u)×~u+¹

2∇^³~u

²

^´

¾

h

− f ~k×~u

_h

−_ρ¹

0

∇

h

p+gT

_c

∇

h

∂η

∂t ^+D~

u

+ ¹

∆t^(~u

a

−~u

^f

) (4.55)

A la fin de cette int´egration en mode “forc´e IAU”, on obtient un nouvel ´etat analys´e.

Un fichier restart classique du mod`ele qui contient les ´etats “now” et “before” est g´en´er´e

`

a la fin de l’int´egration avec correction IAU. Ce fichier est utilis´e comme condition

ini-tiale pour faire une nouvelle pr´evision de l’instant t

_i+1

`a l’instant t

_i+2

et le mod`ele peut

red´emarrer normalement en utilisant le sch´ema Leap-frog d`es le premier pas de temps

pour l’int´egration temporelle.

4.5.3 Domaine d’assimilation

L’oc´ean Pacifique Tropical constitue notre r´egion d’int´erˆet. Ce travail s’inscrit dans la

continuit´e des travaux utilisant le filtre SEEK dans cette r´egion initi´es parVerron et al.

(1999) etGourdeau et al.(2000), et plus r´ecemmentParent (2000) etDurand (2003). Pour

diff´erentes raisons, nous avons cependant opt´e pour la configuration globale ORCA2. Ce

choix permet, entre autre, de s’affranchir des probl`emes, toujours d´elicats, des fronti`eres

ouvertes. Ce choix permet ´egalement une synergie avec MERCATOR et l’oc´eanographie

op´erationnelle, puisque c’est la configuration retenue par MERCATOR pour le

develop-pement d’un premier syst`eme op´erationnel fran¸cais `a l’echelle globale. C’est d’ailleurs

une r´ealit´e depuis le mois d’Octobre 2005 avec la mise en ligne des bulletins globaux au

1/4

◦

bas´e sur la configuration ORCA025, appell´e PSY3 dans l’arborescence des

configu-ration MERCATOR. Par ailleurs, cette configuconfigu-ration a longtemps ´etait la configuconfigu-ration

de d´eveloppement du code OPA, et `a ce titre, elle est num´eriquement bien optimis´ee. Par

exemple, un an de simulation en mode libre (i.e. sans assimilation de donn´ees) repr´esente

Fig. 4.6 –Cœfficient appliqu´e `a l’incr´ement d’analyse. Isocontours tous les 0.2.

un coˆut de calcul d’environ 1h30 sur uqbar, la machine vectorielle de l’IDRIS, le centre de

calcul du CNRS.

L’existence d’un domaine d’assimilation restreint par rapport au domaine du mod`ele a

cependant demand´e quelques am´enagements de la plate-forme d’assimilation. Le Pacifique

Tropical, qui est la zone o`u l’assimilation est totalement effective, est d´efini entre 25

◦

S `a

20

◦

N m´eridionalement et entre 120

◦

E `a la cˆote am´ericaine zonalement, en suivantDurand

et al. (2002). Cela permet d’inclure toute les r´egions cl´es de la variabilit´e du Pacifique

Tropical. Aux fronti`eres de cette zone, des zones tampons sont d´efinies de mani`ere `a

progressivement relˆacher la contrainte de l’assimilation de donn´ees. Cette zone de raccord

`

a une extension de 20

◦

. Dans la pratique, on multiplie l’incr´ement d’analyse par un simple

cœfficient. Ce cœfficient vaut un dans la zone de travail, d´ecroˆıt lin´eairement de un `a

z´ero dans les zones tampons et est fix´e `a z´ero dans tout le reste du domaine. L’extension

des zones tampons correspond `a typiquement plusieurs fois l’´echelle de d´ecorr´elation des

champs dynamiques de grande ´echelle du Pacifique Tropical (Meyers et al., 1991).

4.5.4 Le vecteur d’´etat

Le vecteur d’´etat repr´esente le jeu de variables minimum contenant toute l’information

sur le syst`eme. La connaissance du vecteur d’´etat permet de diagnostiquer toutes les

propri´et´es du syst`eme `a un instant donn´e. Toutes les variables du vecteur d’´etat sont par

d´efinition ind´ependantes.

Pour le mod`ele OPA, le vecteur d’´etat se compose de la vitesse zonale U, de la vitesse

m´eridienne V, de la temp´erature T, de la salinit´e S et de la d´enivellation de la surface

SSH. Il s’´ecrit sous la forme suivante :

4.5. Impl´ementation du SEEK avec OPA surface libre 83

x=















U (x, y, z)

V (x, y, z)

T (x, y, z)

S (x, y, z)

SSH (x, y)















Dans la version globale ORCA2 du mod`ele OPA, un champ 2D repr´esente environ

27000 points et un champ 3D 840 000 points. Le vecteur d’´etat contient donc environ

3 500 000 points. En ce limitant `a la r´egion du Pacifique Tropical, on se ram`ene `a environ

500 000 points. C’est ce vecteur d’´etat qui va ˆetre estim´e par le filtre SEEK `a chaque ´etape

d’analyse.

4.5.5 La sp´ecification de l’espace d’erreur en rang r´eduit

Les diff´erentes version du SEEK pr´esent´ees dans la section 4.4.5 se distinguent par la

fa¸con dont la base r´eduite ´evolue au cours du temps. Pour le type d’exp´erience

d’assimila-tion que j’ai r´ealis´e au cours de cette th`ese, `a savoir le contrˆole de la structure de l’oc´ean

Pacifique Tropical `a l’´echelle du bassin,Verron et al.(1999) ont montr´e que l’´evolution des

modes d’erreur d’analyse par la dynamique du mod`ele (cf ´equation 4.44) n’a pas d’impact

significatif sur les r´esultats. Au vu du surcoˆut important (nfois le mod`ele pour une base

de n vecteurs propres), j’ai donc opt´e pour la version dite “stationnaire” du SEEK. Le

sous-espace d’erreur d’analyse n’´evolue donc pas et la matrice de covariance des erreurs

initiale est syst´ematiquement utilis´ee comme matrice de covariance des erreurs d’´ebauche.

Comme nous l’avons bri`evement introduit dans la section 4.4.2, l’initialisation du filtre

SEEK n´ecessite un premi`ere estim´e x0 `a l’instant t

0

ainsi qu’une matrice de covariance

des erreurs du premier estim´e P

₀

. Le filtre SEEK est tr`es sensible `a cette phase

d’ini-tialisation (Ballabrera-Poy et al., 2001) et la m´ethode utilis´ee afin d’initialiser le SEEK

est tr`es fortement li´ee au type d’erreur que l’on veut corriger. Cette ´etape est donc tr`es

importante dans la perspective d’obtenir une assimilation efficace. En plus de l’´etat x

₀

et de la covariance des erreurs associ´ee P

₀

, il faut ´egalement sp´ecifier la covariance des

erreurs mod`eleQ, ainsi que la covariance des erreurs d’observation R.

Dans le cadre d’une assimilation d’une topographie dynamique absolue, on cherche `a

contraindre la variabilit´e de mod`ele libre, mais ´egalement son ´etat moyen. La topographie

dynamique moyenne qui est assimil´ee est donc diff´erente de la topographie dynamique

moyenne du mod`ele. La covariance des erreurs initialesP

₀

ne peut plus ˆetre approxim´ee

par la variabilit´e d’une simulation libre comme c’est classiquement fait (cf section 4.4.2).

En effet, utiliser la variabilit´e d’une simulation libre pour param´etrer le SEEK

revien-drait `a ignorer toute une partie des directions de l’erreur que l’on cherche `a corriger avec

l’assimilation de donn´ees, celles qui engendrent une structure moyenne diff´erente entre

l’oc´ean simul´e et l’oc´ean vrai. Par exemple, consid´erons le cas simple d’un oc´ean `a deux

couches, une couche chaude de temp´eratureT

₁

en surface et une couche abyssale froide de

temp´erature T

₂

(cette configuration est une bonne approximation pour les oc´eans

tropi-caux), le SEEK va traduire une erreur en SSH par un incr´ement en temp´erature au niveau

de la thermocline alors que cette erreur peut, en fait, ˆetre la signature d’une mauvaise

posi-tion moyenne de la thermocline. Au final, l’assimilaposi-tion n’a donc que peu de chance d’ˆetre

efficace, la statistique d’erreur ne contenant qu’une partie de l’erreur que l’on cherche `a

corriger. Il a donc fallu d´evelopper un certain nombre de m´ethodes sp´ecifiques afin de

mieux estimer l’erreur et ainsi correctement initialiser le filtre SEEK. Ces m´ethodes seront

discut´ees ult´erieurement.

Dans le document Apports des données gravimétriques GRACE pour l'assimilation de données altimétriques et in-situ dans un modèle de l'Océan Pacifique Tropical. (Page 86-93)