Les dimensions du micro l sont ici xées par la largeur D = 1µm et la longueur L = 4µm. Seule la vitesse de Debye cD =5930m.s−1[41] est prise en compte et nous avons choisi de traiter les ré exions avec la méthode de la gaussienne. Pour commencer, la distribution de Planck est ignorée et nous calculons la transmission énergétique fréquentielle entre l'entrée et la sortie du micro l pour diérentes rugosités. La distribution de Planck est ensuite considérée pour dé nir un taux de transmission énergétique global sur l'ensemble du spectre. Ce calcul est eectué en fonction de la valeur de la rugosité σ pour diérentes températures.
10.2.1 Taux de transmission fréquentiel
Le taux de transmission énergétique τ est simplement dé ni comme le rapport entre l'énergie qui sort du micro l outet celle qui y est entrée in: τ=out/in. Nous commençons ici par calculer le taux de transmission pour une fréquence donnée. Tous les processus de diusion par les parois sont élastique. L'énergie (pulsation) d'un phonon est donc conservée de son initialisation jusqu'à la n de la simulation. Ainsi, pour une pulsation ωi il vient :
τ(ωi) = out(ωi) in(ωi)
= Nout
Nin (10.1)
où Nout est le nombre de phonons traversant l'interface x = L et Nin est le nombre de phonons partant initialement de x = 0. Nin=2 × 106 est xé arbitrairement a n d'obtenir une statistique su samment étendue. Ce rapport est calculé pour des pulsations allant du GHz à 10T Hz.
a) b)
Figure 10.3 Impact de la rugosité sur la transmission d'énergie. a)Taux de transmis-sion énergétique en fonction de la pulsation des phonons pour σ = 1nm, 2nm et 5nm. b)Fréquence de coupure et largeur de la zone de transition en fonction de l'inverse de la rugosité.
La Fig.10.3a montre les résultats obtenus pour des rugosités valant σ = 1nm, 2nm et 5nm. Les plus basses fréquences sont parfaitement transmises car toutes les ré exions sont spéculaires. Lorsque la rugosité augmente, les plus basses fréquences conservent une transmission parfaitement spéculaire (τ =1) tandis que les hautes fréquences voient leur taux de transmission diminuer. Les plus hautes fréquences atteignent ainsi un palier qu'on appelle palier diusif qui est dé ni par une transmission τdif f. Cela signi e que les pho-nons transmis possédant de grandes pulsations sont complètement diusés. C'est la limite de Casimir [17]. On remarque que plus la rugosité augmente et plus la transition spécu-laire/diusif intervient à une fréquence basse. On peut dé nir une fréquence de coupure ωc telle que
τ(ωc) =
1 + τdif f
2 (10.2)
Dans le cas présenté ici, la Fig.10.3a montre que τdif f ≈0.38. La Fig.10.3b montre l'évo-lution de ωc en fonction de 1/σ. Il apparaît une relation linéaire croissante. La relation de dispersion de Debye donne ω = 2πcD/λ. La déviation des angles ré échis dépend du rapport σ/λ. La relation linéaire entre ωc et σ−1 nous incite à dire que la transition spécu-laire/diusif intervient pour un σ/λ donné constant. On pose :
(σ λ)c =A = ωcσ 2πcD ⇒ωc= A2πcD σ (10.3)
Une régression linéaire sur nos résultats donnent A2πcD=8.0×1011nm.s−1, ce qui implique que A ≈ 2.1%. On peut alors calculer la valeur du facteur de spécularité associé : pspec≈0.8. De la même façon, il est aussi intéressant de caractériser la largeur fréquentielle de la zone de transition ∆ω = ωdif f −ωspec. Nous dé nissons τ(ωspec) =0.95 et τ(ωdif f) = 1.05 × τdif f. La Fig.10.3b montre aussi que lorsque la rugosité augmente, ∆ω diminue li-néairement pour les même raisons que précédemment.
les trois diérentes façon de déter-miner la ré exion avec la rugosité σ = 5nm.
Ces deux résultats montrent que la rugosité de surface d'un micro l peut servir de ltre passe-bas pour les phonons. La fréquence de coupure peut être ajustée en contrô-lant la rugosité. De plus, plus la rugosité est importante et plus la zone de transition passant/bloquant est réduite.[72]
10.2.2 Comparaison entre les diérentes méthodes de ré exion des angles La transmission énergétique en fréquence ore un bon moyen de comparer les trois diérentes façon de déterminer les angles de ré exions des phonons sur les parois du cristal (Ziman, Soer et gaussienne). Les courbes sont superposées sur le même graphique Fig.10.4 pour une rugosité valant σ = 5nm. La méthode avec la gaussienne et celle de Ziman sont quasiment identiques. Ceci est logique car notre méthode avec la gaussienne est calibrée avec celle de Ziman. Il faut noter que même si le modèle de Ziman parait simpliste au premier regard, les eets collectifs des phonons amènent à des résultats identiques. La pro-babilité de spécularité de Soer, qui prend en compte les angles d'incidence des phonons, présente la même forme que les autres mais avec une zone de transition plus large et en particulier des eets de spécularité plus importants vers les hautes fréquences.
Finalement, ces trois méthodes donnent des résultats semblables et compatibles entre eux. Par la suite, même si les méthodes prises ne sont pas identiques suivant les études, il sera toujours possible de comparer qualitativement les résultats.
10.2.3 Taux de transmission global
La distribution de Planck que nous simulons montre que toutes les pulsations du spectre énergétique des phonons n'ont pas la même probabilité de présence. A n de déterminer un taux de transmission global τ = out/in, correspondant à l'ensemble du spectre, il faut maintenant échantillonner les pulsations suivant la distribution de Planck. Le taux de transmission ainsi obtenu dépendra alors de la température et de la rugosité. Cette opération revient à faire la moyenne du taux de transmission fréquentiel pondérée par la
Figure 10.5 Taux de transmission énergétique en fonction de la rugosité pour T = 0.5K, 1K et 2K. distribution de Planck : τ(σ, Th, Tc) = ∞ ∫ 0 τ(ω, σ)Bef f(ω, Th, Tc)dω ∞ ∫ 0 Bef f(ω, Th, Tc)dω (10.4)
Dans un premier temps, nous avons choisi d'étudier la situation où Th>>Tc, avec Th
compris entre 0.3K et 2.0K. A n que l'énergie du réservoir froid soit négligeable devant celle du réservoir chaud, Tcdoit avoir une température inférieure à ∼ 50mK. Dans ce cas, le spectre eectif se simpli e tel que Bef f(ω, Th, Tc) =B(ω, Th). La Fig.10.5 donne les résul-tats de τ en fonction de la rugosité pour Th=0.5K, 1.0K et 2.0K. À rugosité nulle, nous retrouvons la transmission unitaire attendue de part la spécularité de toutes les ré exions. Puis, la transmission décroît exponentiellement tandis que la rugosité augmente, tradui-sant la diminution de la probabilité de spécularité. Plus la température est haute, plus les longueurs d'onde sont petites, et donc plus τ décroit rapidement. Lorsque la rugosité est su samment grande, le régime diusif est atteint, caractérisé, à nouveau, par un palier à τdif f.
La valeur de τdif f est de ≈ 0.38. Cette valeur est égale à celle que nous avions trouvé pour le taux de transmission diusif en fréquence τdif f. C'est tout à fait logique puisque lorsque la rugosité augmente la fréquence de coupure se déplace vers les basses fréquences. Le taux de transmission en fonction de la fréquence tend donc vers la constante diusive τdif f sur la gamme de fréquence du spectre énergétique des phonons. De même, le spectre se décale vers les hautes fréquences lorsque la température augmente, τ tend donc plus rapidement vers τdif f.
Si on compare le taux de transmission global pour une température et une rugosité données avec le taux de transmission fréquentiel à la pulsation dominante, le résultat donne toujours τ ≤τ(ωdom) (voir Tab.10.1). L'origine de cette diérence provient de la dissymétrie du spectre énergétique des phonons par rapport à ωdom (le maximum). Plus de fréquences se trouvent à droite de ωdom (vers les hautes pulsations) qu'à sa gauche. Hors les hautes fréquences sont plus facilement diusées ce qui a tendance à faire diminuer la
Figure 10.6 Spectres éner-gétiques d'entrée et sortie des phonons lorsque Th=1K pour des rugosités σ = 2nm, 5nm et 10nm.
valeur moyenne de la transmission. Ainsi, l'écart entre les deux transmissions est d'autant plus important que la température et la rugosité sont faibles.
10.2.4 Spectre énergétique des phonons
La transmission énergétique en fréquence permet aussi d'obtenir le spectre énergétique des phonons à la sortie du micro l en utilisant la formule :
Bout(ω) = τ(ω)Bin(ω) (10.5)
La Fig.10.6 montre les résultats pour une température du réservoir chaud Th=1K et une température nulle pour le réservoir froid. Premièrement, nous retrouvons bien la distri-bution de Planck simulée à l'entrée du micro l. Puis nous avons tracé les distridistri-butions à la sortie du micro l pour des rugosités valant σ = 2nm, 5nm et 10nm. De façon géné-rale, toutes les distributions de sortie ont des amplitudes plus faibles que celle d'entrée. La rugosité des parois joue donc bien son rôle de diusion des phonons en renvoyant une partie de l'énergie vers le réservoir chaud. Le spectre de sortie pour σ = 2nm a une allure similaire à celui de la distribution d'entrée. Par contre, les distributions de sortie pour les rugosités plus fortes présentent des déformations. Ces déformations proviennent de la chute du taux de transmission τ lorsque la rugosité augmente, ce qui se répercute sur l'Eq.10.5.
Pour comprendre l'évolution de forme de ces spectres nous allons reconsidérer la largeur de transition ∆ω = ωdif f −ωspec. Pour des pulsations ω < ωspec le spectre de sortie suit le spectre d'entrée car τ(ω < ωspec) ≈1. A l'opposé, nous avons τ(ω > ωdif f) ≈ τdif f, la distribution suit alors la limite diusive indiquée par la ligne en tirets sur la Fig.10.6. Dans la zone de transition, il s'établit un comportement intermédiaire.
Cette déformation des spectres avec la rugosité amène à se poser la question de la dé nition de la température. En eet, dans l'approche théorique, la température apparaît uniquement dans la fonction de Bose-Einstein qui donne par la suite la distribution de Planck. Si la forme de la distribution change, on peut alors se demander quelle est la température ? Nous avons choisi de dire que même si la distribution est déformée, l'énergie associée (l'intégrale) peut être ramenée à une distribution de Planck donnant la même énergie. Nous conservons ainsi la dé nition de la relation énergie-température établie dans le chapitre sur la théorie avec les Eq.8.25 et 8.26.