Conductivité thermique en fonction de la longueur de la jonction

Dans cette étude, la capacité du code à prendre en compte chaque polarisation indé-pendamment est exploitée an de voir l'impact des phonons de exion ZA (hors plan). Pour cela, nous avons fait varier la longueur de la jonction et déterminé sa conductivité

-π -3π/4 -π/2 -π/4 0 _{π/4 π/2} 3π/4 π θ (rad) -π -3π/4 -π/2 -π/4 0 _{π/4 π/2} 3π/4 π θ (rad) -π -3π/4 -π/2 -π/4 0 _{π/4 π/2} 3π/4 π θ (rad)

Figure 11.7  Distributions des angles des phonons au cours du temps. Gauche : à l'in-terface entre la membrane chaude et la jonction. Droite : à la sortie de la jonction. thermique ; une première fois avec les phonons ZA puis une deuxième fois sans eux. Pour cette étude, la longueur de la membrane vaut LM =100µmet la largeur de la jonction vaut D = 2µm. La longueur de la jonction s'étend de LJ = 0.5µm à 10µm Les températures des membranes chaude et froide sont respectivement Th = 1.1K et Tc = 1.0K. Dans ces conditions, les longueurs dominantes de chaque polarisation sont λd,l∼112nm, λd,t∼66nm et λd,z ∼5nm pour les polarisations LA, TA et ZA respectivement. La rugosité des parois est xée à σ = 2.4nm ce qui donne des probabilités de spécularité pour chaque polarisation à pspec,l∼80%, pspec,t∼50% et pspec,z∼0%.

11.4.1 Transmission énergétique

Le programme permet de déterminer les distributions énergétiques des phonons à l'en-trée de la jonction et à la sortie en séparant les polarisations. Le rapport de la distribution d'entrée sur celle de la sortie donne la transmission énergétique en fréquence pour chacune des polarisations. De plus, un compteur permet d'obtenir la proportion pi de chaque po-larisation i passant de l'interface pour aller de la membrane chaude à la jonction. Nous pouvons alors déterminer les transmissions en présence des phonons LA et TA (τlt) puis des phonons LA, TA et ZA (τltz) :

τ_lt(ω) = p_lτ_l(ω) + p_tτ_t(ω) avec p_l+p_t=1 (11.1) τ_ltz(ω) = p_lτ_l(ω) + ptτt(ω) + pzτz(ω) avec p_l+pt+pz=1 (11.2) Lorsque seules les polarisations LA et TA sont présentes, il vient pl∼34%et pt∼66%. Si les phonons ZA sont présents nous obtenons alors les proportions pl ∼3%, pt ∼7% et pz ∼90%. Finalement, lorsque les phonons ZA sont présents, ce sont eux qui dictent les propriétés de la propagation de la chaleur.

Les transmissions énergétiques spectrales, Fig.11.8a ont des formes similaires à celles observées précédemment pour le microl seul. Les plus basses fréquences sont toujours parfaitement transmises tandis qu'aux plus élevées un palier diusif est atteint. Ce palier est commun à toutes les polarisations pour une longueur donnée. Les phonons ZA, qui ont des longueurs d'ondes beaucoup plus courtes subissent quasiment toujours des réexions

Figure 11.8  a) Trans-mission énergétique en fré-quence pour LJ =0.5µm et 10µm avec et sans les pho-nons ZA. b) Transmission énergétique globale en fonc-tion de la longueur. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1e+09 1e+10 1e+11 1e+12

Energy Transmission Frequency (Hz) a LA+TA 0.5µm LA+TA+ZA 0.5µm LA+TA 10µm LA+TA+ZA 10µm 0 2 4 6 8 10 Length (µm) b LA+TA LA+TA+ZA

diusives. Ils transitent donc beaucoup plus vite vers le palier diusifs que les autres polarisations. Lorsque la longueur de la jonction augmente, le taux de transmission diusif diminue. Ces deux résultats sont cohérents avec ceux trouvés avec le microl seul pour la rugosité Fig.10.5 et les dimensions Fig.10.9. Nous avons aussi calculé le taux de transmission global en fonction de la longueur, représenté sur la Fig.11.8b, pour lequel une décroissance exponentielle avec la longueur est retrouvée. La transmission avec les phonons ZA décroît logiquement plus rapidement que celle ou seuls les phonons LA et TA sont présents. 11.4.2 Conductance et Conductivité thermique

La conductance thermique de la jonction est calculée en utilisant la loi de Fourier comme nous l'avions fait pour le microl seul : G = ∆TJ/Q_S. ∆TJ est la diérence de température entre la première cellule dans la jonction et la dernière. La prise en compte du temps dans ce nouveau programme permet de calculer le ux sortant de la jonction QS

de la façon suivante : QS= 1 ∆t_{RS sortant}^∑ ̵ h kS.exc = ¹ ∆t_{RS sortant}^∑ ̵ hω cosθS (11.3)

∆t_RS est l'intervalle de temps en régime stationnaire pendant lequel on compte les pho-nons sortant de la jonction. La conductivité est calculée le long de l'axe x sur lequel est projeté le vecteur d'onde sortant kS. La conductance thermique ainsi calculée en fonction de la longueur de la jonction est indiquée dans la Fig.11.9. Aussi bien avec que sans la polarisation ZA, la conductivité thermique décroît de la même façon lorsque la longueur augmente. Ce résultat est logique puisque la conductance est très liée à la transmission. Si la transmission diminue, cela signie que le ux sortant diminue lui aussi et la diérence de température entre l'entrée et la sortie de la jonction augmente. Ces deux eets réunis font que la conductance décroît rapidement avec la longueur de la jonction.

La conductivité thermique intervient comme une normalisation de la conductance par la géométrie de la jonction. Nous la dénissons telle que le ux traversant la section divisée par le gradient de température sur la longueur de la jonction L :

κ = ^QS/D ∆T_J/L⁼

L

5.10^-11 0 2 4 6 8 10 Length (µm) 5.10^-11 0 2 4 6 8 10 Length (µm) mique κ de la jonction de Silicène en fonction de la longueur.

En 2D, la section traversée par le ux est la largeur D de la jonction. La conductivité ther-mique possède donc les même unités (W /K) que la conductance. Cependant la conducti-vité thermique augmente lorsque la longueur augmente, contrairement à la conductance. La largeur étant xée, on en déduit que l'impact de la longueur est plus fort que celui de la transmission sur la conductivité thermique. Des résultats similaires ont été rapportés sur le Graphène aussi bien avec la polarisation ZA dominante [55] que minoritaire [64]. De récentes études sur le Silicène vont aussi dans le même sens.[83, 61] Enn Henry et Chen ont observé les même comportements de la conductance et de la conductivité dans des chaines 1D de polyéthylène.[35]

On observe que la conductivité et la conductance ont la même tendance avec ou sans la polarisation ZA. Or la polarisation ZA représente la quasi totalité de la population des phonons lorsqu'ils sont présents et leur comportement complètement diusif aurait dû avoir des conséquences, au moins au faibles longueurs. Enn, les phonons ZA ont une vitesse de groupe un ordre de grandeur inférieur aux autres polarisations. La présence de la polarisation ZA augmente donc par un facteur dix la quantité d'énergie dans le système. En conséquence, les valeurs de la conductance et de la conductivité thermique LA+TA+ZA sont dix fois supérieures à celles LA+TA.

11.4.3 Nombre d'interactions phonons-parois

Le comportement similaire avec et sans la polarisation ZA tend à indiquer qu'un phé-nomène plus important que la nature spéculaire ou diuse de l'interaction phonon-parois domine la conductivité thermique. Nous décidons alors de regarder du côté du nombre d'in-teractions en déterminant la probabilité de transmission d'un phonon suivant le nombre de réexions qu'il subit dans la jonction. La Fig.11.10 montre que les phonons passant direc-tement, sans subir de collisions, ont évidemment une transmission égale à 1. Cependant, après quatre réexions toutes les polarisations convergent vers la même transmission qui vaut ici ∼ 0.57. Or d'après la distribution des angles à l'entrée de la jonction, les phonons doivent majoritairement subir plusieurs réexions avant de pouvoir sortir de la jonction. Ceci explique que la polarisation ZA ne modie pas signicativement l'évolution de la conductivité thermique avec la longueur de la jonction.

Figure 11.10  Conductance thermique G et conductivité thermique κ de la jonction de Si-licene en fonction de la longueur. 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2 4 6 8 10 LA 0.5µm TA 0.5µm ZA 0.5µm LA 10µm TA 10µm ZA 10µm

11.4.4 Libre parcours moyen

Le code LT3Scalcule aussi les libres parcours moyen diusif et spéculaire Λdif f et Λspec

pour chaque polarisation. La méthode utilisée est la suivante : au moment où un phonon arrive sur l'interface membrane chaude/jonction deux compteurs de distances ddif f et dspec

sont initialisés à zéro. A chaque fois qu'une réexion intervient, la distance ddif f parcourue par le phonon est enregistrée et ddif f se remet à compter à partir de zéro. Pour dspecnous regardons en plus la nature de la réexion ; si elle est spéculaire alors on continue d'addi-tionner les distances, sinon dspecest enregistrée et repart de zéro, comme ddif f. Lorsque le phonon atteint l'interface de sortie, les deux distances sont enregistrées puis réinitialisées à zéro pour le prochain phonon à simuler. Ainsi, chaque distance ddif f représente un libre parcours moyen diusif en considérant que chaque réexion est diuse tandis que dspec

représente un libre parcours moyen entre deux réexions réellement diuses.

Les histogrammes des libres parcours moyens ainsi calculés sont donnés Fig.11.11 pour les phonons LA et pour une longueur LJ =10µm(pour rappel D = 2µm). L'histogramme des libres parcours moyens diusifs montre un seul pic pour la distance correspondant à la largeur de la jonction D. Concernant les libres parcours moyens spéculaires, nous observons une succession de pics pour les multiples de la largeur D. L'intensité de ces pics décroît avec la distance car moins de phonons sont présents et que la probabilité de spécularité devient pn

spec avec n le nombre de réexions. Le libre parcours moyen global est calculé par : Λ = ∞ ∫ 0 lI dl ∞ ∫ 0 I dl (11.5) où I est l'intensité et l le libre parcours parcours moyen. Nous obtenons pour la polarisation longitudinale Λdif f,L ∼ 2.77µm et Λspec,L ∼ 10.1µm. Comme attendu, le libre parcours moyen global diusif est assez proche de D. Le libre parcours moyen global spéculaire est plus long que la longueur de la jonction à cause de la forte probabilité de spécularité des phonons LA (80%) et explique aussi la bosse présente entre 10µm et 15µm. Grâce à ces deux libres parcours moyens globaux nous pouvons calculer la valeur moyenne de la probabilité de spécularité en utilisant l'Eq.8.49 qui donne la valeur pspec,L ∼57%. Le même travail a été eectué pour les phonons transverses TA et nous avons obtenu Λdif f,T ∼

Figure 11.11  Histogrammes des libres parcours moyen diusifs et spéculaires.

2.88µm, Λspec,T ∼8.18µm et pspec,T ∼48%. Ces résultats sont en accord avec le fait que la polarisation TA est plus diuse que la polarisation LA.

11.5 Résistance thermique en fonction de la largeur de la