Le modèle de Swartz et Pohl[76] et celui de Little[56] pour des interfaces solide/solide sont comparés à la valeur mesurée RK,S. En reprenant l'Eq.2.20 avec les vitesses longitu-dinales et transverses présentes dans le Silicium et l'Hélium solide le modèle de diusion des phonons donne RS,DM =24cm2.K.W−1. RS,DM est représenté sur la Fig.5.4. L'écart relatif avec le point expérimental est de ∼ 43%. Comme les vitesses du son dans l'Hélium-4 solide sont très inférieures à celles dans le Silicium, l'in uence des propriétés de l'Hélium solide sont négligeables sur RS,DM.
Le calcul par le modèle de Little requière, a priori, de faire l'intégrale 2.23. Cependant, en se plaçant du côté de l'Hélium solide les angles limites sont très faibles et quasiment identiques pour toutes les polarisations : θc,l ≈ θc,t1 ≈ θc,t2 ≈ 3○. On fait alors
l'approxi-Figure 5.4 Résistance thermique de contact en fonction de la pression pour TL = 0.78K avec la transition super uide-solide de l'Hélium-4.
mation que les phonons ont une incidence normale sur l'interface. Dans ces conditions, la transmission énergétique Eq.2.21 se simpli e telle que :
αp= 4ZHe,pZSi,p
(ZHe,p+ZSi,p)2 (5.2)
où ZHe et ZSi sont les impédances acoustiques (Z = ρ × c) de l'Hélium-4 solide hcp et du Silicium(111) respectivement. Les résultats pour les coe cients de transmission sont αl=1.72 × 10−2, αt1=1.52 × 10−2 et αt2=1.77 × 10−2 pour la polarisation longitudinales et les deux polarisations transverses respectivement. Ainsi αpne dépend plus des angles et sort de l'intégrale dans l'Eq.2.23. En reprenant l'Eq.2.9, la RTC pour l'interface Si(111)/4He(s) dévient :
Rsolide= 30̵h3 π2kB4T3sin2θc
1
∑pαpc−2He,p (5.3)
Si on ne prend en compte que la polarisation longitudinale, Rsolide à T = 0.78K dépasse 104cm2.K.W−1. Maintenant, avec les deux polarisations transverses on obtient Rsolide = 1.35 × 103cm2.K.W−1. Ces valeurs calculées sont très supérieures à la valeur expérimen-tale. L'ajout des polarisations transverses dans la transmission ne permet pas d'expliquer nos mesures. Cela suggère que d'autres mécanismes de transmission de chaleur ont lieu à l'interface.
On constate que l'angle limite θc très réduit induit une contrainte forte sur la trans-mission des phonons à l'interface. En supposant que cette contrainte peut être relaxée, il faudrait avoir θc≈17pour retrouver nos résultats expérimentaux. Cet angle est loin d'être aberrant et tend à montrer que le cône critique est sans doute plus large que la théorie le prédit.
En n, il est à noter que l'Hélium-4 solide est un solide quantique. Les importants mouvements de point zéro (25% de la position d'équilibre) et la présence des dislocations constituent des pistes possibles pour expliquer les diérences observées avec la théorie idéale entre deux solides classiques.
Conclusion
Nous avons fabriqué de l'Hélium-4 solide à la surface Silicium(111) et nous avons mesuré la RTC à l'interface Si(111)/4He(s). Cette mesure préliminaire a permis d'observer une chute brutale de la RTC lors de la solidi cation de l'Hélium qui signe une transition du premier ordre où densité et vitesse du son sautent à des valeurs diérentes.
thermiques et les thermomètres en RuO2 avec une très bonne résolution à très basses tem-pératures, permettent de mesurer la RTC avec une bonne précision.
Les résultats expérimentaux ont montrés une décroissance linéaire de la RTC avec la pression pour des températures inférieures 1K. Cette diminution est d'autant plus rapide que la température est basse et met en évidence que la pression n'a plus d'impact sur la RTC au dessus de 1K. La confrontation de nos résultats avec les modèles théoriques des désadaptations acoustiques de Khalatnikov et de diusion des phonons de Swartz et Pohl, dans le cadre des interfaces idéales, ne permettent pas d'expliquer nos mesures. Ces modèles étant basés sur les propriétés acoustiques de bulk de l'Hélium et du Silicium, il apparait donc que la RTC est principalement contrôlée au niveau même de l'interface.
Ensuite, le modèle d'Adamenko et Fuks, prenant en compte la rugosité nanométrique à la surface du cristal de Silicium, est utilisé pour analyser nos résultats. Ce modèle nous permet de calculer les rugosités vues par les phonons au niveau de l'interface. Nous en déduisons que la rugosité vue par les phonons est directement proportionnelle à leur lon-gueur d'onde qui dépend à la fois de la température et la pression dans l'Hélium. Ces rugosités calculées sont alors comparées avec les mesures de rugosités menées directement sur la surface du cristal de Silicium par AFM. La très bonne concordance entre la rugo-sité mesurée et les rugorugo-sités vue par les phonons permettent de conclure sans ambiguïté quant au rôle prédominant de la morphologie de l'interface sur la transmission de la chaleur. En n, en se plaçant au point minimum de la courbe de fusion de l'Hélium-4 super uide, nous sommes parvenu à créer une interface Si(111)/4He(s). Les mesures de la RTC ont permis de mettre en évidence une transition du premier ordre lors de la solidi cation de l'Hélium.
d'une forte constriction dans une membrane suspendue en Silicium. Le MEMS (microe-lectromechanical system) conçu doit pouvoir être à la fois fabriqué pour faire des mesures expérimentales et modélisé numériquement en se rapprochant au plus près des conditions de l'expérience. Ces deux aspects, expérimental et numérique, sont menés de front pendant la thèse.
L'aspect expérimental impose des contraintes liées à la fabrication qui dé nit que la constriction doit avoir une taille minimale de l'ordre du micromètre. La constriction est alors vue comme une micro-jonction entre deux membranes qui ont des dimensions envi-ron cent fois plus grandes. Une représentation schématique du MEMS est donnée Fig.7.1. Prenant en compte ces considérations, il faut alors choisir comment simuler le transport des phonons dans une telle structure.
D'un point de vue microscopique un cristal est un assemblage régulier d'atomes liés entre plus proches voisins par des liaisons interatomiques (voir Fig.7.2a). Ces atomes vibrent autour d'une position d'équilibre. L'amplitude des oscillations est d'autant plus importante que la température est élevée. La vibration d'un atome entraine la mise en mouvement de ses voisins. De proche en proche, ceci crée une onde dans le cristal. Cette onde suit les règles d'un oscillateur mécanique quantique et toutes les énergies ne sont donc pas autorisées. Ainsi les vibrations dans un cristal sont quanti ées et le quantum de vibration est appelé phonon. Si on suppose que la forme du potentiel énergétique inter-atomique est identique pour tous les atomes du cristal, on peut alors appliquer le principe
Figure 7.1 Représentation schéma-tique du MEMS conçu.
a) b) Atome Liaison interatomique Phonon (particule) Limite géométrique du cristal c) 𝝀𝒅 < 𝑳 𝝀𝒅> 𝑳 Phonon (onde) 𝐿
Figure 7.2 (a) Représentation schématique d'un cristal d'un point de vue atomistique. D'un point de vue thermique, la représentation dépend de la longueur d'onde dominante λddes phonons par rapport à la dimension L du cristal. (b) Phonon en tant que particule. (c) Phonon en tant qu'onde.
de superposition. La somme des ondes donne alors naissance à un paquet d'ondes dont la probabilité de présence n'existe que sur une très courte distance spatiale.[25] Un paquet d'onde de vibrations est alors considéré comme une particule qu'on appelle aussi phonon. Il faut noter que ce n'est pas une particule réelle puisqu'elle n'a pas de réalité physique, c'est une quasi-particule.
Un phonon sera vu comme une onde ou une particule suivant les dimensions du cristal dans lequel il se propage. Quand le cristal est plus grand que la taille du paquet d'ondes, qui est assimilée à la longueur d'onde dominante λd, on peut alors traiter le phonon comme une particule classique. Dans ce cas là, du point de vue de la propagation de chaleur, l'image des atomes organisés du cristal peut être remplacée par un gaz de phonons dans une boîte correspondant à la taille du cristal comme montré sur la gure 7.2b.[23] Si maintenant les dimensions du cristal sont inférieures à la longueur d'onde dominante, alors le paquet d'onde décrit plus tôt est détruit. La forme des ondes va être modi ée par les bords du cristal. Ce sont les eets de con nement. Dans ce cas la nature ondulatoire des phonons ne peut plus être ignorée (Fig.7.2c).
Parmi les diérentes techniques, la dynamique moléculaire est la plus utilisée aujour-d'hui pour simuler le transport thermique à l'échelle du nanomètre. Elle cherche à re-produire les mouvements des atomes dans le cristal. Cette technique est similaire à celle des oscillateurs mécaniques couplés. Le point de départ est les atomes à l'équilibre, reliés entre plus proches voisins par des potentiels modélisant les liaisons inter-atomiques. Puis une perturbation est appliquée à un ou un ensemble d'atomes. Ensuite, les équations clas-siques du principe fondamental de la dynamique sont résolues pour suivre le mouvement
systèmes avec des géométries complexes. Cependant, les phénomènes physiques étant trai-tés de manière probabilistes, il est crucial de soigner les lois de probabilité et d'avoir une statistique su sante.
À l'opposé, dans le régime ondulatoire la propagation de la chaleur peut être traitée par des ondes élastiques. Dans cette approche la structure atomique microscopique est ignorée. Le solide est traité comme un milieu continu dans lequel l'onde se propage.
Dans nos conditions expérimentales à très basses température, la longueur d'onde do-minante des phonons dans le Silicium peut atteindre plusieurs centaines de nanomètres. Ce-pendant ces longueurs d'ondes sont encore inférieures aux dimensions de la micro-jonction. Les phonons peuvent alors être considérés comme des particules. De plus, à très basses températures, la géométrie est attendue comme ayant un impact signi catif sur le trans-port des phonons. Nous avons donc logiquement choisi de mener nos simulations par la méthode Monte-Carlo.
Cette partie est dédiée aux simulations numériques du transport des phonons dans des MEMS à très basses températures. Le chapitre 8 rappelle la théorie de la conduction thermique pour des températures inférieures à 2K dans les cas de systèmes 2D et 3D. Les notions de distribution énergétique des phonons et de ux net notamment sont directement réutilisées dans la conception du code numérique. Le chapitre 9 introduit l'algorithme qui permet de suivre les phonons à la fois dans le temps et dans l'espace depuis une situation d'équilibre perturbée pour atteindre un régime stationnaire. Les chapitre 10 et 11 présentent les résultats des simulations numériques. Le chapitre 10 concerne un micro l de Silicium pour lequel les dimensions et la rugosité sont modi ées. Dans le chapitre 11, le micro l est couplé à une membrane chauée pour former une forte constriction à l'interface membrane/micro l et ainsi se rapprocher du MEMS réel. Le but est alors d'observer si la constriction crée une résistance thermique de la même façon que dans le cas des interfaces Si(111)/4He. Une conclusion rappelant les principaux résultats sur les simulations vient nalement clore cette partie.
systèmes tridimensionnels et bidimensionnels.
Ce chapitre, commence par présenter le Silicène qui est un matériau récent à deux dimensions. A n de comparer les propriétés énergétiques des phonons dans les réseaux bidimensionnels et tridimensionnels les calculs sont menés parallèlement en 2D et en 3D. Par la suite les diérents processus de diusion que les phonons peuvent subir sont décrits. Le chapitre 8 s'achève sur l'analyse des mécanismes de diusion par les parois qui dominent aux très basses températures.
8.1 Le Silicène
Le matériau retenu pour le MEMS expérimental est du Silicium de pureté intrinsèque dont les propriétés ont été présentées au début du chapitre 2. Dans le cadre des simulations, il est important de rappeler qu'à très basses températures le Silicium est un diélectrique et que les phonons optiques ne sont pas actifs car les hautes fréquences ne sont pas excitées. Mais les simulations permettent de s'attaquer à des problèmes plus exotiques, très di -cilement possibles d'étudier expérimentalement aujourd'hui d'un point de vue thermique : les matériaux bidimensionnels (2D). Parmi les matériaux 2D disponibles actuellement, nous avons choisit le Silicène pour sa compatibilité avec les dispositifs électroniques basés sur la technologie Silicium.
8.1.1 Propriétés structurales du Silicène
Le silicène est la version 2D du Silicium et un cousin du Graphène. Le Silicène et le Graphène présentent tous deux un réseau héxagonal en nid d'abeille. Mais alors que le Graphène est un réseau d'atomes de Carbone, le Silicène est constitué d'atomes de Silicium. L'existence théorique du Silicène fut prédite en 1994 par Takeda et Shiraishi par des méthodes ab initio.[77] En 2010, l'équipe d'Aufray parvient pour la première fois à obtenir une feuille de Silicène par croissance épitaxial de Silicium sur une surface d'Argent
Figure 8.1 Schéma de la struc-ture du Silicène. Vue de haut : ré-seau hexagonal des atomes de Si-licium avec la maille élémentaire (losange rouge). Vue de pro l : formation caractérisée par la dé-viation ∆.[62]
Figure 8.2 Image STM avec résolution atomique de la surface du Silicène.[9]
orientée (111).[9] La structure stable du Silicène n'est pas parfaitement plane et présente une légère déformation de ambage caractérisée par la déviation ∆ ∼ 0.45Å.[15, 62] La distance entre deux atomes de Silicium a été mesurée à 1.9Å, [9] et calculée à 2.3Å donnant un paramètre de maille a ∼ 3.9Å.[15, 39]
8.1.2 Contribution des électrons dans le Silicène
En plus du réseau hexagonal, le Silicène et le Graphène partagent aussi une structure de bande similaire. Ce sont des semiconducteurs à gap nul (γ = 0) avec une structure de bande linéaire aux basses énergies. Le niveau de Fermi se situe exactement à l'intersection de la bande de valence et de la bande de conduction, formant ainsi un point de Dirac. Cette propriété particulière confère aux électrons une masse eective nulle.[27] Ainsi le moindre apport d'énergie (ici en chaleur) entraine la mise en mouvement des électrons. Une compétition a donc lieu entre phonons et électrons dans le transport de chaleur. Si à haute température il est clair que ce sont les phonons qui dominent, il est en revanche impossible de négliger la contribution des électrons en dessous de 2K.[63]
Cependant, il a été montré que le gap du Silicène peut être ouvert en appliquant un champ électrique perpendiculaire au plan des atomes.[62, 30] L'énergie du gap γ évolue linéairement avec le champ électrique E⊥ tel que γ = 0.0742E⊥. L'énergie des électrons est ∼0.1meV à 1K ce qui implique d'avoir E⊥>1.35mV /Å. Ceci peut être obtenu expérimen-talement par l'application d'une diérence de potentielle de ∼ 1.4kV entre deux électrodes séparées de 0.1mm. Dans ce cas, les électrons se retrouvent donc piégés dans la bande de valence comme dans le cas du Silicium. En conséquence, seuls les phonons participent au transport de chaleur dans le Silicène.
Dans toute la suite nous supposerons toujours que le Silicène est placé dans un champ électrique su samment haut pour être considéré comme un diélectrique. Ainsi seuls les phonons seront pris en compte.
Figure 8.3 In uence du champ électrique sur le Silicène. a) Application d'un champ électrique perpendiculaire au plan des atomes. b) Schéma de la bande de valence (BV) et de la bande de conduction (BC). c) Energie du gap en fonction du champ électrique.[30]