Images de calques régulières 137

(a)

(b) (c) (d)

Figure 8.15 – Xels digitalement simples, ou non, dans une image de labels régulière. (a) Une image pure et régulière µ : F² → P({r, g, b}). Les labels sont représentés avec les conventions de la figure8.2. (b) Une coupe µ^′pour le label{b} dans µ. L’image µ est pure mais n’est pas régulière. (c) Une coupe ν pour le label {b} dans µ′. L’image ν est pure et régulière. Le xel bleu x au centre de µ est digitalement simple pour le label

{r} dans l’image µ car µ et ν coïncident sur tous les xels de F2 sauf en x. (d) Une image pure et régulière

µ : F2

→ P({r, g, b, t}). Le proto-label t est représenté par des boîtes arrondies. Le xel bleu x au centre de µ

n’est digitalement simple pour aucun proto-label, car si on lui attribue le label rouge ou vert, on déconnecte le support de{b} de celui de {t} et si on lui attribue le proto-label t, cela crée un trou dans le label {r, g, b}.

x

(a) (b) (c)

Figure 8.16 – Attache d’un xel dans une image de calques régulière. (a) Une image régulière µ : F2

→ P({r, g, b}). (b) L’ensemble Att(x, {b}). (c) L’ensemble Att(x, {r}).

Soit L^⋆ l’ensemble des atomes de T et t un label. On pose Card(t) = Card({u ∈ L^⋆ | u ≤ t}) = Card(t^↓∩ L^⋆). L’entier Card(t) est le nombre de proto-labels (c’est-à-dire le nombre d’atomes) dont le label t est le supremum.

La proposition suivante fournit une condition suffisante pour qu’un xel x soit digitalement simple pour un atome t ∈ T , ou pour t = ⊥, dans une image pure et régulière µ. Pour que le xel soit digi-talement simple, il suffit qu’il existe une paire libre (x, y) pour le label µ(x) avec y ∈ hti (condition

(i)), qu’il soit possible de passer de x^↓à Att(x, µ(x)) par retraits de paires libres (combinatoires) de façon à ce que les points dont le label est inférieur ou égal au label de y soient retirés en premier (condition (ii)) et qu’aucun point dans x^↓\ Att(x, µ(x)) n’ait plus d’un proto-label distinct de ceux de y (condition (iii)). La preuve consiste à régulariser pas à pas (grâce au lemme 8.4.8) les labels des points de x^↓\ {x, y} dans l’image µy,µ(x), en commençant par les points dont le label est inférieur

ou égal à celui de y. La figure8.17illustre ces étapes. Le contre-exemple8.4.11montre que dans la proposition8.4.10la condition (iii) n’est pas nécessaire. Cette condition est utilisée dans la seconde partie de la preuve pour s’assurer que dans toutes les paires libres considérées les deux points par-tagent le même label. Notre contre-exemple est construit de telle façon que cette propriété reste vraie alors que la condition (iii) n’est pas satisfaite.

Proposition 8.4.10. Soit µ : X→ T une image pure et régulière dont le codomaine T est booléen et

dont le domaine X est tel que si un point est couvert par un xel, il est couvert par exactement deux points de X et ces deux points sont des xels. Soit t un label atomique ou minimal de T et x un xel de X n’appartenant pas au support de t.

Si :

(i) il existe un point y∈ x^↓tel que µ(y) = µ(x)∨ t et (x, y) est une paire libre pour le label µ(x) ;

(ii) x^↓\ {x, y} ց (x^↓\ µ⁻¹(µ(y)^↓))∪ Att(x, µ(x)) ց Att(x, µ(x)) ;

(iii) pour tout point z∈ x^↓⋆\ Att(x, µ(x)), Card(µ(z) \ µ(y)) ≤ 1 ;

alors le xel x est digitalement simple pour le label t.

y

x

x

x

x

Figure 8.17 – Étapes de la preuve de la proposition8.4.10. (a) L’image de calques µ et (x, y) = (x0, y0), une paire libre pour µ(x). (b) L’image de calques µ₁et (x₁, y1), une paire libre (combinatoire) pour l’ensemble x↓\ {x, y} dont les faces ne sont pas dans Att(x, µ(x)) et dont les labels sont inférieurs ou égaux à µ(y). (c) L’image

de calques µ2 =µk+1et (x2, y2) = (xk+1, yk+1), une paire libre (combinatoire) pour l’ensemble x↓\Sk

j=0{xj, yj}

dont les faces ne sont pas dans Att(x, µ(x)). (d) L’image de calques µ^′=µr.

Démonstration. on pose t₀ = µ(x) (t₀est un atome de T ). Des hypothèses sur X et µ, on déduit que

t = µ(y)\t0. Soit µ1la coupe µy,t0. Puisque (x, y) est une paire libre pour le label t0, c’est aussi une paire libre combinatoire pour l’ensembleht0i. Soit ((xi, yi))^r_i=0une sequence de paires libres combinatoires de x^↓ à A = Att(x, t₀) tel que x₀ = x, y₀ = y etSk

i=0{xi, y_i} = (x^↓∩ µ⁻¹(µ(y)^↓))\ A avec k ∈ [[0, r]]. Par la définition8.3.7, µ1(h) = t si h∈ {x, y}, µ1(h) = µ(h)∨ t si h ∈ x^↓\ {x, y} et µ1(h) = µ(h) sinon. En particulier, t₀∨ t ≤ µ1(h) pour tout point h∈ x^↓\ {x, y} (car µ est décroissante). Par définition de

8.5. Conclusion 139

k, pour tout point h ∈ Sk

i=0{xi, y_i}, µ1(h) = µ(h)∨ t ≤ t0∨ t. Ainsi, µ1(h) = t₀∨ t pour tout point

h ∈ Sk

i=1{xi, yi}. En particulier, µ1(x1) = µ1(y1). Notons que, puisque µ est régulière, µ1 = µ^′∨ ν1

où µ^′est la régularisée de µ1 et ν1(h) = t0 si h∈ x↓\ ({x, y} ∪ A) et ν1(h) = ⊥ sinon (ν1 = µ1\ µ′). D’autre part, x₁ ∈ ht0iµ₁ et (ht0iµ₁ ∩ y1↑)\ x^↓ = (ht0iµ∩ y1↑)\ x^↓est vide car y₁ <A. Donc, (x₁, y₁), qui est une paire libre combinatoire dans x^↓\ {x, y}, est aussi une paire libre combinatoire dans ht0iµ₁. Donc, par la proposition 8.3.5,{x1, y1} est une paire libre pour le label t0. La coupe µ2 = (µ1)y1,t0 vérifie µ₂(h) = µ^′(h) si h∈ {x1, y₁} et µ2(h) = µ₁(h) sinon (lemme8.4.8). De cette façon, de proche en proche, nous trouvons que les paires (xi, yi), 1≤ i ≤ k, sont libres pour t0dans l’image µi =µ^′∨ νi

où ν_i(h) = t₀pour tout h∈ x^↓\ (A ∪Si−1

j=0{xj, y_j}) et νi(h) =⊥ sinon.

La paire (x_k+1, y_k+1) est dans x^↓ \ µ⁻¹({t0, t₀ ∨ t}) donc on a t0 ∨ t < µk(x_k+1) = µ(x_k+1)∨ t et t0∨ t < µk(yk+1) = µ(yk+1) ∨ t. Or, Card(µ(xk+1)\ (t0∨ t)) = Card(µ(yk+1)\ (t0∨ t)) ≤ 1 (hy-pothèse (iii)). Donc, nécessairement, on a Card(µ(x_k+1)\ (t0∨ t)) = Card(µ(yk+1)\ (t0∨ t)) = 1. Puisque µk(xk+1) ≤ µk(yk+1), car µ est une image à supports fermés et la coupe d’une image à sup-ports fermés est une image à supsup-ports fermés (proposition 8.3.11), on a µk(xk+1) = µk(yk+1). Par conséquent, nous pouvons en déduire comme ci-dessus que (x_k+1, y_k+1) est une paire libre dans µ_k pour t0et que la coupe µk+1est égale à µ^′∨ νk+1avec νk+1(h) = t0pour tout h∈ x^↓\ (A ∪Sk

j=0{xj, yj}) et νi(h) =⊥ sinon. Nous faisons le même raisonnement avec chaque paire (xi, yi) pour k + 2≤ i ≤ r. La dernière coupe est µ_r avec µ_r = µ′ ∨ νr où ν_r(h) = t₀ pour tout h ∈ x^↓\ (A ∪Sr

j=0{xj, y_j}) et νr(h) =⊥ sinon. On a donc νr=⊥ et µr =µ^′ce qui achève la preuve. 

Contre-exemple 8.4.11 (Proposition8.4.10). La figure8.18montre que dans la proposition8.4.10, la condition (iii) n’est pas nécessaire.

Couprie et Bertrand (2009) ont établi une propriété de « confluence » des collapsus dans un

complexe cubique en dimension 2, 3 ou 4 : si x^↓ ց Att(x, hti) et X est un complexe tel que Att(x,hti) ⊂ X ⊂ x^↓, alors x^↓ ց X si et seulement si X ց Att(x, hti). Grâce à cette propriété, nous pouvons appliquer la proposition 8.4.10pour tester si un xel x ∈ Fⁿ(n ≤ 4) est digitalement simple pour un label t en utilisant la méthode gloutonne décrite dans l’algorithme1. Bien sûr, si cet algorithme retourne « faux », cela veut seulement dire que les hypothèses de la proposition8.4.10ne sont pas toutes satisfaites et, puisque cette proposition ne fournit que des conditions suffisantes, le xel testé peut néanmoins être digitalement simple. La figure8.19donne des exemples d’images obtenues à partir de la même image de labels digitale en appliquant l’algorithme à des fins d’amincissement ou de croissance du support d’un label.

8.5 Conclusion

Nous avons proposé dans ce chapitre plusieurs moyens pour modifier localement une image de labels en respectant non seulement la topologie de chaque label mais aussi la topologie de la partition dans ce sens que les topologies des unions de labels de la partition sont aussi conservées (suivant le choix effectué pour le treillis de labels). Ici la conservation de la topologie est comprise comme l’existence d’une équivalence d’homotopie faible : quand un point x est retiré d’un ensemble X, l’inclusion i : X\ {x} → X met en correspondance bi-univoque les composantes connexes de X \ {x} et X, et induit des isomorphismes entre les groupes d’homotopie des deux espaces.

x (a) (b) y (c) y₁ (d) y2 (e) y3 (f)

Figure 8.18 – La condition sur le nombre de labels dans la proposition8.4.10n’est pas nécessaire. (a) Une image régulière µ : X → P({r, g, b, e}) avec quatre proto-labels r, g, b, e représentés respectivement en rouge,

vert, bleu et gris. Les notations sont celles de la preuve de la proposition8.4.10. Le xel x est au centre de l’image. Son label est t0 ={e}. (b) L’image de labels digitale associée à µ (dans Z³). (c) La coupe µ1 =µy,t₀. (d) La coupe µ2= (µ1)y₁,t₀. (e) La coupe µ3= (µ2)y₂,t₀. (f) La coupe µ4= (µ3)y₃,t₀qui est régulière. Donc, le xel

x est digitalement simple. Cependant, on a µ(y3) =W{r, g, b, e}, donc la condition (iii) de la proposition8.4.10

8.5. Conclusion 141

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i) (j)

Figure 8.19 – Amincissement/expansion de labels dans Z²à l’aide de l’algorithme1. (b) Une image de labels digitale λ0: Z²→ L (le fond n’est pas représenté). (e) L’image régulière µ = ζ(λ0) : F²→ P(L^⋆). (d) L’image régulière µ₁obtenue de µ en appliquant l’algorithme1pour réduire le label vert. (a) La pré-image λ₁=ζ−1(µ₁). (f) L’image régulière µ2obtenue de µ en appliquant l’algorithme1pour étendre le label vert. (c) La pré-image

λ2 =ζ−1(µ2). (g–i) Le même detail dans les images λ0, λ1, λ2. (j) Une part du détail ci-dessous dans l’image

µ1. Notons que le carré vert isolé n’est pas digitalement simple pour le label brun : le changement de label remplirait un trou dans le label brun.