Soit X un EPO et Y un espace topologique. Les composantes connexes de C(Y, X)

(resp.C(Y, X)⋆) sont incluses dans les classes d’homotopie deC(Y, X) (resp. C(Y, X)⋆).

Démonstration. Soit f et g deux fonctions deC(Y, X) (resp. C(Y, X)⋆) appartenant à la même com-posante connexe. Des propriétés 6.1.4et6.1.2(appliquées à l’EPOC(Y, X) ou C(Y, X)⋆), on déduit qu’il existe une suite de chemins (q_i)r

i=0(0≤ i ≤ r) dans C(Y, X) (C(Y, X)⋆) tels que q₀ = f , q_r = g et, pour tout i∈ [[1, r]], qi−1, qi sont comparables, et donc, grâce à la propriété6.1.5, homotopiques. Il vient que f et g sont homotopiques (si f, g ∈ C(Y, X)⋆, il existe une homotopie h telle que, pour

tout t∈ [0, 1], h(., t) ∈ C(Y, X)⋆). 

Le corollaire précédent est démontré par Stong sous forme d’une égalité des classes d’homotopie et des composantes connexes pour la topologie compacte-ouverte deC(Y, X) et lorsque X et Y sont des EPO finis.Kukieła(2010) montre que cette égalité peut être étendue (toujours avec la topologie compacte-ouverte) à tout espace topologique X si Y est un EPO, fini ou non, et plus généralement si

Y vérifie le premier axiome de dénombrabilité⁴.

Pour la démonstration d’un des principaux résultats de ce chapitre, le théorème 6.2.12, nous avons besoin d’un résultat analogue, sous forme d’égalité, pour la topologie d’Alexandroff de l’EPO C(Y, X). Le théorème 6.2.12énonce que la notion d’homotopie de chemin peut être traduite de fa-çon fidèle dans un EPO par une notion de déformation géométrique et la preuve repose sur le fait que l’homotopie de chemin se ramène peu ou prou à la comparabilité des chemins. Or ceci est ac-quis si les classes d’homotopie deC([0, 1], X) sont les composantes connexes C([0, 1], X) puisque la connexité dans un EPO est équivalente à la connexité par points. Stong a montré que, pour X fini, la topologie d’Alexandroff deC(Y, X) est plus fine ou égale à sa topologie compacte-ouverte, plus pré-cisement, l’intersection de tous les ouverts deC(Y, X) pour la topologie compact-ouverte, contenant une fonction continue f donnée, est f^↑. Mais en général, il n’y a pas égalité entre les deux topologies

(Kukieła 2010, qui relève l’erreur d’Arenas 1999à ce propos). Dans (Mazo et al.,2011, Property 6),

nous avons proposé ce corollaire, avec la topologie d’Alexandroff deC(Y, X), sous la forme d’une égalité des composantes connexes et des classes d’homotopie. Mais la preuve comporte une erreur et toute tentative de corriger cette erreur (tout en restant dans le même schéma de preuve) est vaine puisque la preuve proposée consiste à prouver qu’une homotopie h : Y× [0, 1] → X induit une fonc-tion continue h⋆ : [0, 1] → C(Y, X), définie par h⋆(t)(y) = h(y, t), ce qui est faux comme le montre l’exemple suivant.

On prend Y = [0, 1] et X = {a, b} avec a < b. On considère alors l’homotopie h : Y × [0, 1] → X 3. voir l’annexeA.4.

4. Un espace topologique vérifie le premier axiome de dénombrabilité si tout point de l’espace possède une base dénombrable de voisinages. Étant donné un point x de l’espace, une famille de voisinages de x est une base de voisinages de x si tout voisinage de x inclut un voisinage de la base.

6.2. Chemins et arcs 71

définie par h(y, t) = a si y≤ t et h(y, t) = b sinon. D’un côté, la fonction h est bien continue car la pré-image de l’unique ouvert non trivial,{b}, est l’ouvert {(y, t) | t < y} de [0, 1] × [0, 1]. D’un autre côté, considérons par exemple la fonction f = h(.,¹₂) : Y → X. La fonction f appartient à C(Y, X) car h est continue. La pré-image par la fonction h⋆de l’ouvert f^↑deC(Y, X) est égal à {t ∈ [0, 1] | h⋆(t)≥ f }, c’est-à-dire à{t ∈ [0, 1] | ∀y ∈ Y, h(y, t) ≥ h(y,¹₂)}. Il est alors facile de voir que h⁻¹⋆ ( f^↑) = [0,¹₂] qui n’est pas un intervalle ouvert de [0, 1].

Comme il n’y a pas d’espoir de corriger notre erreur, et que nous n’avons pas trouvé d’autre schéma de preuve dans le cas général (où Y est un espace topologique quelconque), nous nous sommes restreint au cas Y = [0, 1] qui est celui qui est requis pour le théorème6.2.12. Nous avons trouvé un preuve de l’égalité des composantes connexes et des classes d’homotopie deC([0, 1], X) qui utilise le théorème6.2.4. Ce théorème permet de remplacer, dans la même classe d’homotopie, un chemin quelconque par un chemin « fini » (le terme sera défini dans la section suivante) beaucoup plus simple à traiter. Notre résultat est présenté à la fin de la section6.2.1(proposition 6.2.7).

6.2 Chemins et arcs

Le but de la section6.2est de comprendre precisément comment un chemin se comporte dans un EPO et, tout particulièrement, d’étudier le lien entre leurs images et les arcs définis à la section6.1.1. Dans le reste de ce chapitre, (X,≤) est un EPO (X n’est pas supposé fini, ni même localement fini).

6.2.1 Chemins finis

Nous disons qu’une fonction f : [0, 1] → X est constante par morceaux s’il existe un nombre fini d’intervalles (I_i)^r_i=0(r ∈ N) tel que f est constant sur chaque Ii et [0, 1] = Sr

i=0I_i. Si pour tout

i ∈ [1, r], sup(Ii−1) = inf(Ii) et f (Ii−1) , f (Ii), nous écrivons f = Pr

i=0xi1Ii où {xi} = f (Ii) (le symbole de sommation utilisé ici est simplement une notation sans signification particulière).

Puisqu’un chemin est une fonction continue définie sur [0, 1] et puisque [0, 1] est compact, l’image d’un chemin p dans un EPO X est un sous-espace compact de X. Comme ce sous-espace

p(X) est recouvert par la famille d’ouverts (x^↑)_x∈p(X), il est également recouvert par une partie finie de cette famille. Donc, si X est un EPO localement fini (comme c’est le cas sur les EPO modéli-sant les images digitales), tous les ouverts x^↑, x∈ p(X), sont finis et par suite, l’ensemble p(X) des points de X parcourus par le chemin p est fini. Néanmoins, cela ne signifie pas que p est constant par morceaux ni que le mouvement dans l’espace X induit par la fonction p soit facile à concevoir. Par exemple, soit x ≤ y deux points de X et p : [0, 1] → {x, y} la fonction définie par p(0) = x,

p^i_2r+1¹ , 1 2r h = {y} et p^h_2r¹, 1 2r−1 i

= {x} pour tout entier r positif ou nul. La fonction p est un lacet enraciné en x dans X (la continuité de p est évidente car ∅, {y}, {x, y} sont les seuls ouverts de{x, y}) mais ce chemin passe en x et y une infinité de fois et il est impossible de décrire le par-cours de p immédiatement après t = 0. Pour l’instant, contentons-nous de remarquer que p est plus grand que le chemin constant p0 : [0, 1] → {x} et inférieur au chemin p1 : [0, 1] → X défini par

p₁(0) = x, p^i0,¹₂^h = {y}, p^h1₂, 1^i = {x}. Il est donc homotopiquement équivalent à ces deux chemins (propriété6.1.5).

Définition 6.2.1 (chemin fini). Un chemin p dans X est un chemin fini si p est constant par

mor-ceaux : p =Pr

de p. Un chemin fini est régulier s’il n’y a pas de singleton dans sa suite d’intervalles. Un chemin fini est minimal si pour tout xi, 1 6 i 6 r− 1, dans la trace de p, xi−1< xi ⇔ xi > xi+1.

Proposition 6.2.2. La trace d’un chemin fini est un arc, et tout arc est la trace d’un chemin fini

régulier.

Démonstration. Soit p =Pr

i=0x_i1_Ii, (r > 0), un chemin fini. Si r = 0, il est évident que χ est un arc. Si r > 1, considérons un entier i ∈ [[1, r]]. L’ensemble {xi−1, xi} = p (Ii−1∪ Ii) est connexe puisque

I_i−1∪ Ii est connexe et p est continu. Donc, χ is an arc. Soit χ = (x_i)^r_i=0 (r > 0) un arc. Si r = 0, le chemin constant p défini par p([0, 1]) = {x0} a pour trace χ. Si r = 1, du lemme 6.1.3et de sa preuve, on déduit qu’il existe un chemin régulier de x0à x1. Si r > 2, la concaténation p1. . . prdes chemins réguliers p_i de x_i−1à x_i (1 6 i 6 r) est un chemin de trace χ et on peut facilement voir, de par la définition même de la concaténation, que la concaténation de chemins réguliers est un chemin

régulier. 

Le lemme ci-dessous donne une condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction constante par morceaux soit continue, c’est-à-dire soit un chemin. Le symbole≍ désigne la comparabilité dans un EPO (voir l’annexeB).

Lemme 6.2.3. Une fonction constante par morceaux p = Pr

i=0xi1Ii est un chemin dans X si et seulement si pour tout i∈ [[0, r − 1]], xi ≍ xi+1et x_i≤ xi+1⇔ sup (Ii)∈ Ii.

Démonstration. Supposons que p soit un chemin fini. Soit i ∈ [[0, r − 1]]. De la proposition 6.2.2, nous obtenons x_i ≍ xi+1. Si x_i ≤ xi+1, alors x_i < x_i+1^↑(car, quand nous écrivons p =Pr

i=0x_i1_Ii, nous avons xi , xi+1par convention). Donc, l’ouvert p⁻¹(xi+1↑) inclut l’intervalle Ii+1mais pas l’intervalle

Ii. On en déduit que inf(Ii+1) = sup(Ii) n’est pas dans Ii+1, c’est-à-dire sup (Ii) ∈ Ii. Si l’inegalité

x_i ≤ xi+1est fausse, alors x_i+1 <x_i^↑et l’ouvert p⁻¹(x_i^↑) inclut l’intervalle I_imais pas l’intervalle I_i+1. Ainsi, sup(Ii) n’est pas dans Ii. Par conséquent, nous avons l’équivalence xi ≤ xi+1 ⇔ sup (Ii) ∈ Ii. Réciproquement, supposons qu’il existe un entier s > 0 tel que toute fonctionPr

i=0xi1Ii constante par morceaux avec r 6 s est continue quand, pour tout i∈ [[0, r − 1]], xi ≍ xi+1et x_i ≤ xi+1⇔ sup (Ii)∈

I_i. Soit p =Ps+1

i=0 x_i1_Ii une fonction constante par morceaux telle que, pour tout i∈ [0, s], xi ≍ xi+1et

xi ≤ xi+1 ⇔ sup (Ii) ∈ Ii. Clairement, pour tout i∈ [0, s − 1], xi ≍ xi+1 et xi ≤ xi+1 ⇔ sup (Ii) ∈ Ii

donc la fonction constante par morceaux p^′ = Ps−1

i=0 x_i1_Ii + x_s1_Is∪Is+1 est continue. Soit U un ouvert dans X. Si xs, xs+1 <U, ou xs, xs+1 ∈ U, alors p⁻¹(U) = p^′−1(U) est ouvert. Si xs∈ U et xs+1 <U,

alors nécessairement l’inégalité x_s ≤ xs+1 est fausse ce qui implique que sup (I_s) < I_s. Il vient que

I_s+1 est un fermé et p⁻¹(U) = p^′−1(U)\ Is+1 est ouvert. Si x_s < U et x_s+1 ∈ U alors, puisque xset

xs+1 sont comparables, xs ≤ xs+1 et, par hypothèse, sup (Is)∈ Is. On en déduit que Is+1est ouvert et

p⁻¹(U) = p^′−1(U)∪ Is+1est ouvert. Comme, dans chaque cas, la préimage d’un ouvert est un ouvert,

p est continue. En observant que, si s = 0, la fonction p est constante et par suite continue, nous

pouvons conclure par induction. 

Le théorème 6.2.4 est le principal résultat de cette section. Il affirme que tout chemin p dans un EPO est équivalent à un chemin fini dont la trace est « très proche » de l’image de p. Ainsi, ce théorème est le premier lien entre la notion fonctionnelle de chemin et celle, discrète, d’arc.

6.2. Chemins et arcs 73