Nous rappelons quelques définitions et propriétés de topologie utilisées dans notre travail. Le lecteur sou-haitant obtenir plus de détails sur une notion particulière pourra consulter un ouvrage de topologie générale comme par exempleMunkres(1999),Viro et al.(2008) ou un ouvrage de topologie algébrique commeHatcher
(2002),Maunder(1996),May(1999),Spanier(1994).
A.1 Définition
Soit X un ensemble dont les éléments seront appelés des points. Une topologie sur X est une collectionU
de sous-ensembles de X, appelés ouverts, tels que : i ∅, X sont des ouverts ;
ii toute intersection finie d’ouverts est un ouvert ; iii toute union d’ouverts est un ouvert.
Le complément dans X d’un ouvert est appelé un fermé. De la définition précédente, on déduit que toute union finie de fermés est un fermé et que toute intersection de fermés est un fermé. Un ensemble d’ouverts est une
base d’ouverts de la topologie si tout ouvert de la topologie est une union d’ouverts de la base. Un ensemble
d’ouverts est une pré-base d’ouverts de la topologie si l’ensemble des intersections finies des ouverts de la pré-base est une base de la topologie. Un voisinage d’un point x∈ X est un sous-ensemble de X incluant un
ouvert contenant x.
L’adhérence Y (notée aussi A(Y)) d’un sous-ensemble Y ⊆ X est le plus petit fermé incluant Y. L’interieur
Y◦ d’un sous-enesmble Y ⊆ X est le plus grand ouvert inclus dans Y. C’est aussi l’union de tous les ouverts
inclus dans Y. Adhérence et intérieur sont des notions duales. En effet, on a Y◦ = X\X\ Yet Y = X \
(X\ Y)◦. Un ouvert Y est régulier s’il est égal à l’intérieur de son adhérence (Y = (Y)◦) et un fermé est
régulier s’il est égal à l’adhérence de son intérieur (Y = Y◦).
Pour tout sous-ensemble Y ⊆ X, l’ensemble UY ={U ∩ Y | U ∈ U} est une topologie sur Y appelée la
topologie induite parU sur Y. L’ensemble {∅, X} est une topologie sur X appelée topologie triviale ou
indis-crète. L’ensembleP(X) de tous les sous-ensembles de X est une topologie qui est appelée topologie discrète
en mathématiques. Ici, nous l’appellerons topologie totalement discrète car dans le domaine des sciences de l’image le mot discret renvoie seulement au caractère fini ou dénombrable de l’espace.
A.2 Fonctions continues et classification des espaces topologiques
Soit X, Y deux espaces topologiques (c’est-à-dire des espaces munis d’une topologie). Une fonction f :X→ Y est continue si la préimage de tout ouvert de Y est un ouvert X. En particulier, si la topologie sur Y a une
baseB et la préimage de tout ensemble de B est un ouvert de X, alors f est continue. Si f est bijective et f et
f−1sont toutes les deux continues, alors f est un homéomorphisme et les espaces X et Y sont homéomorphes. Si Y est un sous-ensemble de X, Y est un rétracte de X s’il existe une fonction continue, appelée rétraction,
r : X → Y telle que r(y) = y pour tout y ∈ Y. Une fonction contine r : X × [0, 1] → X est une rétraction par
déformation (forte) si, pour tout x dans X, y dans Y on a r(x, 0) = x, r(x, 1)∈ Y et r(y, 1) = y (et, pour tout t
Quand Y n’est pas un sous-espace de X, il existe une notion similaire à celle de rétraction. Deux fonctions continues f , g : X→ Y sont homotopes s’il existe une fonction continue, appelée homotopie, h : X ×[0, 1] → Y
telle que h(x, 0) = f (x) et h(x, 1) = g(x) pour tout x ∈ X. Si de plus, pour toute valeur de t, la fonction
h(., t) est un homéomorphimse, on dit que f et g sont isotopes et h est une isotopie. Les espaces X et Y
sont homotopiquement équivalents (ou ont le même type d’homotopie) s’il existe deux fonctions continues
f : X→ Y et g : Y → X, appelées équivalences d’homotopie, telles que g◦ f est homotope à la fonction identité
idXet f◦ g est homotopique à idY. Si X et Y sont homéomorphes, ils sont homotopiquement équivalents : étant donné un homéomorphisme ϕ entre X et Y, ϕ et ϕ−1sont des équivalences d’homotopie entre X et Y. L’inverse est faux en général (par exemple, une boule est homotopiquement équivalente – mais pas homéomorphe – à un point). Un espace topologique est contractile s’il a le type d’homotopie d’un point.
A.3 Attributs topologiques
Un espace topologique X est connexe s’il ne peut pas être partitionné en deux ouverts non vides. L’union de deux sous-espaces connexes de X d’intersection non vide est connexe. Les composantes connexes de X sont les sous-espaces connexes de X maximaux (pour l’inclusion). Tout point x de X appartient à exactement une composante connexe. Les composantes connexes d’un espace X forment donc une partition de X. Notons aussi que l’image d’un connexe par une application continue est connexe.
Soit x1, x2 deux points de X. Un chemin de x1à x2 dans X est une fonction continue π : [0, 1]→ X avec π(0) = x1et π(1) = x2. Un espace X est connexe par arcs si pour toute paire (x1, x2) de points de X, il existe un chemin de x1à x2dans X. Un espace connexe par arcs est connexe.
Un espace X est compact si de toute collection d’ouverts recouvrant X, c’est-à-dire dont l’union est x (une telle collection est appelée recouvrement), on peut extraire un sous-recouvrement fini. L’image d’un compact par une application continue est encore un compact.
Un espace X satisfait l’axiome de séparation T0 (ou, plus simplement, est un espace T0) si pour toute paire (x1, x2) (x1 , x2) dans X il existe un ouvert de X qui contient un élément de la paire et pas l’autre. Il est équivalent de dire que x1 n’appartient pas à l’adhérence de{x2} ou x2 n’appartient pas à l’adhérence de
{x1}. Si, pour toute paire (x1, x2) (x1 , x2), il existe deux ouverts de X, l’un contenant x1et pas x2, l’autre contenant x2et pas, ou, ce qui revient au même, x1n’appartient pas à l’adhérence de{x2} et x2n’appartient pas à l’adhérence de{x1}, c’est-à-dire, si pour toute x ∈ X, {x} est fermé, alors X est un espace T1. Les espaces de
Hausdorff , ou espaces T2, comme Rnmuni de sa topologie usuelle, ont une propriété plus forte : deux points distincts x1et x2 possèdent toujours des voisinages distincts (il existe deux ouverts de X, l’un contenant x1, l’autre contenant x2, qui ne s’intersectent pas). Tout T2-espace est T1et tout T1-espace est T0.
Une n-variété topologique est un espace de Hausdorff dans lequel tout point possède un voisinage homéo-morphe à un ouvert de Rn.
A.4 Topologie algébrique
Soit X un espace topologique. Deux chemins p, q dans X sont équivalents s’ils ont les mêmes extrémités (c’est-à-dire p(0) = q(0) et p(1) = q(1)) et s’ils sont homotopes par une homotopie h telle que h(0, u) = p(0) =
q(0) et h(1, u) = p(1) = q(1) pour tout u∈ [0, 1]. Il est facile de vérifier que cette relation entre chemins est
réellement une relation d’équivalence. On écrit [p] pour la classe d’équivalence du chemin p. Si p, q sont deux chemins dans X tels que p(1) = q(0), on définit le produit de ces deux chemins par p· q par :
(p· q)(t) = ( p(2t) si t∈ [0,1 2], q(2t− 1) si t∈ [1 2, 1].
Ce produit est compatible avec la relation d’équivalence sur les chemins définie juste auparavant et on écrit [p]· [q] = [p · q]. Soit x un point de X. Un lacet enraciné en x est un chemin dans X qui part de x et fini en
A.5. Complexes simpliciaux 181
x. Le produit de deux lacets en x est un lacet en x et l’ensemble π1(X, x) des classes d’équivalences des lacets enracinés en x est un groupe pour ce produit. Il est appelé le groupe fondamental de X (avec point de base x) ou le premier groupe d’homotopie de X. Si X est connexe par arcs, le groupe π1(X, x) ne dépend pas du point de base (c’est-à-dire pour tous points x, y∈ X, π1(X, x) et π1(X, y) sont isomorphes). On définit les groupes d’homotopie d’ordres supérieurs en remplaçant les lacets enracinés en x par des applications continues de [0, 1]nvers X qui envoient la frontière du n-cube sur x. Le produit de deux applications de ce type est défini en identifiant deux faces des deux n-cubes :
(p· q)(t1, . . . , tn) =
(
p(2t1, t2, . . . , tn) si t1∈ [0,12],
q(2t1− 1, t2, . . . , tn) si t1∈ [12, 1].
Par convention, l’ensemble des composantes connexes de X est noté π0(X, x), mais il est dépourvu d’une structure de groupe.
Soit X et Y deux espaces topologiques avec les points de base x et y. Une application continue f : X→ Y
est une équivalence d’homotopie faible si les morphismes fn: πn(X, x)→ πn(Y, y) définis par fn([p]) = [ f◦ p]
sont tous bijectifs ( f0 est seulement une bijection, pas un morphisme). Deux espaces X, Y sont faiblement
homotopiquement équivalents s’il existe une suite d’espaces X0 = X, X1, . . . , Xr = Y (r > 1) et une suite
d’équivalences d’homotopie faible Xi−1 → Xi ou Xi → Xi−1 pour tout i ∈ [[1, r]]. Deux espaces X et Y
faiblement homotopiquement équivalents ont des groupes d’homotopie isomorphes.
Deux espaces homotopiquement équivalents sont faiblement homotopiquement équivalents (l’inverse n’est pas vrai en général mais le théorème de Whitehead Whitehead(1949a,b) montre que cela est vrai dans un espace qui est la réalisation géométrique d’un complexe (voir l’annexeA.5).
Le théorème de Jordan est un aspect important de la topologie de R2. Il peut être obtenu en utilisant les notions d’homotopie et de groupe fondamental.
Théorème A.4.1. Dans R2, une courbe fermée simple C sépare l’espace (muni de sa topologie usuelle) en deux composantes connexes dont l’une est bornée et l’autre non. La courbe C est la frontière de ces deux composantes connexes.
Ce résultat se généralise à Rn (n≥ 1) sous le nom de théorème de Jordan-Brouwer (l’image continue et
injective de la sphère Sn−1dans Rnsépare cet espace en deux composantes connexes dont l’une est bornée et l’autre non et qui ont pour frontière l’image en question).
A.5 Complexes simpliciaux
Un complexe simplicial abstrait est un ensemble K de sous-ensembles non vides1appelés simplexes, d’un ensemble V, tel que tout sous-ensemble non vide d’un simplexe est un simplexe et tout élément de V appartient à au moins un simplexe. Les élements de V sont appelés sommets. Un sous-ensemble (propre) non vide d’un simplexe est une face (propre) du simplexe considéré. La dimension d’un simplexe fini est le nombre de ses sommets moins un2et la dimension d’un complexe est le maximum des dimensions de ses simplexes si un tel maximum existe. Une k-face (k∈ N) d’un simplexe est une face du simplexe de dimension k.
Des points de Rn sont géométriquement indépendant si toute k-variété affine de Rn (k 6 n) contient au plus k + 1 de ces points. Le simplexe géométrique engendré par un ensemble de points géométriquement indépendants est l’enveloppe convexe de ces points et ceux-ci sont les sommets du simplexe géométrique. Une k-face d’un simplexe (géométrique) est un simplexe engendré par k sommets du simplexe. Un complexe
simplicial (géometrique) K est un ensemble de simplexes dans Rn tel que toute face d’un simplexe de K est un simplexe de K et toute intersection de deux simplexes de K est un simplexe de K. Les faces du complexe 1. Certains auteurs ne font pas cette restriction et acceptent l’ensemble vide comme simplexe. Nous utilisons cette possibilité dans la proposition6.3.13.
sont les faces de ses simplexes. Le sommets d’un complexe sont les sommets de ses simplexes. Les sommets d’un complexe ne sont généralement pas indépendants. La réalisation geometrique|K| d’un complexe K est
l’union de ses simplexes munie de la topologie dont les ensembles fermés sont les parties dont l’intersection avec chaque simplexe est une partie fermée de Rn. Comme une union de fermés n’est pas toujours un fermé, cette topologie peut être différente de la topologie usuelle de Rn. Cependant, si le complexe est localement
fini, c’est-à-dire si chaque sommet appartient à un nombre fini de simplexes, cette topologie correspond à la
topologie usuelle de Rn. Les simplexes ouverts de|K| sont les intérieurs de ses k-faces (k > 1) et ses 0-faces.
Chaque point x de|K| appartient à un unique simplexe ouvert engendré par des sommets v1, . . . , vk (k > 1) et il existe un unique k-uplet (b1, . . . , bk) dans [0, 1]ktel que x = Pk
i=0bivi. Étant donnée une application f entre l’ensemble des sommets de deux complexes K and K′, la fonction|K( f )| qui associe à chaque point
x =Pk
i=0bivide|K| le point y de |K′| défini par y =Pk
i=0bif (vi) est l’application simpliciale associée f . Cette application est continue.
La réalisation d’un complexe simplicial abstrait K est un complexe simplicial géométrique dont les som-mets sont en correspondance bi-univoque avec les somsom-mets de K et dont les simplexes sont engendrés par les images des sommets de K. Tout complexe simplicial abstrait de dimension n peut être réalisé dans R2n+1
Hilton et Wylie(1960).
Un chemin d’arêtes dans un complexe simplicial K est une suite de sommets du complexe K telle que deux sommets consécutifs appartiennent à une même 1-face du complexe. Un lacet d’arêtes est un chemin d’arêtes dont le premier et le dernier sommets sont identiques. Ce premier et dernier sommet est la racine, ou le point de base du lacet. Deux chemins d’arêtes sont immédiatement équivalents si l’un est obtenu à partir de l’autre en insérant un sommet, de sorte que le sommet inséré avec les deux sommets entre lesquels il est inséré engendrent une 2-face du complexe K. Deux chemins d’arêtes p et q sont équivalents s’il existe une suite (pi)r
i=0(r∈ N) telle que p0 = p, pr = q et pkest immédiatement équivalent à pk−1pour tout k∈ [[1, r]].
Cette relation est réellement une relation d’équivalence et l’ensemble des classes d’équivalences des lacets enracinés en un même sommet s, muni du produit (pi)ri=0.(p′
i)si=0= (p′′i)i=0r+soù p′′i = pisi i≤ r et p′′
i = p′i−rsi
i≥ r, est un groupe, appelé groupe des lacets d’arêtes du complexe K de point de base s. Il est isomorphe au
groupe fondamental, avec point de base s, de la réalisation géométrique du complexe K (Spanier(1994)).
A.6 Complexes polyédraux
La notion de complexe polyédral généralise la notion de complexe simplicial. Un exemple de complexes polyédraux particulièrement important pour les images digitales est celui des complexes cubiques dont les sommets sont des points de Zn.
Une polyèdre ouvert/fermé de dimension m est une intersection, non vide et bornée, d’un nombre fini de demi-hyperplans ouverts/fermés d’un plan R de dimension m de l’espace euclidien Rn (m≤ n). L’intersection
d’un hyperplan de R avec l’adhérence d’un polyèdre P est une (m− 1)-face de P si cet hyperplan n’intersecte
pas l’intérieur de P. Une (m− 1)-face de P est elle-même un polyèdre (de dimension m − 1). Une k-face d’une
(m− 1)-face d’un polyèdre P est une k-face de P. Les sommets d’un polyèdre sont les 0-faces de ce polyèdre.
Un complexe polyédral K est un ensemble de polyèdres dans Rntel que toute face d’un polyèdre de K est un polyèdre de K et toute intersection de deux polyèdres de K est un polyèdre de K. Les faces du complexe sont les faces de ses polyèdres. Le sommets d’un complexe sont les sommets de ses polyèdres. La réalisation
géométrique d’un complexe polyédral K est la réunion de ses polyèdres.
Les définitions et propriétés suivantes concernent aussi bien les complexes polyédraux que simpliciaux (qui sont des types particuliers de complexes polyédraux).
Un sous-complexe d’un complexe K est un complexe dont les sommets sont des sommets de K et dont les polyèdres sont des polyèdres de K. Une subdivision K2d’un complexe polyédral K1est un complexe polyédral qui a la même réalisation géométrique que K1et tel que chaque face de K2 est incluse dans une face de K1. La subdivision barycentrique K2d’un complexe polyédral K1 est la subdivision de K1dont les sommets sont
A.6. Complexes polyédraux 183
les isobarycentres des faces de K1 et telle qu’une face f de K2 a pour sommets l’isobarycentre d’une face g de K1et l’ensemble des sommets d’une face de g. Les complexes sont des EPO pour l’inclusion. Une facette d’un complexe K est une face maximale (pour l’inclusion). Un complexe est pur si toutes ses facettes ont même dimension. L’étoile d’une face f est l’ensemble des faces du complexe qui incluent f . Nous la notons
f↑. L’adhérence d’une face f , ou d’un ensemble E de faces, est l’ensemble des faces incluses (au sens large) dans f , ou dans une face de E. Nous les notons f↓ et E↓. L’adhérence d’une face est un complexe et tout complexe ayant un maximum est l’adhérence de son maximum. Le lien d’un sommet s est l’ensemble des faces du complexe qui sont incluses dans une face de l’étoile de{s} et qui ne contiennent pas s. Le lien est un
complexe.
Un complexe est une n-sphère combinatoire s’il existe un homéomorphisme linéaire par morceaux entre la réalisation géométrique de ce complexe et la frontière d’un polyèdre de dimension n + 1. Un complexe est une n-variété combinatoire si le lien de chaque sommet est une (n− 1)-sphère combinatoire.
Une paire libre du complexe K est une paire de faces ( f , g) telle que f est la seule face du complexe incluant g (autrement dit, l’étoile de g ne contient que f et g). Si ( f , g) est une paire libre de K, l’ensemble
K\{ f, g} est un collapsus élémentaire de K. S’il existe une suite (Ki)r
i=0de sous-complexes de K tels que K0= k
et Kiest un collapsus de Ki−1pour tout i∈ [[1, r]] alors on dit que Krest un collapsus de K (ou que K collapse sur Kr), ou que K est une expansion de Kr, et on note K1ց K2. Si K1 ց K2, alors la réalisation géométrique
|K2| de K2est un rétracte par déformation forte de la réalisation géométrique|K1| de K1(voir la figureA.1). S’il existe une suite (Ki)r
i=0de sous-complexes de K tels que K0= k et Kiest un collapsus élémentaire de Ki−1,
(a)
f g
(b) (c) (d)
Figure A.1 – (a) Un complexe K et ( f , g), une paire libre de K. (d) Le complexe K′= K\ { f, g} qui est un
collapsus élémentaire de K. (b),(c) Deux instants dans une rétraction par déformation forte de K sur K′. ou Ki−1est un collapsus élémentaire de Ki, pour tout i ∈ [[1, r]], alors on dit que K et Kront le même type d’homotopie simple. Deux complexes de même type d’homotopie simple ont des réalisations géométriques qui ont le même type d’homotopie.
Le voisinage régulier d’un sous-complexe K (d’une subdivision) d’une n-variété combinatoire M est un sous-complexe (de cette subdivision) de M qui est aussi une n-variété et qui collapse sur K.
La caractéristique d’Euler (ou caractéristique d’Euler-Poincaré) d’un complexe K, fini, de dimension k, ayant ni faces de dimension i (1≤ i ≤ k), est le nombre χ(K) défini par χ(K) = n0− n1+ n2. . . + (−1)knk. Cette caractéristique ne dépend que de la réalisation géométrique du complexe et on l’étend aux espaces topologiques quelconques en remplaçant le nombre de i-faces par le rang du iegroupe d’homologie singulière (voir e.g.Maunder(1996)). De plus, si deux espaces ont le même type d’homotopie et possèdent chacun des caractéristiques d’Euler bien définies, alors celles-ci sont égales.