Un EPO X a la propriété de la sphère percée si, pour toute paire (x, y) de points de

La proposition suivante montre que la propriété de la sphère percée est satisfaite par tout com-plexe cubique ou simplicial. Nous établissons une version forte de cette propriété qui sera utilisée dans la preuve du théorème6.3.12. Les étapes de la preuve sont illustrées par la figure6.6.

Proposition 6.3.7. Soit X un complexe cubique ou simplicial et x un point de X. Soit y une face de x

couverte par x. Soit Y un sous-ensemble de l’adhérence de y incluant y. Alors, x^↓⋆\ Y est contractile.

Démonstration. Posons m = dim(x) et X₀ = x^↓⋆\ Y (voir figure 6.6(a–b)). Si m = 1, la proposi-tion 6.3.7est triviale (X0 est un singleton). Supposons maintenant que m > 2. On note y^′ la face opposée à y dans x^↓: x = y⊔ y^′. On a dim(y^′) = 0 si X est un complexe simplicial et dim(y^′) = m− 1 si X est un complexe cubique. La preuve consiste à contracter X₀sur{y^′} par suppression de points unipolaires. D’abord, nous retirons les faces de X0 qui sont sur la frontière de y, dans l’ordre des dimensions décroissantes. Pour toute (m− 2)-face z de y^↓\ Y, d’après le lemme 6.3.4il y a deux (m− 1)-faces de x incluant z dont l’une est y. Donc, z est haut-unipolaire dans X0et, grâce aux pro-priétés4.2.3et4.2.4, nous obtenons que l’ensemble X1 = {z ∈ X0 | z < y↓ou dim(z) < m− 2} est un rétracte par déformation forte de X₀. Puisque, en accord avec le lemme6.3.4, toute (m− k)-face de y est couverte par exactement k faces de x et par k− 1 faces de y, nous pouvons itérativement supprimer de X0toutes les faces propres de y avec les mêmes arguments que ceux que nous venons d’utiliser. Ainsi, X₀\ y^↓ est un rétracte par déformation forte de X₀(voir figure 6.6(c)). La seconde étape consiste à supprimer les faces de Z = (X₀\ y^↓)\ y^′↓dans l’ordre croissant de leurs dimensions en montrant qu’elles deviennent successivement bas-unipolaires au cours du processus. Remarquons que, puisque x = y⊔ y^′, toutes les 0-faces de x sont soit dans y, soit dans y^′. Donc il n’y a pas de 0-face dans Z. Notons également que Z est précisément l’ensemble Z du lemme6.3.4pour x1= y et

x2 = y^′ si X est un complexe simplicial ou éventuellement x1 = y^′ et x2 = y si X est un complexe cubique. Supposons que nous ayons retiré de Z toutes les faces de dimensions inférieures strictement à k (1≤ k ≤ m − 1) et considérons une k-face z de x appartenant à Z. Si X est un complexe cubique, le lemme6.3.4-(ii) assure qu’il existe dans z^↓⋆exactement une (k− 1)-face de y′, précisément z∩ y′, et, si X est un complexe simplicial, on a de manière évidente z^↓⋆∩ y^′↓={y^′}. Ainsi, z est bas-unipolaire dans Zk ={t ∈ Z | dim(t) ≥ k} ∪ y^′↓(les ensembles Z2et y^′↓sont représentés sur la figure6.6(d-e)). De cette façon, nous pouvons itérativement supprimer toutes les faces de Z ce qui prouve que y^′↓est un rétracte par déformation forte de X₀. Comme y^′↓ est contractile (il possède un maximum, y^′), le

résultat est établi. 

Corollaire 6.3.8. Les complexes cubiques et simpliciaux ont la propriété de la sphère percée. Remarque 6.3.9. La proposition6.3.7est fausse si nous supprimons l’hypothèse dim(y) = dim(x)−1

et si dim(x) > 3. En effet, quand la dimension m de x est supérieure ou égale à 3, pour toute face y ∈ x^↓ avec 0 < dim(y) < m − 1, l’ensemble X = x^↓⋆ \ {y} n’a pas de point unipolaire : d’une

part dans l’espace Fⁿ, toute k-face couvre 2k faces et, dans un complexe simplicial, toute k-face couvre k + 1 faces et, d’autre part, d’après le lemme6.3.4, toute k-face de x^↓⋆est couverte par m− k

faces de x^↓. Ainsi, toute k-face, k ∈ [[1, m − 1]], dans X couvre au moins 2 faces et toute k-face,

k∈ [[0, m − 2]], dans X est couverte par au moins 2 faces. Par conséquent, Y est son propre noyau et

n’est pas contractile. Un tel ensemble X est représenté sur la figure6.7(a) dans F³avec dim(y) = 1. Dans l’espace F³, quand dim(y) = 0, il est facile de vérifier que la suppression des points unipolaires dans X conduit à retirer les 1-faces de x^↓incluant y et s’arrête après ces m étapes sur un noyau de

6.3. Simplicité 85

(a) (b) (c)

(d) (e)

Figure 6.6 – Les principales étapes de la preuve de la proposition6.3.7. (a) L’ensemble x↓⋆avec dim(x) = 3. En gris, le sous-ensemble Y (y est la 2-face de Y). (b) L’ensemble X0 = x^↓⋆\ Y. (c) L’ensemble Z ∪ y^′↓. (d) L’ensemble{z ∈ Z | dim(z) ≥ 2} ∪ y′↓. (e) L’ensemble y^′↓.

Y (voir la figure6.7-(b)). Par contre, un simplexe de dimension 3 privé de l’une de ses 0-faces est contractile (par suppression des trois 1-faces, puis des trois 2-faces, incluant la 0-face manquante et enfin des faces non maximales restantes).

(a) (b)

Figure 6.7 – Noyaux des complexes x↓⋆\ {y} quand x est une 3-face et y est (a) une 1-face ; (b) une 0-face.

com-plexe X muni de l’ordre⊆, y une face propre de x de dimension maximale et Y un sous-ensemble de l’adhérence de y contenant y (y ∈ Y ⊆ y^↓). Alors, le point x est β-simple dans X\ Y. Comme nous l’avons montré dans la remarque 6.3.9, cela n’est plus généralement vrai si dim(y) < dim(x)− 1. Néanmoins, si on remplace la β-simplicité par la γ-simplicité, alors il est possible d’étendre le résul-tat aux faces non maximales de la frontière de x de la façon suivante.

Proposition 6.3.10. Soit X un complexe cubique ou simplicial muni de l’ordre⊆. Soit x un point de

X et Y un sous-ensemble de la frontière de x ayant un maximum ou un minimum. Alors, le point x est

γ-simple dans X \ Y.

Démonstration. Prouver que x est γ-simple dans X\ Y revient à établir que x^↓⋆\ Y est homotopique-ment trivial.

– Premier cas : Y a un maximum noté y. La preuve se fait par récurrence sur m, la dimension de

x. Si m = 1, le resultat est évident. Nous supposons maintenant que m≥ 2. Si dim(y) = m − 1, nous appliquons la proposition6.3.7. Si dim(y)≤ m − 2, soit z une (m − 1)-face de x^↓incluant

y. Par hypothèse de récurrence, z^↓⋆ \ Y est homotopiquement trivial. Donc, z est un γ-point dans x^↓⋆\ Y. Par suite, x^↓⋆\ (Y ∪ {z}) est faiblement equivalent à x^↓⋆\ Y (propriété 4.2.14). Or, en appliquant la proposition6.3.7à x, z et au sous-ensemble Y∪ {z} de l’adhérence de z, on obtient que x^↓⋆\ (Y ∪ {z}) est contractile. Donc, par transitivité, x↓⋆\ Y est homotopiquement trivial.

– Second cas : Y a un minimum noté y. La preuve se fait par récurrence sur le cardinal de Y. Si Card(Y) = 1, c’est-à-dire Y = {y}, nous utilisons la première partie de la preuve pour conclure. Supposons maintenant Card(Y)≥ 2. Soit z, z , y, une face dans Y telle que dim(z) = min{dim(t) | t ∈ Y \ {y}}. On a z^↓⋆ ∩ Y = {y}. On pose alors Z = (x^↓⋆ \ Y) ∪ {z} = x^↓⋆ \ (Y \ {z}). Comme Card(Y \ {z}) < Card(Y), on déduit de l’hypothèse de récurrence que Z est homotopiquement trivial. Vérifions que z est un γ-point pour Z. On a z^↓⋆∩ Z = z^↓⋆\ {y} qui, d’après la première partie de la preuve est homotopiquement trivial. Donc, z est un point γ-simple dans Z. Par conséquent, l’injection i : x^↓⋆\ Y → Z est une équivalence d’homotopie faible. Il s’en suit directement que x^↓⋆\ Y est homotopiquement trivial.  La proposition suivante donne quelques éléments de comparaison dans un complexe cubique ou simplicial entre les paires libres et les points unipolaires ou β-simples.

Proposition 6.3.11. Soit X un complexe cubique ou simplicial et x un point de X.

(i) Si x ∈ X est unipolaire, alors x est haut-β-simple et il existe y ∈ X tels que (y, x) est une paire

libre.

(ii) Si x∈ X est β-simple, il existe y, z ∈ x^↑⋆tel que (y, z) est une paire libre.

(iii) Si (x, y) est une paire libre, y est haut-unipolaire et x est bas-β-simple dans X\ {y}.

Démonstration.

(i) Soit x ∈ X un point unipolaire. Puisque X est un complexe, on a x↓ ⊆ X et par conséquent, x ne peut pas être bas-unipolaire (une m-face dans un complexe cubique ou simplicial couvre 2m ou m + 1 faces). Donc, x est haut-unipolaire, ce qui signifie que x^↑⋆a un minimum, que nous notons y. Comme x^↑⋆a un minimum, il est contractile (propriété4.2.10) et x est haut-β-simple. De plus dim(y) = dim(x) + 1 (car X est un complexe simplicial ou cubique) et y étant la seule

6.3. Simplicité 87

face de x^↑⋆ avec cette dimension, nous déduisons du lemme6.3.4(i) qu’il n’existe pas de face z∈ x^↑⋆telle que dim(z) > dim(y). Donc, (y, x) est une paire libre dans X.

(ii) Soit x ∈ X un point β-simple. Alors, x^↑⋆ est contractile (car x^↓⋆ n’est pas contractile d’après le corollaire 6.3.5). Donc, soit x^↑⋆ est un singleton, soit il existe un point y unipolaire dans

x^↑⋆ (corollaire4.2.7). Si x^↑⋆ est un singleton{y}, (y, x) est une paire libre. S’il existe un point

y bas-unipolaire dans x^↑⋆ alors dim(y) > dim(x) + 2. Or, d’après le lemme 6.3.4(a), il existe dim(y) − dim(x) ≥ 2 faces couvertes par y qui incluent x ce qui contredit le fait que y est bas-unipolaire. Donc, s’il existe un point y unipolaire dans x^↑⋆, il est nécessairement haut-unipolaire. En raisonnant comme dans la partie (i) de la preuve, on peut alors montrer qu’il existe une face z dans x^↑⋆telle que (z, y) est une paire libre dans X.

(iii) Soit (x, y) une paire libre. Le point x est le seul point dans y^↑⋆ donc y est haut-unipolaire et, puisque X est un complexe, dim(y) = dim(x)− 1. De plus, grâce à la proposition 6.3.10, nous pouvons conclure que x est bas-β-simple dans X\ {y} (car x^↓⋆∩ (X \ {y}) = x^↓⋆\ {y}).  Nous avons vu dans la section4.2qu’un critère usuel pour qu’un point y d’un espace digital X de dimension 3 soit qualifié de « simple », c’est-à-dire pour que schématiquement sa suppression de l’objet Y de l’image se fasse à topologie constante, est que (i) l’inclusion i : Y\ {y} → Y induise une correspondance bi-univoque entre les composantes connexes de l’objet avant et après la suppression,

(ii) l’inclusion i^′: X\Y → (X\Y)∪{y} induise une correspondance bi-univoque entre les composantes connexes du fond avant et après la suppression, (iii) l’inclusion i induise des isomorphismes entre les groupes fondamentaux des composantes connexes de l’objet avant et après la suppression, (iv) l’inclusion i^′induise des isomorphismes entre les groupes fondamentaux des composantes connexes du fond avant et après la suppression (Kong et Rosenfeld,1989).Fourey et Malgouyres (2003) ont montré, à l’aide de la notion d’enlacement emprunté à la théorie des nœuds, que, dans des images digitales 3D munies de la paire d’adjacence (6,26) ou (26,6), il est inutile de considérer les groupes fondamentaux du fond car leurs preservations est impliquée par les trois premières conditions. Nous démontrons un théorème équivalent, valable en toutes dimensions, dans l’espace des complexes cu-biques.