Soit X un EPO isomorphe à un complexe cubique et dont le dual est également

isomorphe à un complexe cubique. Soit Y un sous-espace propre de X et y un point β-simple dans Y. Alors y est γ-simple dans (X\ Y) ∪ {y}.

Avant de pouvoir démontrer ce théorème nous devons établir un résultat préliminaire.

Lemme 6.3.13. Soit X un complexe cubique ou simplicial et x un point de X de dimension m. Soit y

une k-face de x (k∈ [[0, m − 1]]). L’ensemble x^↓∩ y^↑est homéomorphe à l’ensemble des parties d’un ensemble à (m− k) éléments (considéré comme un EPO pour l’inclusion) par un homéomorphisme ϕ tel que Card(ϕ(z)) = dim(z) − k pour tout z ∈ x↓∩ y^↑.

Démonstration. Soit V l’ensemble des (k + 1)-faces de x appartenant à y^↑. On a Card(V) = m− k (lemme6.3.4). Nous allons prouver par une récurrence finie que x^↓∩ y↑est homéomorphe à l’en-semble des parties de V,P(V), muni de l’inclusion. Pour cela, on considère une suite (xi)^m_i=kde faces de y^↑∩ x^↓telles que, pour tout i, x_i est de dimension i et, pour tout i différent de m, x_i ⊂ xi+1 (on a en particulier xk = y et xm = x). On note Vi l’ensemble des (k + 1)-faces de xi↓∩ y^↑⋆ (Vk = ∅). La figure6.8illustre les notations utilisées dans la preuve.

– Nous définissons ϕ_k : x_k^↓∩y^↑={y} → Vkpar ϕ_k(y) =∅ (on a donc Card(ϕk(y)) = Card(∅) = 0). – Soit i un entier supérieur ou égal à k et strictement inférieur à m. Supposons que nous ayons défini un homéomorphisme ϕi : xi↓∩ y↑ → P(Vi) tel que Card(ϕ(z)) = dim(z)− k − 1 pour tout z∈ xi↓∩ y^↑. Par le lemme6.3.4(i), il existe une face a dans V telle que V_i+1 = V_i⊔ {a}. On appelle x^′_i la face incluse dans xi+1 telle que xi+1 = xi ⊔ x^′_i (x^′_i est une 0-face si X est un complexe simplicial et une i-face si X est un complexe cubique).

Soit Y_il’ensemble des faces incluses dans x_i+1qui intersectent à la fois x_i et x^′_i. Nous définis-sons la fonction θi: Yi → xi↓par :

θ_i(z) = z∩ xi.

La fonction θ_i est une bijection (lemme6.3.4(ii)). De plus, θ_i(z) ∈ xi↓∩ y^↑si et seulement si

z∈ xi+1↓∩ y^↑(car y⊆ xi).

Pour toute face b dans xi+1↓∩ y^↑, nous posons : ϕ_i+1(b) =

(

ϕi(b) si b est inclus dans xi

{a} ∪ ϕi(θ_i(b)) sinon.

La fonction ϕi+1: xi+1↓∩ y^↑→ P(Vi+1) est bien définie car, si b n’est pas inclus dans xi, alors

b∈ Yi(b n’est pas inclus dans x^′_i puisque y∈ b). Inversement, pour tout Z∈ P(Vi+1), nous posons :

ψ_i+1(Z) = ( ϕ−1 i (Z) si Z⊆ Vi θ−1 i (ϕ⁻¹_i (Z\ {a})) sinon. La fonction ϕ_i+1est une bijection dont la fonction réciproque est ψ_i+1.

Soit b une face dans x_i+1^↓∩ y^↑. Si b∈ xi↓, Card(ϕ_i+1(b)) = Card(ϕ_i(b)) = dim(b)− k − 1 par l’hypothèse de récurrence. Si b < xi↓, Card(ϕi+1(b)) = 1 + Card(ϕi(θi(b))) = 1 + dim(θi(b))−

k− 1 = dim(b) − k − 1 (pour la dernière égalité, nous utilisons le lemme6.3.4-(ii)). De l’égalité Card(ϕ_i+1(b)) = dim(b)− k − 1, nous déduisons que ϕi+1 est croissante (pour l’inclusion). Puisque ϕi+1est une bijection, ϕ⁻¹_i+1est aussi croissante et, grâce à la propriété 6.1.1, ϕi+1 est

un homéomorphisme. 

Démonstration. (Preuve du théorème 6.3.12) Soit y ∈ Y ⊂ X un point β-simple dans Y. Alors

y^↓⋆∩ Y ou y^↑⋆∩ Y est contractile.

– Supposons que y^↓⋆∩ Y soit contractile. Grâce au corollaire4.2.7, on sait qu’il existe une suite de points (x_i)^r_i=0 (r ≥ 0) telle que y^↓⋆ ∩ Y = {xi}^r_i=0 et x_j est unipolaire dans {xi}_i=0^j pour tout j ∈ [[1, r]]. La preuve consiste à établir que xj est un point γ-simple dans y^↓⋆ \ {xi}_i=0^j−1 pour tout j ∈ [[1, r]]. Cela impliquera (par transitivité) que l’injection de y^↓⋆\ Y dans y^↓⋆\ {x0} est une équivalence d’homotopie faible. Comme y↓⋆\ {x0} est homotopiquement trivial (proposition6.3.10), on en deduira que y^↓⋆\ Y est aussi homotopiquement trivial, c’est-à-dire que y est un point γ-simple de X\ Y ∪ {y}.

• Supposons d’abord que xjest bas-unipolaire dans{xi}_i=0^j pour un certain j∈ [[1, r]]. On pose

Y_j = x_j^↓⋆∩ {xi}_i=0^j . De la proposition 6.3.10, nous déduisons que x_j^↓⋆\ Yj est homotopi-quement trivial (car Y_ja un maximum). Comme x_j^↓⋆∩ (y^↓⋆\ {xi}_i=0^j−1) = x_j^↓⋆\ Yj, x_jest un point γ-simple dans y^↓⋆\ {xi}_i=0^j−1.

6.3. Simplicité 89 y x′ i a b xi θi(b) Vi

Figure 6.8 – (Preuve du lemme6.3.13). Le point x de X est un simplexe incluant le 3-simplexe xi+1représenté sur la figure. Ici, y est une 0-face de x. Le simplexe xi+1est la réunion disjointe du 2-simplexe xi(qui contient

y) et de la 0 face x^′_i. L’ensemble Viest formé des 1-faces de xi contenant y. L’ensemble Vi+1est formé des 1-faces de x_i+1contenant y. L’ensemble V_i+1est aussi la réunion de V_i et de l’arête{a}. La 2-face b de xi+1

intersecte à la fois xiet x′

i. Son intersection avec xi, c’est-à-dire θi(b), est une arête de xi.

• Supposons maintenant que xjsoit haut-unipolaire dans{xi}_i=0^j et posons Y_j = x_j^↑⋆∩ {xi}_i=0^j . On remarque que Y_j a un minimum. Grâce au lemme 6.3.13, on sait qu’il existe un ho-méomorphisme ϕ : y^↓ ∩ xj↑ → P(E) où E est un ensemble fini non vide. De la pro-priété 6.1.1(toute fonction continue entre deux EPO est croissante), nous déduisons que ϕ(y^↓⋆ ∩ xj↑⋆) est P(E) \ {∅, E}, c’est-à-dire la frontière du simplexe (abstrait) E, et que ϕ(Y_j) a un minimum (car Y_j a un minimum). Puis nous invoquons la proposition 6.3.10 pour affirmer que ϕ((y^↓⋆ ∩ xj↑⋆) \ Yj) = E \ ϕ(Yj) est homotopiquement trivial. Donc, (y^↓⋆∩ xj↑⋆)\ Yj = xj↑⋆∩ (y^↓⋆ \ {xi}_i=0^j−1) est homotopiquement trivial et xj est un point γ-simple dans y↓⋆\ {xi}_i=0^j−1.

– Nous supposons maintenant que y^↑⋆∩ Y est contractile. En prenant l’ordre inverse sur X (par hypothèse, (X,⊇) est également un complexe cubique), nous déduisons de la proposition6.3.2 que y est un point β-simple pour Y et, du corollaire6.3.1que y^↓⋆∩ Y est contractile. Ensuite, de la première partie de la preuve, il vient que y est un point γ-simple pour (X\Y)∪{y} muni de l’ordre⊇ et nous en concluons, en invoquant la proposition6.3.3, que y est un point γ-simple

pour (X\ Y) ∪ {y} avec l’ordre initial. 

Remarque 6.3.14. Nous ne savons pas si le théorème6.3.12demeure vrai en toute dimension si on remplace l’hypothèse « y est un point β-simple » par « y est un point γ-simple ». Cependant, si la dimension de X est 2, les points γ-simples sont des points β-simples, donc dans ce cas le résultat reste vrai. De plus, nous avons vérifié, en testant toutes les configurations à l’aide d’un programme informatique, que le résultat reste vrai dans F³, l’espace des complexes cubiques de dimension 3. La figure 6.9 fournit un contre-exemple du théorème6.3.12dans le cas où l’hypothèse selon laquelle l’espace X doit être un complexe pour l’ordre dual n’est pas vérifiée.

L’ensemble Fⁿdes complexes cubiques fournit un exemple essentiel de complexe qui est aussi un complexe pour l’ordre dual. Remarquons qu’il n’y a pas de propriété analogue pour les complexes simpliciaux.

y

(a) (b)

Figure 6.9 – Le théorème6.3.12est généralement faux quand l’EPO (X,≤) est un complexe cubique mais

(X,≥) n’est pas un complexe cubique. (a) Un complexe cubique X dont le dual n’est pas un complexe cubique

(à cause du bord de l’image). En noir un objet Y dans X. Le point y est une 1-face de Y. En gris clair, le complément de Y dans X, X\Y. (b) En noir, l’ensemble Y \{y}. En gris clair, l’ensemble (X\Y)∪{y}. Clairement,

y est un point β-simple de Y (y est haut-unipolaire dans Y) mais y n’est pas γ-simple pour (X\ Y) ∪ {y} car ce

dernier ensemble n’a pas le même nombre de composantes connexes que X\ Y.

Démonstration. Il suffit de montrer que, dans Fⁿ, le nombre de faces couvertes par, resp. couvrant, une face de dimension k est égal au nombre de faces couvrant, resp. couvertes par, une face de dimension n− k.

Soit x une k-face de Fⁿ(0 ≤ k ≤ n). Nous pouvons poser, sans perte de généralité, x = Qn i=1I_i où

Ii∈ F1

1si i 6 k et Ii ∈ F1 0sinon.

– Si k > 0, la face x couvre les faces Qn

i=1J_i telles qu’il existe un entier j, 1 ≤ j ≤ k, avec ∅ ⊂ Ji ⊂ Ii si i = j et J_i = I_i sinon. Comme chaque ensemble de Fⁿ₁ possède deux sous-ensembles propres non vides, toute k-face de Fⁿcouvre exactement 2k faces de Fⁿ.

– Si k < n, la face x est couverte par les facesQn

i=1J_itelles qu’il existe un entier j, k + 1≤ j ≤ n, avec I_i ⊂ Jiet J_i ∈ F₁ⁿsi i = j et J_i = I_i sinon. Comme chaque ensemble de Fⁿ₀est inclus dans deux ensembles de Fⁿ₁, toute k-face de Fⁿest couverte par exactement 2(n− k) faces de Fn.

La conclusion est immédiate. 

6.4 Conclusion

Les résultats obtenus dans ce chapitre montrent que la notion de chemin continu n’est pas très éloignée de la notion d’adjacence dans le graphe de comparabilité d’un EPO et que celle d’homotopie possède sa traduction fidèle sur ce graphe. Ce rapprochement entre les méthodes du continu et celles du discret nous permettent d’enrichir la gamme des outils utilisables en topologie digitale, comme par exemple en y intégrant les points β-simples et γ-simples. Cela suppose cependant que l’espace digital soit muni d’une relation d’ordre ce qui n’est a priori pas le cas du support d’origine d’une image digitale. On devra donc, si l’on souhaite utiliser de tels outils, glisser des éléments « minces » entre les points de Zⁿ.

Chapitre 7