Illustration de ces théorèmes en théorie quantique des champs

4.2 Corrections électrofaibles et théorèmes fondamentaux de la théorie quantique des

4.2.3 Illustration de ces théorèmes en théorie quantique des champs

4.2. CORRECTIONS ÉLECTROFAIBLES ET TH ÉOR ÈMES FONDAMENTAUX DE LA TH ÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS

dans la limite molle et collinéaire. Les calculs effectués en théorie des champs dans la limite des couplages faibles présentent la particularité de présenter deux types de divergences.

D’un côté dans la limite ultraviolette (à hautes impulsions), les calculs des diagrammes à boucles présentent des divergences non physiques. Par exemple la correction à la masse de l’électron calculée `

a l’ordre α en QED est de la forme δmQED= −3_2παm ln(mRc/h). Dans cette formule, le rayon R

tend vers 0 du fait de l’aspect ponctuel des particules en théorique quantique des champs. Du fait même de l’aspect ponctuel de ces particules, nous observons que la masse de l’électron calculée est alors infinie.

Ces divergences sont aujourd’hui bien comprises, et peuvent être régularisées par la méthode de la régularisation dimensionnelle où une dimension fictive est introduite dans les calculs (d=4-ǫ où ǫ est appelé le régulateur dimensionnel). Dans le même temps les constantes de couplage doivent être reconsidérées.

Ainsi, celles qui apparaissent initialement dans le lagrangien ne sont pas celles qui sont mesurées dans les expériences. Ce problème peut être résolu par la méthode de la renormalisation et les quantités nues qui apparaissent dans le lagrangien décomposées en un terme que l’on mesure et un contre-terme contenant les divergences ([88]). Cette décomposition n’est en revanche pas physique. De l’autre côté, dans la limite infrarouge, les corrections quantiques réelles et virtuelles sont indépendamment infinies. L’élément de matrice associé à l’émission d’un boson réel de masse nulle présente une divergence lorsque le boson émis est mou et collinéaire au fermion qui l’a émis. De l’autre côté, l’élément de matrice correspondant à l’émission et à la réabsorption d’un boson virtuel présente aussi une divergence lorsque l’impulsion de ce boson tend vers 0.

Le théorème de Bloch-Nordsieck-Kinoshita-Lee-Nauenberg démontre que l’on doit obtenir des sections efficaces finies lorsque l’on ajoute les corrections radiatives virtuelles et réelles aux processus qui nous intéressent, la structure des corrections et les facteurs multiplicatifs étant identiques, mais leurs signes opposés. Ce théorème peut être interprété facilement et formalise le fait qu’une particule irradiant un boson léger avec une impulsion faible ou dans un cône de rayon infinitésimal ne peut être différenciée expérimentalement de cette même particule qui n’aurait pas irradié de particule mais où celle-ci aurait été réabsorbée.

4.2.2 Th´eor`eme de factorisation

Le théorème de factorisation, ou théorème de Gribov ([89],[90], nous prenons le nom de [91]), explique que l’on puisse écrire dans la limite molle et collinéaire un résultat à un ordre donné comme le produit du résultat à l’ordre précédent multiplié par un facteur correctif qui prend en compte l’effet de toutes les corrections réelles et virtuelles à cet ordre. Une démonstration de ce théorème sera présentée dans la partie suivante en même temps que le théorème de Bloch-Nordsieck.

4.2.3 Illustration de ces théorèmes en théorie quantique des champs

Pour illustrer ces deux théorèmes, nous allons avoir recours à un calcul simple qui est habituel- lement effectué pour mettre en avant cet effet. Le processus sous-jacent ne sera pas un processus réellement physique et nous ne considérerons que la partie intéressante du processus. Afin de nous’affranchir de l’étude de l’état initial, qui ne présente pas en lui même de difficulté, nous considérerons donc un photon virtuel se séparant en deux quarks dont l’un d’eux émet ensuite un gluon. Malgré cette simplicité, les calculs sont généralement longs. Puisque l’on peut les retrouver dans de nombreux cours (voir par exemple [92]), nous ne présentons que les aspects essentiels à la discussion.

4.2. CORRECTIONS ÉLECTROFAIBLES ET TH ÉOR ÈMES

FONDAMENTAUX DE LA TH ´EORIE QUANTIQUE DES CHAMPS 4.2

Fig. 4.1 – Emission d’un gluon par un quark

L’écriture de l’élément de matrice de ce processus en utilisant les règles de Feynman est très simple si l’on considère que la masse des quarks n’intervient pas :

iM = ¯u(p)igta/ǫ(k) i / p + /kiev(q) − ¯u(p)ie i /q + /kigt b /ǫ(k)v(q). (4.2.3) Il est possible de simplifier le calcul en prenant /qv(q) = 0 et /p/k + /k/p = 2p · k. Pour obtenir cette dernière formule, nous utilisons le fait que le boson émis est mou pour supprimer le terme supplémentaire qui apparaˆıt lors des permutations.

Afin de calculer la section efficace de production de ce processus il est nécessaire de calculer le carré de cet élément, de faire la moyenne sur les états initiaux et la somme sur les états finaux :

Fig.4.2 – Diagrammes de Feynman pour l’émission d’un gluon depuis un quark et représentation graphique du calcul de l’élément de matrice |M2_|

4.2

4.2. CORRECTIONS ÉLECTROFAIBLES ET TH ÉOR ÈMES FONDAMENTAUX DE LA TH ÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS

X pol |M|2= −|MBorn|2Cfg2 p p · k− q q · k 2 . (4.2.4)

Cette formule illustre parfaitement les deux théorèmes qui ont été présentés précédemment. D’une part, nous voyons que la partie correspondant à l’ordre 0 a été factorisée et que le facteur multiplicatif correspond aux corrections liées à l’émission d’un gluon supplémentaire.

D’autre part, nous constatons que si l’impulsion du gluon tend vers zéro ou que le boson devient collinéaire au quark alors cette correction tend vers l’infini. Ce n’est bien sûr pas acceptable car la section efficace que nous mesurons doit rester finie. La solution à ce problème est à chercher du côté des corrections virtuelles à l’ordre αS.

Plusieurs étapes sont ensuite nécessaires dans le but d’arriver au résultat final et nous ne réaliserons pas les calculs, ceux-ci pouvant être trouvés dans deux nombreux ouvrages cités en référence.

Une fois l’intégration réalisée pour obtenir la section efficace, nous obtenons : σRǫ = σǫ0 αS 2πCF 4πµ2 Q2 ǫ Γ2_{(1 − ǫ)} Γ(1 − 3ǫ) 2 ǫ2 + 3 ǫ + 19 2 + (O)(ǫ) . (4.2.5) Intéressons nous maintenant au calcul de la partie virtuelle.

Il est possible d’écrire la formule de l’élément de matrice pour la partie virtuelle assez rapide- ment. Par exemple pour le diagramme apportant une correction au vertex nous obtenons la formule suivante : iM = ¯u(p)igta_γλ gλτ k2_{+ iǫ} i / p + /kieγ µ i /q− /kigt b_γτ_v(q). _(4.2.6)

Par contre, plutôt que de réaliser le calcul dans son intégralité ce qui sera plus compliqué que pour la partie réelle et fera appel aux intégrales de Feynman, il est possible d’utiliser le théorème optique. Nous pouvons alors constater qu’en coupant le diagramme d’une fa¸con appropriée, la structure est en fait identique à celle de la partie réelle. Le signe est néanmoins différent et de ce fait l’ensemble des corrections réelles et virtuelles est lui fini.

4.2. CORRECTIONS ÉLECTROFAIBLES ET TH ÉOR ÈMES

FONDAMENTAUX DE LA TH ´EORIE QUANTIQUE DES CHAMPS 4.2 Nous rappelons juste la formule finale pour la partie virtuelle :

σǫV = −σ0ǫ αS 2πCF 4πµ2 Q2 ǫ Γ(1 + ǫ)Γ2_{(1 − ǫ)} Γ(1 − 2ǫ) 2 ǫ2 + 3 ǫ + 8 + (O)(ǫ) . (4.2.7) Dans la limite infrarouge et collinéaire, la règle qui s’applique aux calculs perturbatifs et qui découle de ces théorèmes est la suivante :

σNn_LO= σ_Nn−1_LO∗ " 1 + Z kmax 0 dσReel dk d 3 k + Z ∞ 0 dσV irtuel dk d 4 k # , (4.2.8) où kmaxcorrespond à l’implusion maximale qu’un jet peut emporter du fait de l’énergie disponible

dans le centre de masse. Il n’y a pas de telle r`egle pour les corrections virtuelles et les particules virtuelles peuvent avoir n’importe quelle impulsion.

Cette section efficace doit rester finie et les divergences doivent donc s’annuler dans cette limite. Physiquement, ceci est lié au fait que notre détecteur ne peut pas faire la différence entre un boson émis collinéairement ou avec une très faible impulsion ou un boson qui aurait été émis et ensuite réabsorbé.

Conclusion

Ces deux théorèmes avancent et expliquent le caractère fini des calculs réalisés en théorie des perturbations et l’annulation des divergences réelles et virtuelles aux différents ordres d’une série de perturbations dans la limite infrarouge. Ils n’ont néanmoins aucune influence sur le comportement des divergences dans la limite ultraviolette qui, elles, nécessitent l’utilisation des méthodes de renormalisation.

Dans le document Etude théorique et expérimentale des corrections électrofaibles au processus de production inclusive de jets. Développement de méthodes de détection de topologies extrêmes. (Page 130-133)