Identification des paramètres du modèle du comportement de la machine et des

2.3.1 Méthode

L’identification des paramètres du modèle BIM est réalisée en faisant « fitter » le signal d’effort prédit pour un ressort du modèle, sur le signal d’effort mesuré expérimentalement. Pour cela, il est nécessaire de définir une fonction coût à minimiser. La somme des moindres carrés est utilisée telle que définie dans l’équation (II-9).

𝑆(𝜃) = ∑(𝑦_𝑖 − 𝑓(𝑡_𝑖, 𝜃))2 𝑁

𝑖=1

(II-9)

avec S la somme des moindres carrés,  le vecteur des paramètres du modèle, yi la valeur

expérimentale d’effort mesurée à l’instant ti, N le nombre de points expérimentaux et f la

fonction qui associe à ti et à  la valeur prédite de l’effort. Les valeurs f(ti,) sont obtenues par

résolution numérique des équations du modèle comme présenté dans la section précédente. La minimisation de la fonction est donc réalisée selon un algorithme d’optimisation, faisant varier  afin d’évaluer la fonction coût en différents points, pour converger vers un minimum de S. La variation des valeurs de  suit une stratégie propre à l’algorithme, l’algorithme à région de confiance est utilisé (Sorensen 1982 ; Moré et Sorensen 1983). Il permet l’optimisation d’une fonction coût non-linéaire et dérivable en fixant des bornes aux paramètres optimisés. Dans notre cas, la fonction coût est calculée à partir de l’effort prédit pour un ressort du modèle, qui est une fonction dérivable. La physique du problème impose que les paramètres de  correspondant aux masses, aux amortisseurs et aux ressorts soient positifs. Ces conditions sont fixées grâce à l’algorithme. Lorsqu’il est applicable, c’est-à-dire quand la dérivée de la fonction coût peut être évaluée, cet algorithme est préconisé pour son efficacité en termes de temps de calcul (Mathworks 2020 : chap. Choosing the Algorithm).

Pour assurer la convergence vers un minimum, il convient de fixer, avec attention, les critères de convergence. Un critère sur la variation de la fonction coût est utilisé, noté TolFun. La minimisation est stoppée, si à l’incrément i+1, l’équation (II-10) est satisfaite :

|𝑆(𝜃_𝑖) − 𝑆(𝜃_𝑖+1)| 1 + |𝑆(𝜃𝑖)|

< 𝑇𝑜𝑙𝐹𝑢𝑛

(II-10)

TolFun est obtenu grâce à une étude de convergence. L’optimisation est réalisée pour des

valeurs de TolFun de plus en plus faibles, puis les paramètres obtenus et la fonction coût, sont comparés pour les différentes valeurs testées. Lorsque la variation de ces paramètres est inférieure à 1%, la valeur de TolFun est considérée adéquate. Satisfaire l’équation (II-10) ne suffit pas à assurer la convergence vers un minimum global, en effet il est possible de converger vers un minimum local. Les paramètres de départ de l’optimisation, peuvent avoir un impact sur la solution vers laquelle converge l’algorithme. Ces paramètres de départ sont obtenus à partir d’une approximation selon des abaques, ou bien des données issues de la documentation du constructeur de la machine lorsque cela est possible.

Néanmoins, la fonction coût peut présenter plusieurs minimums locaux, vers lesquels l’algorithme peut converger, même si le set de paramètres de départ de l’optimisation est choisi avec attention. Pour pallier à ce problème, après l’identification d’une solution à la suite d’une

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première optimisation, plusieurs sets de paramètres de départ sont générés, à partir d’une perturbation de la solution obtenue, selon une loi uniforme. Les optimisations sont alors effectuées pour ces différents sets de départ. L’analyse des paramètres et des fonctions coûts obtenus permet alors de consolider le résultat de l’optimisation.

2.3.2 Mise œuvre

L’effort calculé à partir des équations du modèle pour le ressort k est comparé au signal d’effort mesuré par le capteur. Le set de paramètres de départ est fixé selon le raisonnement suivant : m est choisie égale à 2500 kg selon les spécifications de la machine, k est choisie égale à 1,7.1010 N/m à partir d’un abaque (Barbelet 2015). Concernant c, il n’existe pas d’études s’intéressant à l’identification de ce paramètre dans la littérature, le choix de sa valeur initiale ne peut donc pas être étayé. Elle est arbitrairement choisie égale à 105 N.s/m.

Une série de minimisations est réalisée pour différentes valeurs de TolFun pour réaliser l’étude de convergence. La fonction coût et les paramètres identifiés pour les valeurs de TolFun testées sont présentés dans le Tableau II-2. Il n’y a pas d’amélioration notable de la fonction coût ou de variations des paramètres identifiés pour les valeurs de TolFun inférieures à 0,001, excepté pour c qui tend vers 0. Ainsi, par la suite la valeur de TolFun sera fixée à 0,001.

Tableau II-2 Etude de convergence pour l'identification paramétrique Critère de convergence Fonction coût (kN²) m (kg) c (N.s/m) k (N/m) 1 12,857 2632 96943 2,24.1010 0,1 11,9447 2736 93911 2,74.1010 0,01 0,1835 2014 423 1,13.109 0,001 0,1783 2006 4,00.10-2 _1,11.109 0,0001 0,1783 2006 4,00.10-2 _1,11.109 0,00001 0,1783 2006 7,47.10-6 _1,11.109

Un premier set de paramètres optimisés est alors obtenu pour le modèle, il est par la suite appelé set de paramètres de référence. Puis, la sensibilité de l’optimisation au set de paramètres de départ est évaluée : une perturbation de ±30% selon une loi uniforme sur le set de paramètres de référence permet de générer 60 nouveaux sets de paramètres de départ. La Figure IV-25 présente les paramètres et la fonction coût obtenus pour les 60 optimisations, la ligne rouge correspond aux paramètres identifiés et à la fonction calculée pour le set de paramètres de référence ayant permis la génération des 60 sets de départ. Plus de la moitié des optimisations convergent vers la même fonction coût. Dans les autres cas, les optimisations convergent vers des minimums locaux, dont les fonctions coût sont plus élevées. Il est donc raisonnable de penser qu’une solution globale a été identifiée.

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Figure II-8 Etude de la sensibilité de l’optimisation au set de paramètres de départ pour le modèle BIM associé au marteau pilon DIE- MAX 150

Le Tableau II-3 présente les paramètres obtenus pour l’optimisation dont la fonction coût est la plus faible. L’étude de convergence a montré que le coefficient d’amortissement tend vers 0, c’est donc cette valeur qui est retenue.

Tableau II-3 Paramètres identifiés pour le modèle BIM associé au marteau pilon DIE- MAX 150

m (kg) 2006

c (N.s/m) 0

k (N/m) 1,11.109

La Figure II-9 montre le signal d’effort mesuré et celui prédit par le modèle pour le ressort

k, ainsi que le déplacement mesuré et le déplacement prédit pour la masse m. Selon les

spécifications de la machine, la masse tombante a une masse de 2500 kg. Cela représente un écart relatif de 20% avec la masse identifiée. L’énergie maximale théorique développée par le pilon est de 45 kJ selon ses spécifications. L’énergie maximale du pilon (EMax) peut être calculée

à partir de la masse identifiée et de la vitesse d’impact maximale v0 telle que : EMax=½.m.v0².

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Figure II-9 Effort mesuré par le capteur et prédit pour le ressort k, et déplacement mesuré par la caméra rapide et prédit pour la masse m

La masse identifiée présente un écart important avec la masse théorique annoncée par l’auteur pour le marteau. Plusieurs éléments peuvent être à l’origine de cet écart, et notamment en premier lieu, l’incertitude de mesure sur la pesée de la masse tombante. La valeur théorique de la masse est annoncée sans son intervalle d’incertitude dans la publication et correspond certainement à une valeur fournie par le constructeur de la machine. Par ailleurs, la démarche appliquée cherche à modéliser le comportement de la machine et des outillages durant l’opération de forgeage et non de la machine seule à proprement parlé. Le processus d’identification fournit les paramètres qui mathématiquement permettent de reproduire en simulation le signal d’effort mesuré, ce qui peut expliquer une part de l’erreur. Les hypothèses formulées sur la loi rhéologique du matériau et le coefficient de frottement supposé constant, ont un impact sur l’effort prédit et influencent également l’identification des paramètres. De plus, la question de l’indépendance des paramètres n’a pas été évaluée. Un paramètre ayant une faible influence sur les résultats de la simulation pourrait être identifié à une valeur non juste alors que la réponse du modèle par rapport au signal d’effort expérimental pourrait être correcte. Par la suite, les paramètres du modèle sont supposés indépendants. L’incertitude sur la mesure des paramètres opératoires, utilisés pour la réalisation des simulations, a aussi un impact sur l’identification des paramètres. Dans la section qui suit, plusieurs études sont réalisées pour étudier l’impact de ces incertitudes sur la réponse du modèle et fournir un intervalle d’incertitude sur les paramètres identifiés.